鄭益謙，上官文斌

（1.暨南大學包裝工程學院，廣東 珠海 519070；2.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510641）

引言

懸架系統(tǒng)的隔振性能是衡量汽車品質(zhì)的一個重要指標。近年來，空氣懸架因其剛度可變、高度可調(diào)的優(yōu)點，在軌道車輛、商用車和部分高級轎車中得到廣泛應用。作為空氣懸架的關鍵部件，空氣彈簧的動態(tài)特性對懸架系統(tǒng)的隔振性能，乃至對汽車的舒適性和平順性等方面起重要作用［1-2］。

帶附加氣室的空氣彈簧是通過在空氣彈簧主氣室以外增加附加氣室，并通過節(jié)流孔或管路連接兩個氣室，形成的具有較低靜剛度和較高動剛度的空氣彈簧系統(tǒng)。管路型帶附加氣室的空氣彈簧可實現(xiàn)附加氣室與空氣彈簧分離的布置方案，合理利用懸架以外的空間，使懸架系統(tǒng)更加緊湊，是目前汽車空氣懸架的主要布置方案［3］。

管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)主要由空氣彈簧、附加氣室以及連接管路三部分組成。由于管路和附加氣室的引入，管路型帶附加氣室空氣彈簧較單個空氣彈簧具有更加復雜的非線性動態(tài)特性［4］。目前，國內(nèi)外研究人員針對管路型帶附加氣室空氣彈簧的研究是從頻域動態(tài)特性的建模方法開展的，主要集中在主氣室、附加氣室、以及管路的建模方法上。

在主氣室與附加氣室建模的研究方面，Sreenivasan 等［5］利用幾何建模的方法，推導了空氣彈簧主氣室的剛度計算模型。Berg［6］將帶附加氣室的空氣彈簧視為若干個彈簧和阻尼串并聯(lián)組成的模型，利用物理元件的力學性能表征空氣彈簧主氣室和附加氣室的等效剛度和等效阻尼。Quaglia 等［7］將空氣彈簧內(nèi)部氣體視為理想氣體，分別推導了主氣室和附加氣室的熱力學模型。

在管路建模的研究方面，Nieto 等［8］根據(jù)管路兩端的壓力差與空氣流量的關系，建立了管路內(nèi)氣體的流動特性模型。由于該模型忽略了管路內(nèi)氣體的慣性，無法準確反映管路內(nèi)氣體的振動特性，只適用于管路長度較短的情況。Toyofuku 等［9］通過試驗研究的方法，測試了長管路帶附加氣室空氣彈簧的動剛度，發(fā)現(xiàn)動剛度曲線存在共振峰。在此研究基礎上，Zhu 等［10］建立了描述長管路內(nèi)空氣質(zhì)量運動的控制方程，該管路模型可以較好地表征空氣彈簧的頻域動態(tài)特性。

國內(nèi)的學者對空氣彈簧的研究主要集中在單個空氣彈簧的建模方法上［11］，對帶附加氣室的空氣彈簧的動態(tài)特性研究較少?？諝鈴椈稍谒矐B(tài)工況，尤其是沖擊工況（如通過減速帶）下的力響應較大，會影響連接部件的壽命，降低車輛的舒適性。建立帶附加氣室空氣彈簧的時域動態(tài)特性模型是后續(xù)建立振動主動控制模型的基礎和必要工作。吳善躍等［12］研究了帶附加氣室的空氣彈簧的沖擊特性，通過數(shù)值計算與有限元相結合的方法，分析了空氣彈簧的沖擊隔離特性。李仲興等［13］搭建了帶附加氣室的空氣彈簧動態(tài)特性的試驗臺，研究了附加氣室體積、管路直徑等參數(shù)對空氣彈簧動剛度的影響。

綜上所述，在目前的研究中，對空氣彈簧的動態(tài)特性的研究較多關注單個空氣彈簧的建模，對管路型帶附加氣室的空氣彈簧的動態(tài)特性建模的研究較少；此外，空氣彈簧的時域動態(tài)特性對系統(tǒng)隔振性能具有重要影響，例如，傳遞力的超調(diào)量會影響應力峰值，衰減時間會影響隔振的響應速度的快慢等。但上述研究幾乎都是在頻率域上進行的，較少涉及時域動態(tài)特性。現(xiàn)有的時域模型以有限元仿真、數(shù)值模型或試驗研究為主，不利于后續(xù)參數(shù)影響分析和優(yōu)化，相比而言，本文提出的解析模型具有高效、可集成優(yōu)化和控制的優(yōu)點。

本文以管路型帶附加氣室的無約束膜式空氣彈簧為研究對象，搭建了空氣彈簧動態(tài)特性測試的試驗臺，給出了空氣彈簧時頻域動態(tài)特性的測試方法。建立了空氣彈簧的動復剛度的頻域模型，利用卷積定理，提出了空氣彈簧時域動態(tài)特性的解析計算方法?；诮⒌哪Ｐ团c測試數(shù)據(jù)，識別了模型參數(shù)。在簡諧激勵和階躍激勵下，對比傳遞力響應的計算值與測試值，驗證了本文模型的準確性。

1 空氣彈簧動態(tài)特性的測試

1.1 動態(tài)特性的測試方法

帶附加氣室的空氣體彈簧系統(tǒng)的測試原理圖和裝置圖如圖1（a）和1（b）所示。動態(tài)特性測試在MTS-831.50 彈性體性能測試試驗臺上進行。試驗臺集成有位移傳感器、力傳感器和壓力傳感器，可以同步測試激勵位移、輸出力和空氣壓力的信號。本試驗搭建了一套供氣系統(tǒng)，用于提供空氣彈簧所需的高壓氣源。空氣壓縮機產(chǎn)生高壓氣體后，存儲在儲氣罐中。充氣時，開關閥開啟，氣體經(jīng)由氣路進入空氣彈簧主氣室和附加氣室；待空氣彈簧內(nèi)部氣壓達到設定值后，開關閥關閉，空氣彈簧、管路以及附加氣室形成封閉的系統(tǒng)。

為研究不同的管路尺寸對空氣彈簧動態(tài)特性的影響，選取4 種不同管路直徑、長度組合的空氣彈簧系統(tǒng)進行研究，如表1 所示。

表1 空氣彈簧時域動態(tài)特性的測試方案Tab.1 Schemes for measuring the dynamic characteristics of the air spring system

空氣彈簧試驗中，初始壓力為0.5 MPa，環(huán)境溫度為20 ℃，空氣彈簧的有效面積為6.48×10-3m2，主氣室與附加氣室的有效體積分別為6.3×10-4m3和2×10-3m3。

空氣彈簧系統(tǒng)試驗包括簡諧試驗和階躍試驗兩部分。在簡諧試驗中，對空氣彈簧底部活塞施加簡諧位移激勵，激勵振幅為0.5 mm，頻率范圍為0.5～20 Hz，間隔0.5 Hz。在階躍試驗中，對空氣彈簧底部活塞施加幅值為10 mm 的階躍位移激勵。

1.2 動態(tài)特性的測試結果

在試驗過程中，由位移傳感器和力傳感器測得不同頻率下空氣彈簧的位移x（t）和傳遞力F（t），空氣彈簧的動復剛度為：

式中 符號F 代表傅里葉變換；K1為儲存剛度；K2為損失剛度。

系統(tǒng)的動剛度|Kd|和滯后角φ為：

根據(jù)式（1）和（2）處理測試的位移和力的數(shù)據(jù)，可得在簡諧激勵下系統(tǒng)的動剛度和滯后角的試驗結果，如圖2 所示。

圖2 簡諧激勵下空氣彈簧系統(tǒng)動態(tài)特性測試結果Fig.2 The measured dynamic characteristics of air spring system under the harmonic excitations

管路型空氣彈簧的動剛度具有共振峰；隨管路長度的減小，動剛度的共振峰頻率和滯后角的峰值頻率均增大。當管路長度減小為0，即管路簡化為節(jié)流孔時，氣體流道內(nèi)的空氣集中質(zhì)量很小，此時管路內(nèi)的集中空氣質(zhì)量不會在常見路面激勵頻率范圍（0～20 Hz）內(nèi)發(fā)生共振，因此動剛度的共振峰消失。隨著管徑的減小，管路的阻尼效應增大，共振峰的峰值會被抑制。

在階躍激勵下，空氣彈簧系統(tǒng)的時域動態(tài)特性試驗結果如圖3 所示。

圖3 階躍激勵下空氣彈簧系統(tǒng)動態(tài)特性測試結果Fig.3 The measured dynamic characteristics of air spring system under the step excitations

由圖3 可見，試驗中的階躍激勵需經(jīng)歷時間T0才能到達指定的幅值，形狀更接近雙曲正切激勵曲線，而非理想階躍激勵曲線。傳遞力曲線在階段Ⅱ呈現(xiàn)振蕩衰減，隨管路長度的減小，A1 曲線的振蕩衰減周期相比A2 曲線有所減小，當管路長度減小為0時（A4 曲線），振蕩衰減現(xiàn)象消失。這是由于節(jié)流孔內(nèi)空氣慣性效應可以忽略，在主氣室與附加氣室之間的氣體可以快速交換，因此在施加階躍激勵后，空氣彈簧傳遞力的波動快速減弱并呈單調(diào)衰減。而隨著管徑的減小，流道阻尼快速增大，過大的阻尼引起過阻尼效應，使A3 曲線的振蕩現(xiàn)象消失。

2 空氣彈簧動態(tài)特性的計算模型

為了表征空氣彈簧的時域動態(tài)特性，本節(jié)建立了空氣彈簧的頻域模型，并利用卷積定理，推導了空氣彈簧的時域動態(tài)特性模型。

2.1 集總參數(shù)模型

帶附加氣室的空氣彈簧系統(tǒng)的物理模型如圖4所示。圖中，A1，P1，V1和A2，P2，V2分別為主氣室和附加氣室的有效面積、內(nèi)部氣壓和有效體積；α為空氣彈簧有效面積變化率；lp，dp和Ap分別為管路長度、直徑和橫截面積；mp，xp，q和ρ分別為管路內(nèi)空氣質(zhì)量、位移、流量和密度；Pa，Ta分別為環(huán)境壓力和溫度。

圖4 管路型帶附加氣室的空氣彈簧系統(tǒng)的物理模型Fig.4 The schematic diagram of a pipe-type air spring with auxiliary chamber

取空氣彈簧系統(tǒng)整體為分析對象，在位移激勵作用下，上蓋板受到的傳遞力為：

式中Fm為空氣彈簧的靜態(tài)載荷，即平衡狀態(tài)下的承載重量；Fd為動態(tài)載荷，即在平衡位置處受到外界激勵時的傳遞力變化值。

取主氣室和附加氣室為分析對象，兩氣室內(nèi)的氣體壓強變化率為［14］：

式中γ為氣體多變指數(shù)，取值為1.4；R為氣體常數(shù)，R=8.314 J·mol-1·K-1；第二個下標為‘0’表示該物理量取值為平衡狀態(tài)的初始值。

取管路為研究對象，根據(jù)氣體運動的連續(xù)方程和動量方程［14］，管路內(nèi)空氣的流動方程為：

式中ηp和ξp分別代表氣體經(jīng)過管路的沿程損耗系數(shù)和局部損耗系數(shù)，Xp為管路內(nèi)空氣位移xp的幅值。

式（3）對時間t求導可得：

式中x（t）為位移激勵函數(shù)。

式（4），（5）可改寫為：

2.2 頻域動態(tài)特性模型

對式（6），（7）和（8）分別進行拉普拉斯變換，整理可得管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)的動剛度為：

式中Ip為慣性系數(shù)；ω'n和ξ'，ωn和ξ分別為分子、分母二階多項式的固有頻率和阻尼系數(shù)。

可見，管路型帶附加氣室空氣彈簧動剛度的分子、分母多項式最高階次均為二階。因此，該系統(tǒng)的動剛度曲線將會出現(xiàn)共振峰現(xiàn)象，這與圖2 的試驗結果一致。

單個空氣彈簧模型和節(jié)流孔型帶附加氣室的空氣彈簧模型均為本文模型的特例。令慣性系數(shù)Ip=0，即為節(jié)流孔型帶附加氣室的空氣彈簧模型；令阻尼系數(shù)趨于無窮大Rp→∞，即為單個空氣彈簧模型。

2.3 時域動態(tài)特性模型

管路型帶附加氣室空氣彈簧的動剛度Kd（s）可改寫為：

利用卷積運算［15］，可得空氣彈簧的動態(tài)傳遞力為：

式中 符號“?”為卷積運算符；x（t）為位移激勵函數(shù)；hd（t）為空氣 彈簧動剛度Kd（s）的單位 脈沖響 應函數(shù)：

式中δ（t）為delta 函數(shù)。

2.3.1 簡諧激勵作用下的傳遞力

激振振幅為A，圓頻率為ω的簡諧位移激勵函數(shù)為：

將式（14）和（15）代入式（13），可得在簡諧激勵下空氣彈簧的傳遞力：

2.3.2 階躍激勵作用下的傳遞力

利用雙曲正切函數(shù)表示近似階躍激勵的時域函數(shù)表達式為：

式中A0為位移激勵幅值；σ為尺度系數(shù)，調(diào)整σ可調(diào)節(jié)雙曲正切函數(shù)上升段的斜率，使其接近試驗測量的階躍曲線。

將式（14）和（17）代入式（13），可得在階躍激勵下空氣彈簧的傳遞力為：

式中ΔH（t）為雙曲正切函數(shù)項。

2.4 模型參數(shù)的辨識方法

基于2.3 節(jié)推導的空氣彈簧系統(tǒng)傳遞力時域響應模型，模型參數(shù)歸納為以下兩類：主氣室和附加氣室參數(shù)C1，C2，KA，KS和N；管路參數(shù)Ip，Rp。

主氣室和附加氣室參數(shù)與結構參數(shù)（lp，Ap，V20）和狀態(tài)參數(shù)（Ta，Pa，P10，P20，A10，α，V10）有關（見式（9））。其中，結構參數(shù)為已知的參數(shù)；狀態(tài)參數(shù)中，Ta，Pa，P10和P20由傳感器測量，α和V10由空氣彈簧規(guī)格參數(shù)得到。

管路慣性系數(shù)Ip由結構參數(shù)lp和Ap計算得到；阻尼系數(shù)Rp根據(jù)圖5 所示的傳遞力響應曲線的衰減振蕩特征辨識得到。

圖5 在階躍激勵作用下空氣彈簧的傳遞力響應Fig.5 The transfer force response of air spring system under the step excitations

管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)在近似階躍激勵作用下的傳遞力響應表達式如式（18）所示。當t→∞時，傳遞力F（t）收斂于常數(shù)值：

如圖5 所示，傳遞力以Td=2π/ωd為周期衰減，波動峰落在包絡線Ξ（t）上，其表達式為：

定義相鄰兩個振蕩峰比值的對數(shù)為對數(shù)衰減率δ，由式（19），（20）可得：

根據(jù)傳遞力階躍響應曲線在振蕩衰減過程中的波峰值和波谷值可計算對數(shù)衰減率δ和ξ，進而由式（11d）可得阻尼系數(shù)：

3 計算實例

以表1 中A2 系統(tǒng)為計算實例，基于2.4 節(jié)的參數(shù)識別方法，識別得到A2 系統(tǒng)的參數(shù)，如表2所示。

表2 空氣彈簧模型參數(shù)辨識結果Tab.2 Identified results of the model parameters

在激勵振幅為0.5 mm，頻率分別為10 Hz 和15 Hz 的簡諧激勵下，取空氣彈簧達到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)后的時間段進行分析，本文提出的空氣彈簧時域動態(tài)特性模型的計算結果與試驗結果如圖6 所示。

圖6 簡諧激勵下本文模型計算值與試驗值的對比Fig.6 Comparisons of the calculated and measured results of air spring system under the harmonic excitations

由圖6 可見，本文建立的時域動態(tài)特性模型的計算結果和試驗測試結果吻合較好，計算傳遞力響應峰峰值在10 Hz 和15 Hz 處的誤差僅有3.3%和4.1%。

在激勵振幅為10 mm 的階躍位移激勵下，本文提出的空氣彈簧時域動態(tài)特性模型的計算結果與試驗結果如圖7 所示。

圖7 階躍激勵下本文模型計算值與試驗值的對比Fig.7 Comparisons of the calculated and measured results of air spring system under the step excitations

雙曲正切響應在曲線最高點過渡平滑，與實際的試驗曲線吻合較好。管路型空氣彈簧系統(tǒng)在第一個波谷處雙曲正切響應的幅值偏大。這是由于本文模型忽略了管道內(nèi)空氣的壓縮性，低估了空氣阻尼，導致振蕩幅值偏大。

基于本文模型可以理論地解釋管路型帶附加氣室空氣彈簧在階躍激勵下的傳遞力響應呈現(xiàn)振蕩衰減的原因：由式（18）可知，在階段I，傳遞力的主導項為雙曲正切函數(shù)項，與試驗激勵一樣，傳遞力需經(jīng)歷時間T0后到達峰值；在階段Ⅱ，傳遞力的主導項為指數(shù)衰減項e-at與頻率為ωd的正弦函數(shù)乘積，因此傳遞力曲線呈現(xiàn)振蕩衰減，對應圖3 中的A2 曲線。當管路的長度為0 時，階段Ⅱ的傳遞力的主導項為指數(shù)衰減項e-at與常數(shù)項的乘積，因此傳遞力曲線呈現(xiàn)單調(diào)遞減，對應圖3 中的A4 曲線。

從物理意義上看，振蕩衰減現(xiàn)象是由于管路內(nèi)的空氣集中質(zhì)量不能忽略，由此引入的慣性效應使空氣在主氣室和附加氣室之間交換時，在管路內(nèi)形成了一個空氣集中質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。在階躍激勵下，主氣室內(nèi)的空氣壓力快速升高，但由于管路具有一定長度，高壓氣體無法瞬間傳遞到附加氣室，因此傳遞力快速增大到峰值。隨后，高壓氣體通過管路傳遞到附加氣室而后傳回到主氣室，空氣在管路內(nèi)來回交換引起管路內(nèi)的空氣質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的振動，體現(xiàn)為空氣彈簧傳遞力響應的振蕩衰減變化。最后，直到兩個氣室內(nèi)的空氣壓力達到一致，傳遞力回落到穩(wěn)定值。相比而言，圖3 的A4 曲線為連接處是小孔（管長為0）的情況。在這種情況下，空氣慣性可以忽略，因此A4 曲線的階躍響應呈現(xiàn)單調(diào)遞減。

4 結論

（1）本文建立的管路型帶附加氣室空氣彈簧的時域動態(tài)特性計算模型具有較高的計算精度，在簡諧激勵下傳遞力的計算結果與試驗結果誤差小于5%，在階躍激勵下可以準確地表征空氣彈簧系統(tǒng)的時域傳遞力響應特性。

（2）在階躍激勵下，管路型帶附加氣室空氣彈簧系統(tǒng)的傳遞力曲線隨時間呈現(xiàn)振蕩衰減變化。本文的模型從機理上揭示了管路內(nèi)氣體的慣性效應是導致該現(xiàn)象的原因，即在階躍激勵下，管路內(nèi)的氣體慣性不可忽略，管路的空氣集中質(zhì)量可等效為一個質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，空氣在管路內(nèi)來回交換引起管路內(nèi)的空氣質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的振動，進而體現(xiàn)為空氣彈簧傳遞力響應的振蕩衰減變化。