陳友杰

(福建省閩清縣第二中學,福建 福州 350811)

在初中數(shù)學解題中,解題方式較為靈活,一道習題可能會有多種解題方式,不同類型的題目也可能有著相同的解題思路.在數(shù)學問題解決中,教師應當注重數(shù)學思想的應用.分類討論思想是重要的數(shù)學思想之一,廣泛用于學習與生活,可完善學生數(shù)學知識體系,鍛煉學生思維能力及邏輯能力.同時,借助分類討論思想,幫助學生整理數(shù)學知識點,深入探究數(shù)學知識規(guī)律,簡化數(shù)學問題,讓學生切實做到舉一反三.

1 初中數(shù)學教材中分類討論思想內(nèi)容分析

在初中數(shù)學教材中,包含很多分類討論思想內(nèi)容,要求學生在學習過程中,體會分類討論思想,做出歸納和總結(jié),以此,完善學生知識結(jié)構(gòu),體會分類討論思想在解題中的運用.初中數(shù)學各階段分類討論思想內(nèi)容如表1所示.

對于初中階段的學生來說,剛剛系統(tǒng)化地接觸分類討論思想,想要深入發(fā)掘教材中的分類討論思想,需要了解分類的原則與步驟,嘗試自主分類,明確分類思路,為數(shù)學問題解決做出知識遷移準備[1].

表1 初中數(shù)學教材分類討論內(nèi)容表

2 分類討論思想的應用原則

2.1 同一性原則

在初中數(shù)學解題中,分類討論應當堅持同一個標準,對對象做出合理的分類.需要讓學生認識到,分類思想應用的前提是有著明確的研究對象,只有準確把握對象特征,才能夠靈活利用,圍繞同一性進行分類,避免出現(xiàn)不同組對象產(chǎn)生屬性交集.

2.2 層次性原則

針對多次分類問題,需要準確把握層次性原則,結(jié)合概念的差異做好研究對象分類.在整個分類過程中,應當做到全面考慮,避免忽略對象的某個屬性,導致出現(xiàn)分類錯誤.

3 初中數(shù)學解題中分類討論思想的應用策略

3.1 利用分類討論思想解決方程問題

例1 某商場準確購進A、B、C三種型號的電視機,A型號電視機每臺進價為1 500元,B型號電視機每臺進價為2 100元,C型號電視機每臺進價為2 500元,如果商場準備使用90 000元購進三種型號的電視機50臺,那么進貨方案有幾種?

分析通過對題目條件進行分析,利用方程不能夠直接得出結(jié)果,而且A、B、C三種電視機的數(shù)量都是變量,因此,需要對問題進行轉(zhuǎn)化,利用分類討論思想進行解題.

當z=3時,得出y=20,x=27;

當z=6時,得出y=15,x=29;

當z=9時,得出y=10,x=31;

當z=12時,得出y=5,x=33;

答:商場可以有四種進貨方案.

3.2 利用分類討論思想解決函數(shù)問題

函數(shù)問題是初中數(shù)學中的常見題型,主要有一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等,作為考試中常見的題型,是初中數(shù)學解題中的重點和難點.因此,作為初中數(shù)學教師,需要有效利用分類討論思想,引導學生解決函數(shù)問題.

(1)求解拋物線的解析式;

(2)用含有m的式子表示C、D的坐標;

(3)如果△ACD為等腰三角形,求解所有符合條件的P點坐標.

圖1 例2題圖

(3)根據(jù)題意,得出B(m,0),

在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=4m2-8m+5.

在P點坐標求解時,可以分三種情況進行討論.

3.3 利用分類討論思想解決幾何問題

在初中幾何問題教學中,教師可以巧妙引入分類討論思想,引導學生思考問題,明確解題思路.如直線與圓的位置關系、等邊三角形的邊角關系以及直角三角形的邊角關系等,可以巧妙利用分類討論思想,完成幾何問題的解題.

例3 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,點D、E分別為BC、AB的中點,將△BDE圍繞B點旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后D、E的對應點分別是D′、E′,當直線D′E′經(jīng)過點A時,線段CD′的長是____.

分析此題解題時分兩種情況,當A點在E′D′的延長線上以及A點在線段D′E′的延長線上,通過分類討論,求解出BD的長度,完成解題.

圖2 例3題圖(a)

解如圖2所示,當A點在E′D′的延長線上時,

∵∠C=90°,AC=2,BC=4,

∵點D、E分別為BC、AB的中點,

∴∠EDB=∠ACB=90°,

∵將△BDE繞著點B旋轉(zhuǎn),

∴∠BD′E′=∠BDE=90°,D′E′=DE=1,BD=BD′=2,

∵Rt△ABC和Rt△BAD′中,D′B=AC=2,AB=BA,

∴Rt△ABC≌Rt△BAD′,

∴四邊形ACBD′為平行四邊形,且∠ACB=90°,

∴四邊形ACBD′是矩形,

如圖3所示,當點A在線段D′E′的延長線上時,

∵∠AD′B=90°,

∴根據(jù)勾股定理得出AD′=4,

∴AE′=AD′-D′E′=3,

∵將△BDE繞著點B旋轉(zhuǎn),∴∠ABC=∠E′BD′,

圖3 例3題圖(b)