費(fèi)樹(shù)優(yōu)
【摘? 要】 行程問(wèn)題是培養(yǎng)小學(xué)生思維能力的較好素材,是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中不易突破的難點(diǎn)之一。文章將行程問(wèn)題劃分為單一物體運(yùn)動(dòng)、兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)和稍復(fù)雜的行程問(wèn)題等三類(lèi)進(jìn)行教學(xué)探討,旨在實(shí)現(xiàn)分類(lèi)指導(dǎo),有的放矢地培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。
【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué);行程問(wèn)題;教學(xué)探討
在小學(xué)數(shù)學(xué)中,行程問(wèn)題是解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)常見(jiàn)的一類(lèi)題型。廣大數(shù)學(xué)教師孜孜不倦地探索各類(lèi)行程問(wèn)題的教學(xué)方法,深入淺出地對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)。教學(xué)時(shí)借助線段圖和多媒體技術(shù)使條件形象化,幫助學(xué)生審題。解題后,引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路和解題過(guò)程,再運(yùn)用變式舉一反三,拓展學(xué)生的思維。
一、單一物體運(yùn)動(dòng)
(一)基礎(chǔ)問(wèn)題
在小學(xué)中低年級(jí)階段,有關(guān)行程問(wèn)題比較簡(jiǎn)單,通常只要求學(xué)生能利用行程問(wèn)題的兩個(gè)已知量,或乘或除直接求出第三個(gè)未知量。但也有行程問(wèn)題中求某個(gè)量時(shí),其他兩個(gè)量并不明確具體,直接用乘或除求解比較困難,這時(shí)就需要依據(jù)他們之間的關(guān)系先確定好兩個(gè)量,再解決問(wèn)題。
例1. 一輛汽車(chē)5小時(shí)行駛300千米,照這樣的速度,行駛2400米需要多少分鐘?
在這個(gè)求時(shí)間的問(wèn)題中,路程是2400米,而速度不明確,需要通過(guò)“汽車(chē)5小時(shí)行駛300千米”先計(jì)算出汽車(chē)的速度。分析本題時(shí),要提醒學(xué)生注意題目中的單位要統(tǒng)一。300÷5=60(千米/小時(shí)),合1000米/分鐘。2400÷1000=2.4(分鐘)。行駛2400米需要2.4分鐘。
解決教學(xué)行程問(wèn)題中的基礎(chǔ)問(wèn)題時(shí),要充分運(yùn)用生活情境。
(二)航行問(wèn)題
運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,有時(shí)盡管物體本身的速度保持不變,但因受到外力的影響,物體運(yùn)動(dòng)的實(shí)際速度發(fā)生了變化,比如船在水中行受水流的影響,飛機(jī)在空中飛受氣流的影響等。
例2. 一輪船往返于相距120千米的A、B兩個(gè)港口。這段水路的水流速度是5千米/小時(shí),從A港口到B港口順流而下需要3小時(shí),從B港口到A港口逆流而上需要幾小時(shí)?
本題已知路程欲求時(shí)間,但逆流速度未知,必須根據(jù)其他條件先求出逆流速度。從順流需要3小時(shí)知順流速度是120÷3=40(千米/小時(shí)),又從水流速度5千米/小時(shí)算出輪船在靜水中的速度是40-5=35(千米/小時(shí)),那么從“B港口到A港口逆流而上”的速度為35-5=30(千米/小時(shí)),逆流航行需要120÷30=4(小時(shí))。
在求“船(或飛行器)最多行駛多遠(yuǎn)”的問(wèn)題中,一般依據(jù)“往返的路程不變,往返的時(shí)間與速度成反比”先求出時(shí)間再求最大行駛距離。
(三)過(guò)橋問(wèn)題
過(guò)橋問(wèn)題是指研究火車(chē)過(guò)橋或隧道時(shí),火車(chē)或隧道的長(zhǎng)、火車(chē)的長(zhǎng)、火車(chē)行駛的速度等一類(lèi)問(wèn)題。當(dāng)火車(chē)完全過(guò)橋或隧道時(shí),火車(chē)實(shí)際行駛的距離是橋或隧道長(zhǎng)加火車(chē)的長(zhǎng)。
例3. 李明乘一列火車(chē),發(fā)現(xiàn)這列火車(chē)穿過(guò)1500米的隧道花了90秒,越過(guò)600米的橋梁花了40秒,求這列火車(chē)的長(zhǎng)度。
火車(chē)過(guò)隧道時(shí),它所走的路程除了要考慮隧道的長(zhǎng)度外,還要考慮火車(chē)本身的長(zhǎng)度?!盎疖?chē)穿過(guò)1500米的隧道”,實(shí)際上火車(chē)行駛了“1500米的隧道+火車(chē)本身長(zhǎng)度”的距離,火車(chē)過(guò)橋也是如此。本題中,火車(chē)過(guò)隧道比火車(chē)過(guò)橋時(shí)多行了1500-600=900(米),多花了90-40=50(秒),那么火車(chē)的速度就是900÷50=18(米/秒)?;疖?chē)過(guò)隧道實(shí)際行駛了90×18=1620(米)。因此,火車(chē)本身的長(zhǎng)度為1620-1500=120(米)。
教學(xué)過(guò)橋問(wèn)題時(shí),應(yīng)要求學(xué)生將解得的結(jié)果代入原先的問(wèn)題中驗(yàn)算,確保符合各個(gè)環(huán)節(jié)。
二、兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)
(一)相遇問(wèn)題
在行程問(wèn)題中,兩個(gè)物體從兩地出發(fā),相向而行,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間相遇,這就是相遇問(wèn)題。在相遇問(wèn)題中,兩個(gè)物體同時(shí)行走時(shí),他們的“速度”其實(shí)是兩者速度的和,他們所行駛的總路程也恰是兩者的路程之和。
例4. 甲、乙兩車(chē)從相距240千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,2小時(shí)相遇。甲車(chē)的速度是65千米/小時(shí),求乙車(chē)的速度。
可以從兩個(gè)角度思考這個(gè)問(wèn)題,其一是直接從“速度和”考慮,既然相距240千米,2小時(shí)相遇,那么兩車(chē)的速度和為240÷2=120(千米/小時(shí)),再用“速度和”減去甲車(chē)的速度,便得到乙車(chē)的速度為55(千米/小時(shí));其二從甲、乙兩車(chē)行駛的路程之和等于A、B兩地之間的距離考慮。甲車(chē)行駛了65×2=130(千米),那么,乙車(chē)行駛了240-130=110(千米),乙車(chē)的速度:110÷2=55(千米/小時(shí))。兩種方法都要向?qū)W生講透。
在具體問(wèn)題中,有時(shí)有“先走”與“后走”的現(xiàn)象,此時(shí)可以從路程之和等于總路程考慮,其“速度和”只適用在同時(shí)行走的這段時(shí)間之內(nèi)。
(二)追及問(wèn)題
兩個(gè)物體一前一后同向而行,一段時(shí)間后,原先在后面的物體追上了前面的,這樣的問(wèn)題稱(chēng)為追及問(wèn)題。在追及問(wèn)題中,他們相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速度是兩者的“速度差”,兩者行駛的路程之差等于他們起步時(shí)的距離。
例5. 母子二人在同一單位上班,母親從家到單位需要40分鐘,兒子只要30分鐘,如果母親早走5分鐘,兒子需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上母親?
在一般追及問(wèn)題中,速度是給定的,但本題中只說(shuō)母子二人從家到單位的時(shí)間,這里可以把家到單位的路程看成“1”,那么母親的速度就是■,兒子的速度是■。由于母親早走了5分鐘,拉開(kāi)了兩人之間的距離,從兒子出發(fā)開(kāi)始算,兒子比母親多走的正是這段路程。5×■÷(■-■)=15(分鐘)。兒子出發(fā)15分鐘可以追上母親。
學(xué)生對(duì)路程和時(shí)間具有直觀感覺(jué),對(duì)速度則感到比較抽象,他們往往從“速度和”的另一面來(lái)理解“速度差”。教師教學(xué)追及問(wèn)題時(shí),一方面可以盡量從兩者路程的差等于起初的距離來(lái)考慮,也可以在學(xué)習(xí)追及問(wèn)題之前首先訓(xùn)練“速度差”,給學(xué)生鋪設(shè)一級(jí)學(xué)習(xí)臺(tái)階。
(三)相離問(wèn)題
相離問(wèn)題是研究?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中相隔一定距離,并由此產(chǎn)生的速度和時(shí)間的關(guān)系問(wèn)題。相向而行時(shí)相遇前就是“相離”,背向而行后亦為“相離”,在同向而行中快者尚未追上慢者也屬于“相離”問(wèn)題。
例6. A、B兩地相距24千米。甲從A地前往B地,乙從B地前往A地,同時(shí)出發(fā)。甲的速度是4千米/小時(shí),乙的速度是6千米/小時(shí),出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后,甲、乙兩人相距4千米?
本題分“相遇前相距4千米”和“相遇后相距4千米”兩種情況,學(xué)生容易忽略后一個(gè),教學(xué)時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意。相遇前,兩人相距4千米,兩人所走路程之和為24-4=20(千米),兩人的速度之和為4+6=10(千米/小時(shí)),所以?xún)扇顺霭l(fā)20÷10=2(小時(shí))相距4千米;相遇后兩人相距4千米,可以考慮此時(shí)兩人所走總路程是24+4=28(千米),28÷(4+6)=2.8(小時(shí))。綜上所述,兩人出發(fā)2小時(shí)或2.8小時(shí)相距4千米。
教學(xué)相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題和相離問(wèn)題時(shí),借助線段圖使抽象的數(shù)量變得直觀,同時(shí)可以幫助學(xué)生理清兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況及其相互間的關(guān)系。常畫(huà)線段圖,亦可提高學(xué)生的解題能力。
(四)環(huán)形跑道問(wèn)題
在環(huán)形跑道上,同一起點(diǎn)背向而行是相遇問(wèn)題,同一起點(diǎn)同向而行是追及問(wèn)題。此時(shí)相遇問(wèn)題的總路程是跑道一圈的長(zhǎng),追及問(wèn)題中的路程差也是跑道一圈的長(zhǎng)。環(huán)形跑道的“相離”一般是指小于跑道一半的那一段。
例7. 一條環(huán)形跑道長(zhǎng)400米,甲、乙兩人在環(huán)形跑道上訓(xùn)練,甲的速度是每分鐘跑260米,乙的速度是每分鐘跑240米。
(1)甲、乙兩人從一點(diǎn)同時(shí)出發(fā),背向而行,經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第一次相遇?
(2)甲、乙兩人從一點(diǎn)同時(shí)出發(fā),同向而行,經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第一次相遇?
本題有兩問(wèn),第一問(wèn)是環(huán)形跑道上的相遇問(wèn)題,第二問(wèn)是環(huán)形跑道上的追及問(wèn)題。第一問(wèn)中兩人的路程之和等于環(huán)形跑道一圈的長(zhǎng),400÷(260+240)=0.8(分鐘);第二問(wèn)中兩人的路程之差等于環(huán)形跑道一圈的長(zhǎng),400÷(260-240)=20(分鐘)。
環(huán)形跑道問(wèn)題,對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象,教學(xué)時(shí)可以借助多媒體演示兩人行走的情況,便于學(xué)生理解。
三、稍復(fù)雜的行程問(wèn)題
(一)兩次相遇
兩個(gè)物體在相遇后繼續(xù)前行,他們?cè)诜祷氐穆飞显俅蜗嘤?。解決兩次相遇的問(wèn)題時(shí),要充分挖掘他們兩次相遇的信息,借助線段圖進(jìn)行分析。
例8. 甲、乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā),相向而行,出發(fā)后在距A地48千米的C地相遇,相遇后兩人繼續(xù)前行,到目的地后立即返回。兩人在距離B地52千米的D地相遇,求A、B兩地的距離。
本題所給的兩個(gè)數(shù)據(jù)都是關(guān)于路程的數(shù)據(jù),而關(guān)于速度與時(shí)間的數(shù)據(jù)卻沒(méi)有。教師可借助線段圖與學(xué)生一起分析,如圖,他們第一次相遇,兩人所走的路程之和就等于A、B兩地的距離,當(dāng)他們?cè)俅蜗嘤鰰r(shí),兩人所走的路程之和就等于A、B兩地距離的3倍。
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根據(jù)比例,他們第二次相遇時(shí),甲所行的路程是他們第一次相遇時(shí)甲行路程48千米的3倍,兩人再次相遇時(shí),甲共走了48×3=144(千米)。從圖中可直觀看出:第二次相遇時(shí),甲所行的路程比A、B兩地間距離多52千米。所以,A、B兩地間距離為144-52=92(千米)。
當(dāng)速度一定時(shí),路程與時(shí)間成正比。比例也是解決較復(fù)雜行程問(wèn)題的常用方法。
(二)多個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的行程問(wèn)題
在多個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的行程問(wèn)題中,存在多次相遇或多次追及或相遇與追及兼有的現(xiàn)象,這時(shí)要使學(xué)生分清楚某兩個(gè)物體之間是相遇還是追及,找出其相互間的聯(lián)系。
例9. A、B、C三村莊依次在同一條路邊上,甲從B村前往A村,乙從B村前往C村,丙從A村前往C村。他們?nèi)送瑫r(shí)出發(fā),丙遇到甲后35分鐘追上了乙。甲、乙、丙三人的速度分別是30米/分、40米/分和50米/分。求A、B兩村的距離。
本題中甲與丙是相遇問(wèn)題,乙與丙是追及問(wèn)題。在丙與甲相遇后35分鐘,丙追上了甲,說(shuō)明當(dāng)丙與甲相遇時(shí),丙與乙兩人之間的距離是35×(50-40)=350(米),其時(shí)甲與乙之間距離也是350米,說(shuō)明當(dāng)丙與甲相遇時(shí)他們都行了350÷(30+40)=5(分鐘)。當(dāng)丙與甲都行5分鐘時(shí)相遇,A、B兩村的距離為(30+50)×5=400(米)。
教學(xué)多個(gè)物體相遇時(shí),可借助線段圖理順?biāo)麄冎g的關(guān)系,思考各部分之間的聯(lián)系,從中尋找解決問(wèn)題的突破口。解決問(wèn)題后,應(yīng)驗(yàn)算一下各部分的結(jié)果是否都與題目條件相吻合。
(三)較復(fù)雜的行程問(wèn)題分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有其特殊的解題方法,關(guān)鍵是找出問(wèn)題中的某個(gè)量及其對(duì)應(yīng)的分率,算出總數(shù)后再求出各個(gè)分量。將分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與行程問(wèn)題相結(jié)合,就形成了稍復(fù)雜的應(yīng)用題。
例10. 一列火車(chē)從甲地開(kāi)往乙地。第一天行了全程的一半多16千米,第二天所行的路程是第一天的■,此時(shí)距離乙地還剩下15千米。甲、乙兩地相距多少千米?
由火車(chē)“第二天所行的路程是第一天的■”,計(jì)算■×■=■,16×■=14. 即第二天所行路程比全程的■還多14千米。此時(shí)第一天“多16千米”“第二天多14千米”,“還剩下15千米”,三部分的總分率是1-(■+■)=■。(16+14+15)÷■=720(千米)。甲、乙兩地相距720千米。
四、結(jié)語(yǔ)
行程問(wèn)題種類(lèi)繁多,難度較大,方法靈活,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。教師教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的條件,仔細(xì)審題,認(rèn)真分析變量因素,多角度思考。必要時(shí),借助線段圖來(lái)形象地刻畫(huà)各運(yùn)動(dòng)物體之間的關(guān)系,提升教學(xué)效果。
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