皇甫一樊，董興建，彭志科，劉 冰，龍新華

（1.上海交通大學(xué)機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海航天控制技術(shù)研究所 上海 201109）

引言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在工業(yè)中的應(yīng)用非常廣泛，齒輪傳動(dòng)的嚙合及動(dòng)力學(xué)特性關(guān)系到整臺(tái)設(shè)備的平穩(wěn)性和可靠性。工程中大量存在的制造、安裝誤差會(huì)引起齒面接觸狀態(tài)的改變，從而影響齒面損傷（如剝落［1］、磨損［2］和膠合）的發(fā)展，進(jìn)一步影響齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。大量研究聚焦于制造誤差或齒面損傷對(duì)齒輪的嚙合特性和響應(yīng)特性的影響規(guī)律。

齒距累積誤差是一種常見(jiàn)的齒輪制造誤差，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者分析了齒距誤差對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響［3-7］。王奇斌等［5］研究了齒距偏差對(duì)直齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響，結(jié)果表明齒距偏差會(huì)使嚙合頻率附近出現(xiàn)邊帶頻?；谳嘄X承載接觸分析方法，Yuan 等［6］建立了考慮齒距累積誤差的斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型，并將其推廣到人字齒輪［7］。

在齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中，齒面不可避免地發(fā)生磨損。對(duì)于磨損的研究主要可以分為準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)［8-9］和動(dòng)態(tài)假設(shè)［10-12］?；贏rchard 磨損模型，張俊等［8］建立了準(zhǔn)靜態(tài)條件下的直齒輪副磨損預(yù)測(cè)模型，并研究了不對(duì)中和扭矩對(duì)磨損量的影響。Ding 等［10］將齒輪動(dòng)力學(xué)模型與Archard 磨損模型進(jìn)行耦合，建立了動(dòng)態(tài)磨損預(yù)測(cè)模型，揭示了磨損與動(dòng)力學(xué)行為之間的相互作用。Feng 等［11］建立了一種改進(jìn)的齒輪副動(dòng)態(tài)磨損預(yù)測(cè)模型，并利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了磨損預(yù)測(cè)模型的有效性。

從上述文獻(xiàn)可以看出，現(xiàn)有的磨損模型忽略了齒間磨損的不均勻性，認(rèn)為各個(gè)輪齒上的磨損量是相同的。然而對(duì)于實(shí)際的齒輪副，齒距累積誤差的存在會(huì)改變齒間載荷分配，從而引發(fā)齒間磨損的不均勻性。由于缺乏相應(yīng)的理論與模型支撐，目前尚無(wú)文獻(xiàn)將考慮齒距誤差的動(dòng)力學(xué)模型與磨損模型相結(jié)合，定量分析齒距誤差對(duì)磨損均勻性的影響。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種考慮齒距誤差的齒輪副動(dòng)態(tài)磨損預(yù)測(cè)模型，并分析主/從動(dòng)輪齒數(shù)與磨損分布之間的內(nèi)在規(guī)律。

1 考慮齒距誤差的動(dòng)態(tài)磨損模型

1.1 考慮齒距累積誤差的載荷分配算法

由于加工誤差的存在，實(shí)際齒廓面往往會(huì)偏離理論漸開(kāi)線齒廓面，造成嚙合齒對(duì)提前或推遲參與嚙合。齒距累積誤差示意圖如圖1 所示，Pt為理論齒距，fpt為齒距誤差，F(xiàn)pk為第k個(gè)輪齒對(duì)應(yīng)的齒距累積誤差。齒距誤差大于零表示實(shí)際齒厚大于理論齒厚，反之表示實(shí)際齒厚小于理論齒厚。

圖1 齒距累積誤差示意圖Fig.1 Schematic of cumulative pitch errors

輪齒承載接觸分析（LTCA）方法兼顧了精度和求解效率［6，13］，并且能有效考慮各種形式的齒廓誤差，因此本文采用LTCA 方法獲取含齒廓偏差的齒輪副載荷分配。LTCA 方法的核心思想是將齒輪嚙合過(guò)程中的整體變形與接觸變形分離。接觸變形采用解析公式計(jì)算以提升計(jì)算效率，整體變形采用有限元法計(jì)算。

為了提升程序的通用性和計(jì)算效率，本文的有限元計(jì)算過(guò)程均在MATLAB 環(huán)境中實(shí)現(xiàn)。在MATLAB 中構(gòu)建的有限元網(wǎng)格如圖2 所示。

圖2 LTCA 所使用的有限元模型Fig.2 Finite element model adopted in LTCA

LTCA 方法計(jì)算的是齒面法向位移，因此需要將齒距累積誤差轉(zhuǎn)化到齒面法向：

式中αt為端面壓力角；βb為基圓螺旋角。

整體柔度矩陣可以表示為：

式中 下標(biāo)i和j分別表示在j點(diǎn)施加單位力，在i點(diǎn)提取位移；上標(biāo)p 和g 分別代表主動(dòng)輪和從動(dòng)輪；n表示潛在接觸點(diǎn)數(shù)目。

局部接觸柔度矩陣為：

式中Fi為第i個(gè)潛在接觸點(diǎn)的接觸力；E和L分別為彈性模量和齒寬。

輪齒承載接觸分析迭代方程為［13］：

式中Fn為法向接觸力向量，即齒面的載荷分配信息；δs為靜態(tài)傳遞誤差；Fs=T/rb1，表示靜態(tài)嚙合力，其中T和rb1分別為輸入扭矩和主動(dòng)輪基圓半徑；ε為齒廓偏差向量，該向量中應(yīng)當(dāng)包含輪齒分離距離［13］、輪齒修形量和齒距累積誤差量，I 為所有元素均為1 的向量，下標(biāo)表示向量的維度。

求解式（4）所示的非線性方程，獲得齒面載荷分配力Fn和靜態(tài)傳遞誤差δs。齒輪副的嚙合剛度的表達(dá)式為：

式中e表示空載傳遞誤差。

1.2 考慮齒距誤差的齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

輸入軸和輸出軸之間通過(guò)嚙合單元來(lái)模擬齒輪副嚙合關(guān)系，如圖3 所示?？紤]彎曲、扭轉(zhuǎn)和軸向自由度，建立齒輪嚙合單元，其廣義坐標(biāo)為：

圖3 齒輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Rotor dynamic model of gears

利用投影向量Vm將齒輪位移投影到嚙合線方向［14］：

式中ψ表示嚙合平面與y軸的夾角（如圖3 所示）；rb2表示從動(dòng)輪基圓半徑。齒輪嚙合單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋?5］：

采用Timoshenko 梁?jiǎn)卧M軸的柔性，傳動(dòng)軸兩端的軸承支撐采用線性彈簧來(lái)模擬。組集嚙合單元、梁?jiǎn)卧洼S承單元，形成整體剛度矩陣。齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)方程為［16］：

式中M，C，G和K分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣；F為外載荷向量；X為位移列陣。本模型中的阻尼采用比例阻尼形式。

動(dòng)態(tài)嚙合力可以表示為：

式中δ為動(dòng)態(tài)傳遞誤差。

對(duì)于傳統(tǒng)的齒輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析，振動(dòng)響應(yīng)的變化周期一般為嚙合周期。但是由于齒距累積誤差的存在，應(yīng)取一個(gè)追逐齒周期進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析：

式中Tm為齒輪的嚙合周期；lcm 函數(shù)表示取兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；Nap為組合狀態(tài)系數(shù)，其值為兩個(gè)齒輪齒數(shù)的最大公約數(shù)；z1和z2分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒數(shù)；fht為追逐齒頻率，它表示主動(dòng)輪和從動(dòng)輪上兩個(gè)特定輪齒相遇一次的頻率：

式中fm為嚙合頻率。由追逐齒頻率的定義可知，當(dāng)兩個(gè)齒輪齒數(shù)的最小公倍數(shù)較小，乃至齒輪齒數(shù)互質(zhì)時(shí)，追逐齒頻率很低。除此之外，由齒間嚙合不均勻性還能衍生出組合狀態(tài)頻率：

1.3 基于Archard 磨損理論的磨損預(yù)測(cè)模型

利用Archard 磨損模型計(jì)算單次磨損造成的磨損深度為［12］：

式中vp和vg分別為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪上嚙合點(diǎn)的滑移速度；aH為赫茲接觸區(qū)域半寬：

式中l(wèi)srs為L(zhǎng)TCA 方法得到的靜態(tài)載荷分配系數(shù)；ρe和Ee分別為齒輪副的等效曲率半徑和等效彈性模量。

kw為考慮不同潤(rùn)滑狀態(tài)下的磨損系數(shù)［10］：

式中λ為膜厚比：

式中Rrms為齒輪綜合表面粗糙度；hmin為最小油膜厚度［10］：

式中W，G和U分別為無(wú)量綱載荷參數(shù)、材料參數(shù)和速度參數(shù)。

kw0為邊界潤(rùn)滑狀態(tài)下的磨損系數(shù)［17］：

式中S為無(wú)量綱粗糙度參數(shù)；H為齒面洛氏硬度。

為了考慮動(dòng)力學(xué)和磨損之間的耦合關(guān)系，需要運(yùn)用迭代的思路進(jìn)行動(dòng)態(tài)磨損仿真。為了提升計(jì)算效率，不需要對(duì)每個(gè)磨損周期進(jìn)行載荷分配和動(dòng)力學(xué)模型的求解，而是在累積磨損深度大于磨損更新閾值εw（本文取2 μm）后才更新齒廓。利用這一方法，可將全生命周期磨損過(guò)程劃分成若干個(gè)階段，每個(gè)階段內(nèi)認(rèn)為載荷分配和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)是不變的。具體迭代流程如圖4 所示。

圖4 本文模型流程圖Fig.4 Flow chart of the proposed model

2 模型驗(yàn)證

利用文獻(xiàn)［18］中的含齒距累積誤差的斜齒輪副動(dòng)態(tài)傳遞誤差實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證本文模型的有效性。為了方便與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，采用與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)一致的齒廓偏差參數(shù)，所包含的齒廓偏差形式有：齒廓修形、齒向修形、齒距累積誤差和幾何偏心。齒輪副參數(shù)、齒廓偏差參數(shù)、軸段參數(shù)和軸承剛度參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［18］。

本文模型和實(shí)測(cè)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜對(duì)比如圖5 所示。從圖5 中可以看出，由齒距累積誤差所帶來(lái)的轉(zhuǎn)頻分量非常明顯，在嚙合頻率附近呈現(xiàn)出了非常明顯的邊頻帶。本文模型與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)所得的頻譜特征非常相似，說(shuō)明了本文仿真模型的有效性。

圖5 動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜Fig.5 Frequency spectrum of the dynamic transmission error

3 結(jié)果分析與討論

3.1 嚙合特性分析

采用表1 所示的參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)磨損仿真。主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的直徑分別為60 mm 和100 mm。軸的長(zhǎng)度為300 mm。軸承剛度如表2 所示，忽略軸承阻尼。

表1 齒輪副主要參數(shù)［19］Tab.1 Main paremeters of the gear pair［19］

表2 軸承剛度Tab.2 Bearing stiffness

主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒距累積誤差采用文獻(xiàn)［19］中的實(shí)測(cè)結(jié)果，如圖6 所示。

圖6 齒距累積誤差Fig.6 Cumulative pitch errors

如圖7 所示為不同運(yùn)轉(zhuǎn)次數(shù)下的主動(dòng)輪齒寬中間面的累積磨損深度。節(jié)點(diǎn)位置由于其相對(duì)滑移速度為零，因此磨損量為零。在齒根和齒頂部位有較大的磨損量。隨著運(yùn)轉(zhuǎn)次數(shù)的增大，由于齒根和齒頂部位發(fā)生嚴(yán)重磨損，該部位的接觸應(yīng)力減小，磨損速率放緩。

圖7 不同運(yùn)轉(zhuǎn)次數(shù)下的齒面磨損分布Fig.7 Wear distribution under different running times

不同情況下的時(shí)變嚙合剛度如圖8 所示。對(duì)于無(wú)齒距累積誤差的齒輪副，其每個(gè)嚙合周期內(nèi)的嚙合剛度是相同的。齒距累積誤差的引入會(huì)造成每個(gè)嚙合周期內(nèi)的嚙合剛度不同，在追逐齒周期內(nèi)呈現(xiàn)整體波動(dòng)趨勢(shì)。并且齒距誤差只影響雙齒區(qū)的嚙合剛度，單齒區(qū)的嚙合剛度與齒距累積誤差無(wú)關(guān)。在經(jīng)歷400×106次運(yùn)轉(zhuǎn)之后，單雙齒嚙合區(qū)之間的剛度變得平緩，并且雙齒區(qū)的長(zhǎng)度發(fā)生了縮減，即齒輪副的重合度降低了。

圖8 時(shí)變嚙合剛度Fig.8 Time-varying mesh stiffness

3.2 振動(dòng)特性分析

圖9 為運(yùn)轉(zhuǎn)400×106次后的動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜圖。如果不考慮由齒距累積誤差所引發(fā)的嚙合不均勻性，磨損齒輪的頻譜中僅含有嚙合頻率成分?？紤]齒距累積誤差所得到的磨損齒輪頻譜包含了更為豐富的頻率成分。在低頻段可以觀察到明顯的追逐齒頻率和組合狀態(tài)頻率等成分，在嚙合頻率及其諧波附近也有邊帶頻調(diào)制現(xiàn)象。由于本例中齒數(shù)的特殊性，其追逐齒頻率fht等于從動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)頻率fs2，組合狀態(tài)頻率fap等于主動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)頻率fs1。

圖9 磨損齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差階次譜Fig.9 Order spectrum of the dynamic transmission error of the worn gear

不同磨損退化階段的動(dòng)載系數(shù)如圖10 所示，動(dòng)載系數(shù)定義為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)周期內(nèi)最大動(dòng)態(tài)嚙合力與靜態(tài)嚙合力的比值。在早期磨損階段（磨合階段），磨損可以起到改善嚙合平穩(wěn)性的作用，其主要原因是輕微磨損可以緩解單雙齒交替過(guò)程中的輪齒干涉，起到磨合與“被動(dòng)修形”的作用。隨著運(yùn)轉(zhuǎn)次數(shù)的增加，由磨損導(dǎo)致的嚙合間隙（空載傳遞誤差）越來(lái)越大，齒輪系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的性能退化趨勢(shì)，振動(dòng)量直線上升。盡管本文模型和傳統(tǒng)模型（不考慮齒距誤差）都能預(yù)測(cè)這一性能退化過(guò)程，但傳統(tǒng)模型會(huì)低估10%左右的動(dòng)載系數(shù)。

圖10 不同運(yùn)轉(zhuǎn)次數(shù)下的動(dòng)載系數(shù)Fig.10 Dynamic factors under different running times

3.3 磨損不均勻性分析

傳統(tǒng)的磨損仿真分析建立在齒與齒之間載荷分配均勻的基礎(chǔ)上，因此所得到的各個(gè)齒上的磨損量相同。但是現(xiàn)實(shí)中，由于齒距累積誤差的存在，各個(gè)輪齒表面的磨損形貌往往是不同的。本文模型在考慮了齒距累積誤差之后，能有效地模擬齒間載荷不均勻?qū)е碌哪p不均勻性。本文模型所得到的磨損分布如圖11 所示，云圖的顏色表示各個(gè)輪齒上的齒根磨損深度。

圖11 不同齒上的磨損量Fig.11 Wear depth of different gear teeth

由于齒距累積誤差的存在，齒與齒之間的磨損量差距較大。主動(dòng)輪的磨損量普遍大于從動(dòng)輪磨的損量，這是由于在一個(gè)大周期內(nèi)，主動(dòng)輪參與嚙合的次數(shù)比從動(dòng)輪多。定義磨損不均勻性系數(shù)為各齒磨損量的標(biāo)準(zhǔn)差與平均值之比：

式中hroot為各輪齒齒根部位磨損量組成的向量。

在不同磨損階段的齒根磨損深度和磨損不均勻性系數(shù)如圖12 所示。傳統(tǒng)模型所得到的齒根磨損深度僅在磨損初期與本文模型接近，隨著磨損退化過(guò)程的進(jìn)行，本文模型與傳統(tǒng)模型的差異越來(lái)越大。兩種模型之間的差異與齒間磨損不均勻性密切相關(guān)。本文模型所預(yù)測(cè)的磨損不均勻性系數(shù)與動(dòng)載系數(shù)的變化趨勢(shì)類似。早期磨損有助于緩解齒距誤差帶來(lái)的齒間載荷分配不均，但劇烈的磨損會(huì)惡化均載特性與接觸狀態(tài)，導(dǎo)致振動(dòng)加劇乃至失效。

圖12 不同運(yùn)轉(zhuǎn)次數(shù)下的齒根磨損深度和磨損不均勻性系數(shù)Fig.12 Wear depth of the tooth root and non-uniformity factors under different running times

為了研究不同齒數(shù)組合下的磨損分布特性，分別對(duì)表3 中給出的五組齒數(shù)組合進(jìn)行磨損均勻性評(píng)估。定義追逐齒系數(shù)為：

表3 不同齒數(shù)組合Tab.3 Different designs of the tooth number

圖13 為主動(dòng)輪磨損均勻性系數(shù)隨追逐齒系數(shù)的變化規(guī)律。從圖13 中可以看出，隨著追逐齒系數(shù)的增大，磨損不均勻性系數(shù)增大，即齒與齒之間的磨損量差異增大。對(duì)于齒輪副A，兩齒輪齒數(shù)互質(zhì)，其磨損不均勻性系數(shù)最小。這是因?yàn)辇X數(shù)互質(zhì)時(shí)，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪上兩個(gè)特定輪齒相遇一次的周期（追逐齒周期）最長(zhǎng)。在追逐齒周期內(nèi)，主動(dòng)輪輪齒會(huì)與每個(gè)從動(dòng)輪輪齒嚙合一遍。隨著嚙合過(guò)程的進(jìn)行，齒與齒之間的磨損逐漸趨于均勻。兩齒輪齒數(shù)互質(zhì)的設(shè)計(jì)被稱為追逐齒設(shè)計(jì)。相比于原設(shè)計(jì)（齒輪副D），追逐齒設(shè)計(jì)（齒輪副A）可以使磨損不均勻系數(shù)降低約30%。對(duì)于齒輪副E，主動(dòng)輪的輪齒會(huì)永遠(yuǎn)與從動(dòng)輪的某個(gè)輪齒嚙合，這自然會(huì)引發(fā)某些特定輪齒的劇烈磨損。在齒輪的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)，應(yīng)當(dāng)充分考慮追逐齒問(wèn)題以獲得更加均勻的磨損形式，降低齒輪局部失效的發(fā)生概率。

不同齒距累積誤差下的動(dòng)載系數(shù)如圖14 所示。（圖6 中的齒距累積誤差定義為100%）。對(duì)于不同的齒距誤差情況，追逐齒設(shè)計(jì)均能有效地減小振動(dòng)。當(dāng)齒輪加工精度較高時(shí)（見(jiàn)圖14 中的20%齒距累積誤差），追逐齒設(shè)計(jì)與原設(shè)計(jì)在振動(dòng)響應(yīng)上的差距較小。由于傳動(dòng)比和結(jié)構(gòu)尺寸等因素的限制，工程中并非所有齒輪均能滿足追逐齒設(shè)計(jì)的要求。當(dāng)齒輪的齒距累積誤差較小時(shí)，可適當(dāng)放寬追逐齒設(shè)計(jì)這一要求。

4 結(jié)論

基于輪齒承載接觸分析方法、齒輪轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型和Archard 磨損模型，提出了一種考慮齒距累積誤差的齒輪動(dòng)態(tài)磨損預(yù)測(cè)模型。通過(guò)將仿真頻譜與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了模型的有效性?；谏鲜瞿Ｐ?，分析了齒距累積誤差對(duì)響應(yīng)特性和磨損分布的影響，主要結(jié)論如下：

（1）齒距累積誤差會(huì)給嚙合剛度、傳遞誤差以及振動(dòng)響應(yīng)引入軸旋轉(zhuǎn)頻率、追逐齒頻率和組合狀態(tài)頻率等豐富的頻率成分。而傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型所得頻譜中一般只含有嚙合頻率成分。

（2）本文模型可以評(píng)估由于齒距累積誤差所導(dǎo)致的齒間磨損不均勻性，改進(jìn)了傳統(tǒng)磨損模型中各輪齒磨損量相等這一理想化假設(shè)。輕微磨損有助于緩解齒間載荷分配不均，但劇烈的磨損會(huì)惡化均載特性，導(dǎo)致振動(dòng)加劇。

（3）本文動(dòng)態(tài)磨損模型可以建立追逐齒系數(shù)與磨損不均勻性系數(shù)之間的映射關(guān)系。采用追逐齒設(shè)計(jì)可以使磨損不均勻系數(shù)降低約30%。當(dāng)齒距累積誤差較小時(shí)，可適當(dāng)放寬追逐齒設(shè)計(jì)這一要求。