劉學

摘要：數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)類試題是新高考數(shù)學試卷中的一類基本考點，體現(xiàn)了社會發(fā)展對高考的要求.根據(jù)數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)中幾類比較常見的形式，從自主創(chuàng)新與科學發(fā)展、文化傳承與“五育”并舉、生活情境與數(shù)學應(yīng)用，以及研究探索與遷移創(chuàng)新等方面展開，結(jié)合實例來剖析與應(yīng)用，有效培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與數(shù)學核心素養(yǎng)等.

關(guān)鍵詞：新教材；新課程；新高考；情境；創(chuàng)新

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程〔《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》〕、新高考的“三新”背景下，數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)類試題已經(jīng)成為高考命題中的一個熱點，借助現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境等的構(gòu)建，巧妙滲透教學改革的價值導(dǎo)向及綜合化、情境化與開放化等意識，有效考查學生的數(shù)學能力與數(shù)學核心素養(yǎng)等.

1 自主創(chuàng)新與科學發(fā)展

習近平總書記指出：“自主創(chuàng)新是我們攀登世界科技高峰的必由之路.我國要在科技創(chuàng)新方面走在世界前列，必須在創(chuàng)新實踐中發(fā)現(xiàn)人才、在創(chuàng)新活動中培育人才.”

數(shù)學被稱為科學的“皇后”，是學習一切科學的基礎(chǔ)，也是人的發(fā)展的必要條件.數(shù)學學習的好壞決定著人才的發(fā)展高度，更是新時代科技創(chuàng)新與發(fā)展方面人才選拔的一個重要基礎(chǔ).借助自主創(chuàng)新與科學發(fā)展這方面的數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)，引領(lǐng)高中數(shù)學教學與人才培養(yǎng)方向，為新時代選拔更多更優(yōu)秀的人才.

例1（山東省濟南市2023年3月高三模擬考試數(shù)學試卷）機器學習是人工智能和計算機科學的分支，專注于由數(shù)據(jù)和算法來模擬人類學習的方式.在研究時需要估算不同樣本之間的相似性，通常采用的方法是計算樣本間的“距離”，閔氏距離是常見的一種距離形式.兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的閔氏距離為Dp（A，B）=（|x1－x2|p+|y1－y2|p）1p，其中p為非零常數(shù).如果點M在曲線y=ex上，點N在直線y=x－1上，則D1（M，N）的最小值為.

分析：根據(jù)數(shù)學情境，利用閔氏距離的創(chuàng)新定義并結(jié)合具體的曲線條件，構(gòu)建對應(yīng)距離的表達式，進而結(jié)合重要不等式結(jié)論ex≥x+1與絕對值不等式性質(zhì)加以合理放縮，從而得以分析與求解對應(yīng)的最值問題.

解析：

設(shè)N（x，x-1），M（t，et）.則D1（M，N）=|x-t|+|x-1-et|.

令f（x）=1+ex-x，則f′（x）=ex-1.

當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0;當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0.

所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

因此f（t）≥f（0）=2，即1+et≥t+2＞t.

當x≤t時，D1（M，N）=t-x+1+et-x=et+t+1-2x≥et-t+1≥2;

當t＜x＜1+et時，D1（M，N）=x-t+1+et-x=1+et-t≥2;

當x≥1+et時，D1（M，N）=x-t+x-1-et=2x-t-1-et≥2（1+et）-t-1-et=1+et-t≥2.

綜上所述，可知D1（M，N）的最小值為2.

故填答案：2.

點評：涉及自主創(chuàng)新與科學發(fā)展方面的數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)問題，往往以新時代前沿科學發(fā)展或創(chuàng)新應(yīng)用為場景來創(chuàng)設(shè)，合理數(shù)學建模，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的數(shù)學問題，進而利用數(shù)學知識來分析與應(yīng)用.

2 文化傳承與“五育”并舉

任子朝先生認為：文化與數(shù)學史考題體現(xiàn)“創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新性發(fā)展”.借助數(shù)學文化類的情境創(chuàng)設(shè)試題，把弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與學習借鑒國外優(yōu)秀文化成果相結(jié)合，增強中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的生命力和影響力，促進學生培養(yǎng)文化探究和創(chuàng)新意識，培育人文精神，實現(xiàn)文化傳承，增強文化自覺和文化自信，體現(xiàn)高考選拔以及德、智、體、美、勞等“五育”全面發(fā)展的育人的重大使命.

例2（2023屆江蘇省南京市、鹽城市高三年級第二次模擬考試數(shù)學試卷）三星堆古遺址作為“長江文明之源”，被譽為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號坑發(fā)現(xiàn)的神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的禮器，有學者認為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn).如圖1，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，圓柱的高為12 cm，圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球O上，則球O的表面積為（）.

A.72π cm2

B.162π cm2

C.216π cm2

D.288π cm2

分析：根據(jù)數(shù)學情境，結(jié)合對應(yīng)玉琮的結(jié)構(gòu)特征，利用圓柱與正方體這兩個基本空間圖形之間的位置關(guān)系，通過設(shè)圓柱底面圓半徑與球的半徑，構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式，得以求解球的半徑，進而求球的表面積.

解析：設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，球O的半徑為R，則正方體的棱長為2r，

依題可得

2R=（2r）2+（2r）2+（2r）2，62+r2=R2.

解得R2=54.

所以球O的表面積為S=4πR2=216π（cm2）.

故選擇答案：C.

3 生活情境與數(shù)學應(yīng)用

數(shù)學源于生活，高于生活.在生活情境中提煉抽象出數(shù)學問題，本身就是將數(shù)學與生活結(jié)合在一起，真正體現(xiàn)學以致用.勞動創(chuàng)造了數(shù)學，活動是數(shù)學的表象，高考中的生活情境類問題就是考查學生透過表象抓住問題的數(shù)學本質(zhì)的能力，充分體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用.

例3〔2023屆廣東省名校聯(lián)盟高三（下）學期大聯(lián)考數(shù)學試卷〕“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為20 m/s，然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的85%，若石片接觸水面時的速度低于6 m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（）.（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3，1g 3≈0.48，lg 17≈1.23.）

A.6

B.7

C.8

D.9

分析：根據(jù)數(shù)學情境，結(jié)合“打水漂”游戲構(gòu)建對應(yīng)的等比數(shù)列與不等式，通過函數(shù)運算以及不等式的性質(zhì)，利用對數(shù)運算來求值處理，進而通過不等式的求解來確定與應(yīng)用.

解析：設(shè)小趙同學這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為x，x∈N*，

依題可得20×0.85x－1<6，即0.85x－1<0.3，則有x－1>log0.850.3.

而log0.850.3=lg 0.3lg 0.85=lg 3－1lg 85－2=lg 3－1lg 5+lg 17－2=lg 3－1lg 17－lg 2－1≈7.4，即x－1>7.4，所以x=8.

故選擇答案：C.

點評：涉及生活情境與數(shù)學應(yīng)用方面的數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)問題，借助生活中的實際問題來闡述相應(yīng)的數(shù)學應(yīng)用問題，充分展示數(shù)學來源于生活，又高于生活，同時有效指導(dǎo)生活.

4 研究探索與遷移創(chuàng)新

借助數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)考生進行合理的研究探索或知識遷移，結(jié)合數(shù)學中的概念類比、公式設(shè)置、性質(zhì)應(yīng)用、知識拓展與創(chuàng)新應(yīng)用等，通過“再加工”，進行創(chuàng)新與應(yīng)用.創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用是新時代的一個主旋律，也是高中數(shù)學教學與學習中不斷滲透與培養(yǎng)的一種基本精神與能力.

例4（2023屆江蘇省鹽城市、南京市高三第一學期期末調(diào)研測試數(shù)學試卷）在概率論中常用散度描述兩個概率分布的差異.若離散型隨機變量X，Y的取值集合均為{0，1，2，3，……，n}（n∈N*），則X，Y的散度D（X‖Y）=∑ni=0P（X=i）lnP（X=i）P（Y=i）.若X，Y的概率分布如表1所示，其中0

分析：根據(jù)數(shù)學情境，從創(chuàng)新定義X，Y的散度D（X‖Y）入手，結(jié)合創(chuàng)新公式與數(shù)據(jù)處理來構(gòu)建對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)的取值范圍問題.

解析：根據(jù)題設(shè)中的創(chuàng)新公式，可得D（X‖Y）=P（X=0）lnP（X=0）P（Y=0）+P（X=1）lnP（X=1）P（Y=1）=12ln121－p+12ln12p=－12ln ＼.

由0＜p＜1，可得p（1－p）=－p－122+14∈0，14〗，則ln ＼≤0.

所以D（X‖Y）=－12ln ＼≥0，即D（X‖Y）的取值范圍是＼點評：涉及探索與遷移創(chuàng)新方面的數(shù)學情境創(chuàng)設(shè)問題，以方法操作或創(chuàng)新定義等方式給出，通過對此類問題的研究與探索，合理遷移對應(yīng)的數(shù)學知識，在此基礎(chǔ)上加以有效創(chuàng)新應(yīng)用.