韋 艷

(昆山市錦溪高級(jí)中學(xué),江蘇 昆山 215300)

數(shù)學(xué)高考試題中,立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與最值問(wèn)題一直都是個(gè)難點(diǎn),如何突破這類(lèi)試題呢?下文從幾何法和向量法來(lái)分析與破解這類(lèi)試題.

1 真題再現(xiàn)

2021年高考全國(guó)甲卷立體幾何試題如下:

如圖1,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn).BF⊥A1B1.

(1)證明:BF⊥DE;

(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小[1]?

2 試題分析

第(1)問(wèn)的困難是不易確定點(diǎn)D的位置,從而給線線垂直的證明帶來(lái)了很大的困難.最佳的解決方案就是建立空間直角坐標(biāo)系,大部分學(xué)生都可以解決,這與以往的立體幾何綜合題的第(1)問(wèn)可以用幾何法輕松解決不同,需要考生靈活處理.用幾何法也可以解決,只是要把直三棱柱補(bǔ)成正方體,這一點(diǎn)考生不易想到.也可以考慮利用向量的數(shù)量積來(lái)解決.第(2)問(wèn)是求二面角的正弦值的最小值,考生感覺(jué)到困難的是運(yùn)算問(wèn)題,因?yàn)槠矫鍰EF的法向量中含有參數(shù),不易求,也是由于參數(shù)的存在,在求二面角的正弦值的最小值時(shí),考生會(huì)遇到困難.此外,也可以通過(guò)作輔助線尋找二面角的平面角來(lái)求解,也可以利用投影法來(lái)求解.給出一題多解,一是鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和培訓(xùn)學(xué)科核心素養(yǎng),二是在學(xué)生使用常規(guī)方法遇到困難時(shí),可以多一種選擇[2].

3 一題多解

(1)解法1幾何法

因?yàn)锽F⊥A1B1,A1B1∥AB,所以BF⊥AB.又因?yàn)锳B⊥BB1,BF∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锳B=BC=2,構(gòu)造正方體ABCG-A1B1C1G1,如圖2所示,過(guò)E作AB的平行線分別與AG,BC交于其中點(diǎn)M,N,連接A1M,B1N,因?yàn)镋,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),所以N是BC的中點(diǎn),易證Rt△BCF?Rt△B1BN,則∠CBF=∠BB1N.

又因?yàn)椤螧B1N+∠B1NB=90°,所以∠CBF+∠B1NB=90°,BF⊥B1N.

又因?yàn)锽F⊥A1B1,B1N∩A1B1=B1,所以BF⊥平面A1MNB1.

又因?yàn)镋D?平面A1MNB1,所以BF⊥DE.

解法2向量法

因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB

因?yàn)锳1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,又BB1∩BF=B,所以AB⊥平面BCC1B1.所以BA,BC,BB1兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖3所,建立坐標(biāo)系.

所以B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(1,1,0),F(0,2,1).

圖3 向量法

解法3向量法

(2)解法1 向量法

解法2 幾何法

如圖4所示,延長(zhǎng)EF交A1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)DS交B1C1于點(diǎn)T,則平面DFE∩平面BB1C1C=FT.

圖4 幾何法

作B1H⊥FT,垂足為H,因?yàn)镈B1⊥平面BB1C1C,聯(lián)結(jié)DH,則∠DHB1為平面BB1C1C與平面DFE所成二面角的平面角.

設(shè)B1D=t,t∈[0,2],B1T=s,過(guò)C1作C1G∥A1B1交DS于點(diǎn)G.

解法3 投影法

圖5 投影法

在Rt△DEQ中,

4 教學(xué)思考

第(2)問(wèn)的幾種解法各有優(yōu)劣,其中坐標(biāo)法是學(xué)生容易掌握的方法.對(duì)于立體幾何綜合題的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題或最值問(wèn)題,向量法是通法,對(duì)學(xué)生而言也是最佳的策略[3].作為一線教師,在日常教學(xué)中,要將利用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的思想滲透給學(xué)生,還要給學(xué)生充足的時(shí)間來(lái)完成運(yùn)算.而幾何法屬于巧法,對(duì)于大部分學(xué)生也是需要掌握的,思考多了,運(yùn)算量自然就減少了.

對(duì)于立體幾何的教學(xué),一線教師應(yīng)該歸回課本,重視通性通法,重視學(xué)生空間直觀的培養(yǎng),加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力.只有這樣,在遇到難一點(diǎn)的立體幾何試題時(shí),學(xué)生才能從容應(yīng)對(duì),發(fā)揮出自己的水平.