費樹優(yōu)

【摘? 要】 行程問題是培養(yǎng)小學(xué)生思維能力的較好素材，是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中不易突破的難點之一。文章將行程問題劃分為單一物體運動、兩個物體運動和稍復(fù)雜的行程問題等三類進行教學(xué)探討，旨在實現(xiàn)分類指導(dǎo)，有的放矢地培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

【關(guān)鍵詞】 小學(xué)數(shù)學(xué)；行程問題；教學(xué)探討

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，行程問題是解決實際問題時常見的一類題型。廣大數(shù)學(xué)教師孜孜不倦地探索各類行程問題的教學(xué)方法，深入淺出地對學(xué)生進行學(xué)法指導(dǎo)。教學(xué)時借助線段圖和多媒體技術(shù)使條件形象化，幫助學(xué)生審題。解題后，引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路和解題過程，再運用變式舉一反三，拓展學(xué)生的思維。

一、單一物體運動

（一）基礎(chǔ)問題

在小學(xué)中低年級階段，有關(guān)行程問題比較簡單，通常只要求學(xué)生能利用行程問題的兩個已知量，或乘或除直接求出第三個未知量。但也有行程問題中求某個量時，其他兩個量并不明確具體，直接用乘或除求解比較困難，這時就需要依據(jù)他們之間的關(guān)系先確定好兩個量，再解決問題。

例1. 一輛汽車5小時行駛300千米，照這樣的速度，行駛2400米需要多少分鐘？

在這個求時間的問題中，路程是2400米，而速度不明確，需要通過“汽車5小時行駛300千米”先計算出汽車的速度。分析本題時，要提醒學(xué)生注意題目中的單位要統(tǒng)一。300÷5=60（千米/小時），合1000米/分鐘。2400÷1000=2.4（分鐘）。行駛2400米需要2.4分鐘。

解決教學(xué)行程問題中的基礎(chǔ)問題時，要充分運用生活情境。

（二）航行問題

運動過程中，有時盡管物體本身的速度保持不變，但因受到外力的影響，物體運動的實際速度發(fā)生了變化，比如船在水中行受水流的影響，飛機在空中飛受氣流的影響等。

例2. 一輪船往返于相距120千米的A、B兩個港口。這段水路的水流速度是5千米/小時，從A港口到B港口順流而下需要3小時，從B港口到A港口逆流而上需要幾小時？

本題已知路程欲求時間，但逆流速度未知，必須根據(jù)其他條件先求出逆流速度。從順流需要3小時知順流速度是120÷3=40（千米/小時），又從水流速度5千米/小時算出輪船在靜水中的速度是40-5=35（千米/小時），那么從“B港口到A港口逆流而上”的速度為35-5=30（千米/小時），逆流航行需要120÷30=4（小時）。

在求“船（或飛行器）最多行駛多遠”的問題中，一般依據(jù)“往返的路程不變，往返的時間與速度成反比”先求出時間再求最大行駛距離。

（三）過橋問題

過橋問題是指研究火車過橋或隧道時，火車或隧道的長、火車的長、火車行駛的速度等一類問題。當火車完全過橋或隧道時，火車實際行駛的距離是橋或隧道長加火車的長。

例3. 李明乘一列火車，發(fā)現(xiàn)這列火車穿過1500米的隧道花了90秒，越過600米的橋梁花了40秒，求這列火車的長度。

火車過隧道時，它所走的路程除了要考慮隧道的長度外，還要考慮火車本身的長度。“火車穿過1500米的隧道”，實際上火車行駛了“1500米的隧道+火車本身長度”的距離，火車過橋也是如此。本題中，火車過隧道比火車過橋時多行了1500-600=900（米），多花了90-40=50（秒），那么火車的速度就是900÷50=18（米/秒）?；疖囘^隧道實際行駛了90×18=1620（米）。因此，火車本身的長度為1620-1500=120（米）。

教學(xué)過橋問題時，應(yīng)要求學(xué)生將解得的結(jié)果代入原先的問題中驗算，確保符合各個環(huán)節(jié)。

二、兩個物體運動

（一）相遇問題

在行程問題中，兩個物體從兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過一段時間相遇，這就是相遇問題。在相遇問題中，兩個物體同時行走時，他們的“速度”其實是兩者速度的和，他們所行駛的總路程也恰是兩者的路程之和。

例4. 甲、乙兩車從相距240千米的A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，2小時相遇。甲車的速度是65千米/小時，求乙車的速度。

可以從兩個角度思考這個問題，其一是直接從“速度和”考慮，既然相距240千米，2小時相遇，那么兩車的速度和為240÷2=120（千米/小時），再用“速度和”減去甲車的速度，便得到乙車的速度為55（千米/小時）；其二從甲、乙兩車行駛的路程之和等于A、B兩地之間的距離考慮。甲車行駛了65×2=130（千米），那么，乙車行駛了240-130=110（千米），乙車的速度：110÷2=55（千米/小時）。兩種方法都要向?qū)W生講透。

在具體問題中，有時有“先走”與“后走”的現(xiàn)象，此時可以從路程之和等于總路程考慮，其“速度和”只適用在同時行走的這段時間之內(nèi)。

（二）追及問題

兩個物體一前一后同向而行，一段時間后，原先在后面的物體追上了前面的，這樣的問題稱為追及問題。在追及問題中，他們相對運動的速度是兩者的“速度差”，兩者行駛的路程之差等于他們起步時的距離。

例5. 母子二人在同一單位上班，母親從家到單位需要40分鐘，兒子只要30分鐘，如果母親早走5分鐘，兒子需要多長時間才能追上母親？

在一般追及問題中，速度是給定的，但本題中只說母子二人從家到單位的時間，這里可以把家到單位的路程看成“1”，那么母親的速度就是■，兒子的速度是■。由于母親早走了5分鐘，拉開了兩人之間的距離，從兒子出發(fā)開始算，兒子比母親多走的正是這段路程。5×■÷（■-■）=15（分鐘）。兒子出發(fā)15分鐘可以追上母親。

學(xué)生對路程和時間具有直觀感覺，對速度則感到比較抽象，他們往往從“速度和”的另一面來理解“速度差”。教師教學(xué)追及問題時，一方面可以盡量從兩者路程的差等于起初的距離來考慮，也可以在學(xué)習(xí)追及問題之前首先訓(xùn)練“速度差”，給學(xué)生鋪設(shè)一級學(xué)習(xí)臺階。

（三）相離問題

相離問題是研究兩個運動的物體在運動過程中相隔一定距離，并由此產(chǎn)生的速度和時間的關(guān)系問題。相向而行時相遇前就是“相離”，背向而行后亦為“相離”，在同向而行中快者尚未追上慢者也屬于“相離”問題。

例6. A、B兩地相距24千米。甲從A地前往B地，乙從B地前往A地，同時出發(fā)。甲的速度是4千米/小時，乙的速度是6千米/小時，出發(fā)多長時間后，甲、乙兩人相距4千米？

本題分“相遇前相距4千米”和“相遇后相距4千米”兩種情況，學(xué)生容易忽略后一個，教學(xué)時應(yīng)提醒學(xué)生注意。相遇前，兩人相距4千米，兩人所走路程之和為24-4=20（千米），兩人的速度之和為4+6=10（千米/小時），所以兩人出發(fā)20÷10=2（小時）相距4千米；相遇后兩人相距4千米，可以考慮此時兩人所走總路程是24+4=28（千米），28÷（4+6）=2.8（小時）。綜上所述，兩人出發(fā)2小時或2.8小時相距4千米。

教學(xué)相遇問題、追及問題和相離問題時，借助線段圖使抽象的數(shù)量變得直觀，同時可以幫助學(xué)生理清兩個物體的運動情況及其相互間的關(guān)系。常畫線段圖，亦可提高學(xué)生的解題能力。

（四）環(huán)形跑道問題

在環(huán)形跑道上，同一起點背向而行是相遇問題，同一起點同向而行是追及問題。此時相遇問題的總路程是跑道一圈的長，追及問題中的路程差也是跑道一圈的長。環(huán)形跑道的“相離”一般是指小于跑道一半的那一段。

例7. 一條環(huán)形跑道長400米，甲、乙兩人在環(huán)形跑道上訓(xùn)練，甲的速度是每分鐘跑260米，乙的速度是每分鐘跑240米。

（1）甲、乙兩人從一點同時出發(fā)，背向而行，經(jīng)過多長時間第一次相遇？

（2）甲、乙兩人從一點同時出發(fā)，同向而行，經(jīng)過多長時間第一次相遇？

本題有兩問，第一問是環(huán)形跑道上的相遇問題，第二問是環(huán)形跑道上的追及問題。第一問中兩人的路程之和等于環(huán)形跑道一圈的長，400÷（260+240）=0.8（分鐘）；第二問中兩人的路程之差等于環(huán)形跑道一圈的長，400÷（260-240）=20（分鐘）。

環(huán)形跑道問題，對于小學(xué)生來說比較抽象，教學(xué)時可以借助多媒體演示兩人行走的情況，便于學(xué)生理解。

三、稍復(fù)雜的行程問題

（一）兩次相遇

兩個物體在相遇后繼續(xù)前行，他們在返回的路上再次相遇。解決兩次相遇的問題時，要充分挖掘他們兩次相遇的信息，借助線段圖進行分析。

例8. 甲、乙兩人從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，出發(fā)后在距A地48千米的C地相遇，相遇后兩人繼續(xù)前行，到目的地后立即返回。兩人在距離B地52千米的D地相遇，求A、B兩地的距離。

本題所給的兩個數(shù)據(jù)都是關(guān)于路程的數(shù)據(jù)，而關(guān)于速度與時間的數(shù)據(jù)卻沒有。教師可借助線段圖與學(xué)生一起分析，如圖，他們第一次相遇，兩人所走的路程之和就等于A、B兩地的距離，當他們再次相遇時，兩人所走的路程之和就等于A、B兩地距離的3倍。

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根據(jù)比例，他們第二次相遇時，甲所行的路程是他們第一次相遇時甲行路程48千米的3倍，兩人再次相遇時，甲共走了48×3=144（千米）。從圖中可直觀看出：第二次相遇時，甲所行的路程比A、B兩地間距離多52千米。所以，A、B兩地間距離為144-52=92（千米）。

當速度一定時，路程與時間成正比。比例也是解決較復(fù)雜行程問題的常用方法。

（二）多個物體運動的行程問題

在多個物體運動的行程問題中，存在多次相遇或多次追及或相遇與追及兼有的現(xiàn)象，這時要使學(xué)生分清楚某兩個物體之間是相遇還是追及，找出其相互間的聯(lián)系。

例9. A、B、C三村莊依次在同一條路邊上，甲從B村前往A村，乙從B村前往C村，丙從A村前往C村。他們?nèi)送瑫r出發(fā)，丙遇到甲后35分鐘追上了乙。甲、乙、丙三人的速度分別是30米/分、40米/分和50米/分。求A、B兩村的距離。

本題中甲與丙是相遇問題，乙與丙是追及問題。在丙與甲相遇后35分鐘，丙追上了甲，說明當丙與甲相遇時，丙與乙兩人之間的距離是35×（50-40）=350（米），其時甲與乙之間距離也是350米，說明當丙與甲相遇時他們都行了350÷（30+40）=5（分鐘）。當丙與甲都行5分鐘時相遇，A、B兩村的距離為（30+50）×5=400（米）。

教學(xué)多個物體相遇時，可借助線段圖理順他們之間的關(guān)系，思考各部分之間的聯(lián)系，從中尋找解決問題的突破口。解決問題后，應(yīng)驗算一下各部分的結(jié)果是否都與題目條件相吻合。

（三）較復(fù)雜的行程問題分數(shù)應(yīng)用題

分數(shù)應(yīng)用題有其特殊的解題方法，關(guān)鍵是找出問題中的某個量及其對應(yīng)的分率，算出總數(shù)后再求出各個分量。將分數(shù)應(yīng)用題與行程問題相結(jié)合，就形成了稍復(fù)雜的應(yīng)用題。

例10. 一列火車從甲地開往乙地。第一天行了全程的一半多16千米，第二天所行的路程是第一天的■，此時距離乙地還剩下15千米。甲、乙兩地相距多少千米？

由火車“第二天所行的路程是第一天的■”，計算■×■=■，16×■=14. 即第二天所行路程比全程的■還多14千米。此時第一天“多16千米”“第二天多14千米”，“還剩下15千米”，三部分的總分率是1-（■+■）=■。（16+14+15）÷■=720（千米）。甲、乙兩地相距720千米。

四、結(jié)語

行程問題種類繁多，難度較大，方法靈活，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。教師教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的條件，仔細審題，認真分析變量因素，多角度思考。必要時，借助線段圖來形象地刻畫各運動物體之間的關(guān)系，提升教學(xué)效果。

■ 參考文獻：■

［1］ 李柳英. 新課標下“行程問題”教學(xué)的思考與實踐［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（12）：123-124.

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