湯永梅

(江蘇省灌云縣中學(xué)生社會實踐基地,江蘇 連云港 222200)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,常見的數(shù)學(xué)思想比較多,整體思想是其中重要的思想之一,在解題中被廣泛地使用,對解決數(shù)學(xué)問題有著重要的作用.整體思想是通過對問題進行整體處理來解決問題的方法,其形式比較多,如整體代換、整體變形、整體設(shè)元等.借助整體思想,對問題進行深入分析,化繁為簡,有效解決數(shù)學(xué)問題[1].

1 利用整體思想,解決代數(shù)式求值問題

代數(shù)式求值問題是中考中的常見題型,一般來說,學(xué)生通常采取逐一求解,之后代入解題,這樣的解題方式計算量比較大,而且很容易因為過程繁瑣出現(xiàn)錯誤.因此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用整體思想,結(jié)合問題的條件或者結(jié)論,將其看作一個整體,通過等價代換的方式,深入分析問題,化繁為簡,完成解題[2].

1.1 整體求解

分析此題在解答時,如果直接代入a、b的值,計算過程比較繁瑣.如果能夠?qū)δ繕耸竭M行變換、化簡,將a、b兩式相加或者相減,可以得到a+b和a-b的數(shù)值,之后整體代入化簡后的目標式中,求解出代數(shù)式的值.

1.2 分式求解

∴m-n=-3mn

1.3 降次求解

例3 已知x滿足x2-x-1=0,求解代數(shù)式-x3+2x2+2 014的值.

分析對于此類求值問題,學(xué)生通常是先求解一元二次方程,不僅過程比較復(fù)雜,而且求解的根是無理數(shù),代入所求代數(shù)式,由于代數(shù)式最高次是3次,求解難度比較大.因此,可以采取整體思想求解,對所求代數(shù)式進行轉(zhuǎn)化,根據(jù)已知變形代入,完成求解.

解∵x2-x-1=0,∴x2-x=1,

∵-x3+2x2+2 014=-x(x2-x)+x2+2 014=x2-x+2 014=2 015.

2 借助整體思想,解決方程及不等式問題

在初中數(shù)學(xué)解題中,部分方程問題和不等式問題比較復(fù)雜,面對這些問題,學(xué)生常常會無從下手.因此,教師可以結(jié)合題目結(jié)構(gòu)特點,引導(dǎo)學(xué)生利用整體思想,明確問題解題思路,有效簡化解題過程,強化學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維[3].

2.1 解答方程(組)

分析在解此類方程問題時,不少學(xué)生會按照常規(guī)方式解題,先去分母,之后求解.這樣的解題方式出現(xiàn)的最高次是4次,解題的難度比較大.因此,可以采取整體思想進行解題,通過對方程進行觀察,利用整體換元的方式,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程解題.

解設(shè)y=2x2+3x,

分析在此題解答時,如果將x、y的值代入原方程,得出m、n的值,之后代入到第二個方程中求解a、b的值,解題過程比較繁瑣,很容易出現(xiàn)解題錯誤.因此,通過對第二個方程進行觀察分析,未知項的系數(shù)與原方程的相同,因此,可以將a+b、a-b各看作整體,它們的值與x、y相同,可以快速得出a、b的值.

2.2 解不等式(組)

分析此題解題時,如果直接求解方程組,之后代入不等式,求解k的取值范圍,從理論上來說是可行的,但是這樣的解題過程非常麻煩,難度非常大.因此,可以將題目中x+y看作一個整體,對方程組進行整理,再進行分析求解,解題過程比較簡單容易.

3 利用整體思想,解答圖形與幾何問題

圖形與幾何問題是初中數(shù)學(xué)解題中的重要題型,對于一些問題,采取常規(guī)方式很難解答.因此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生觀察整體結(jié)構(gòu)特點,從整體角度分析問題,化繁為簡,幫助學(xué)生快速找出解題思路,提高學(xué)生解題效率[4].

3.1 求解圖形面積

例7 如圖1所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,分別以AC、BC作為直徑畫半圓,求解圖中陰影部分的圖形面積.(結(jié)果保留π)

圖1 例7題圖

分析此題如果采取常規(guī)方式解題,先分別計算陰影面積,之后求和,但由于陰影部分是不規(guī)則圖形,很難利用標準圖形面積公式進行計算.因此,可以利用差值方式,結(jié)合標準圖形解題.

解設(shè)各個部分的面積為S1、S2、S3、S4、S5,如圖2所示,

圖2 例7分析圖

∵兩個半圓的面積為S1+S4+S5+S2+S3+S4,△ABC的面積是S3+S4+S5,陰影部分的面積是S1+S2+S4,

∴圖中陰影部分的面積是兩個半圓的面積減去三角形的面積,即

3.2 解答幾何問題

例8 如圖3所示,在△ABC中,∠BAC=50°,BD是∠ABC的平分線,CD是∠ACB的平分線,求解∠BDC的度數(shù).

圖3 例8題圖

分析常規(guī)的解題方式是先求解出∠DBC、∠DCB,然后求解出∠BDC的度數(shù).但是,根據(jù)題目中的已知,無法求解出相應(yīng)角的度數(shù),因此,可以采取整體思路,將∠DBC、∠DCB的度數(shù)看作整體,求解出兩個角的度數(shù)和,完成解題.

解在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,

∵∠BAC=50°,

∴∠ABC+∠ACB=130°,

∵BD是∠ABC的平分線,CD是∠ACB的平分線,

在△BDC中,∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,

∴∠BDC=115°.

在初中數(shù)學(xué)解題中,教師需要注重數(shù)學(xué)思想的滲透,引導(dǎo)學(xué)生分析題目整體結(jié)構(gòu),明確問題解題方向,看出問題的本質(zhì),有效利用整體思想解題.在具體的教學(xué)中,教師應(yīng)當結(jié)合具體例題,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和反思,靈活利用數(shù)學(xué)思想,鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)思維,有效培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).