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        二戰(zhàn)中德軍坦克產(chǎn)量的有效估計(jì)
        ——概率統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)實(shí)踐

        2024-01-02 10:08:00徐英杰
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2023年6期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)方法教學(xué)

        陳 巖, 張 寧, 徐英杰

        (1.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,沈陽(yáng) 110870; 2.沈陽(yáng)化工大學(xué) 理學(xué)院,沈陽(yáng) 110142; 3.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 教務(wù)處,沈陽(yáng) 110870)

        0 引 言

        實(shí)施數(shù)學(xué)長(zhǎng)效教學(xué)模式一直是數(shù)學(xué)同行的一個(gè)美好的愿景,通過(guò)數(shù)學(xué)教育提升學(xué)生的思維創(chuàng)造力更是廣大教育工作者的時(shí)代要求.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(下稱概率統(tǒng)計(jì))不僅僅是一門應(yīng)用數(shù)學(xué)課程,而且還含有一點(diǎn)哲學(xué)的味道(概率為零不見得不發(fā)生、實(shí)際推斷原理等).其發(fā)展史[1]本身就是一部精彩紛呈的發(fā)現(xiàn)史,德·梅爾問(wèn)題、賭資分配問(wèn)題、蒲豐投針、貝特朗悖論等恰恰是探索、發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的著名案例,其概念、理論、方法的提出與完善本身就是針對(duì)概率問(wèn)題不斷發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)和完善的跌宕起伏、引人入勝的探索故事[2-6].

        因此,將概率統(tǒng)計(jì)概念、理論、方法的產(chǎn)生過(guò)程、分析思考問(wèn)題的邏輯、解決衍生問(wèn)題的方法等引入教學(xué),不僅可以將問(wèn)題講解得具體生動(dòng),而且可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力均有極大的幫助.教師可以在教學(xué)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)一種質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的自由氛圍和環(huán)境,更好地展示解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生直覺、猜測(cè)、類比、歸納和發(fā)散思維等科學(xué)研究能力[2-7],從而構(gòu)建一種數(shù)學(xué)長(zhǎng)效教學(xué)模式.

        點(diǎn)估計(jì)是概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn),通常情況下僅僅介紹矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法并輔以例題說(shuō)明[8-9],教學(xué)內(nèi)容抽象,較難理解.殊不知?dú)v史上Karl Pearson(下稱老Pearson,矩估計(jì)法的提出人,1895年)與Ronald Aylmer Fisher(下稱Fisher,極大似然估計(jì)法的提出人,1922年)就曾經(jīng)為此在1936~1937年發(fā)生過(guò)激烈的爭(zhēng)論[10-13].此外,1943年在第二次世界大戰(zhàn)的反法西斯戰(zhàn)場(chǎng)上,盟軍情報(bào)部門正是基于極大似然思想的給出德軍坦克生產(chǎn)量估計(jì)[14-15],為盟軍制訂反攻歐洲大陸戰(zhàn)略計(jì)劃提供了有力的情報(bào)支持,德軍坦克生產(chǎn)量估計(jì)(下稱德軍坦克問(wèn)題)遂成為統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域-序估計(jì)的一個(gè)重要問(wèn)題[16],而對(duì)這一問(wèn)題的研究又恰恰是一個(gè)由理論走向?qū)嵺`的鮮活教學(xué)案例[14-17].

        本文根據(jù)“德軍坦克問(wèn)題”的教學(xué)過(guò)程展開討論,適度還原老Pearson,Fisher關(guān)于點(diǎn)估計(jì)的提出過(guò)程,完成矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法的有效構(gòu)建和深度分析教學(xué),提出基于案例探索解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)方法,嘗試提高課堂教學(xué)效果、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,形成一種數(shù)學(xué)長(zhǎng)效教學(xué)模式.

        1 德軍坦克問(wèn)題

        軍事情報(bào)的一個(gè)重要目標(biāo)就是準(zhǔn)確了解敵方的軍備情況,第二世界大戰(zhàn)期間由于德軍坦克在東線戰(zhàn)場(chǎng)特別是1943年的哈爾科夫戰(zhàn)役和庫(kù)爾斯克戰(zhàn)役中的突出表現(xiàn),為了順利開辟歐洲戰(zhàn)場(chǎng),當(dāng)時(shí)盟國(guó)軍隊(duì)希望能夠準(zhǔn)確估計(jì)德軍所能生產(chǎn)的坦克數(shù)量以做好反攻歐洲大陸的戰(zhàn)爭(zhēng)準(zhǔn)備.

        據(jù)悉為了準(zhǔn)確掌握德軍的坦克產(chǎn)量,盟軍情報(bào)部門最初通過(guò)傳統(tǒng)的情報(bào)竊取方式收集信息,得出的結(jié)論是從1940年6月到1942年9月期間每月生產(chǎn)1400輛坦克,然而這個(gè)數(shù)字顯然與事實(shí)不符.后來(lái),盟軍發(fā)現(xiàn)每輛被俘獲或被擊毀的(下面簡(jiǎn)稱被俘獲)坦克上都有一個(gè)獨(dú)一無(wú)二的序列號(hào),為此盟軍情報(bào)部門利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法構(gòu)建了一個(gè)數(shù)學(xué)模型估計(jì)德軍坦克每個(gè)月的產(chǎn)量,得出的結(jié)論是1940年6月到1942年9月期間每月生產(chǎn)256輛坦克.戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束后,盟軍從德國(guó)軍需部長(zhǎng)斯佩爾那里獲得的德軍坦克產(chǎn)量記錄中看到德軍每月生產(chǎn)255輛坦克.如今這一傳奇故事成為了人們體驗(yàn)數(shù)學(xué)工作者們卓越工作的經(jīng)典案例之一.

        2 點(diǎn)估計(jì)法

        當(dāng)年盟軍情報(bào)部門的原始工作現(xiàn)在已無(wú)從查起了,點(diǎn)估計(jì)方法應(yīng)當(dāng)是解決這問(wèn)題的有力工具,現(xiàn)在來(lái)通過(guò)點(diǎn)估計(jì)方法教學(xué)看看破解這一問(wèn)題的主要過(guò)程,探討數(shù)學(xué)長(zhǎng)效教育模式.

        通常的點(diǎn)估計(jì)方法教學(xué)主要講授矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法[8-9],為了有效地完成這一教學(xué)任務(wù),首先布置課前準(zhǔn)備:辛欽大數(shù)定律、依概率收斂、總體矩、樣本矩以及契比雪夫不等式等概念、理論.其次,在完成矩估計(jì)法理論講解后引入“德軍坦克問(wèn)題”.

        2.1 矩估計(jì)法背景

        追本溯源,事實(shí)上老Pearson在1895年提出矩估計(jì)法的時(shí)候[10],辛欽剛剛在俄羅斯出生(1894年出生),法國(guó)的Lebesgue還沒(méi)有完整提出依測(cè)度收斂(事實(shí)上是1902年提出).這里首先向大家展示老Pearson 在1895年發(fā)表的“Contributions to the mathematical theory of evolution”文章,讓同學(xué)們看一看老Pearson是如何提出點(diǎn)估計(jì)這一問(wèn)題的,又是如何解決這一問(wèn)題的.令人驚訝的是,老Pearson竟然是基于幾何直觀由利用二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的關(guān)系,根據(jù)頻率曲線方程(概率密度函數(shù))的逼近提出各階總體矩與同階樣本矩近似相等建立方程,提出矩估計(jì)法,這一工作在現(xiàn)在看來(lái)是多么的繁瑣——不容易!但是直覺是靈感的源泉,歸納是思維的關(guān)鍵.至此,參數(shù)估計(jì)——點(diǎn)估計(jì)法由概念的提出到幾何直覺再到歸納,形成一般性認(rèn)識(shí).

        2.2 矩估計(jì)法及基于矩估計(jì)法求解德軍坦克問(wèn)題

        今天怎么看待矩估計(jì)這一問(wèn)題呢?借助辛欽大數(shù)定律以及依概率收斂概念,通過(guò)列方程組令各階樣本矩近似等于對(duì)應(yīng)總體矩,給出參數(shù)的矩估計(jì).至此矩估計(jì)法上了保險(xiǎn)(理論保證),回歸理性,多么簡(jiǎn)單!——時(shí)代進(jìn)步.

        那么對(duì)于實(shí)際問(wèn)題——“德軍坦克問(wèn)題”是怎么處理的呢?怎樣解決更合理呢?

        這里,假設(shè)一個(gè)二戰(zhàn)期間盟軍的情報(bào)分析員獲得了一些被俘獲的德軍坦克的序列號(hào),現(xiàn)在將坦克序列號(hào)簡(jiǎn)化為編號(hào)從1到某個(gè)未知的最大值N(德軍坦克總量),且不重復(fù).假設(shè)被俘獲的德軍坦克有n輛,目標(biāo)是通過(guò)被俘獲的德軍坦克的編號(hào)來(lái)估計(jì)德軍坦克的總量N.設(shè)第i次獲取被俘獲的德軍坦克號(hào)碼為Xi,i=1,2,…,n,樣本值(被俘的德獲軍坦克的編號(hào))為xi,i=1,2,…,n.如何估計(jì)德軍坦克的總數(shù)N?

        假設(shè)每一個(gè)Xi的邊際分布都是相同的P(Xi=k)=1/N, 其中k=1,2,…,N.

        因此Xi的期望值就是

        進(jìn)一步

        算例假設(shè)被俘獲的坦克的編號(hào)為8,4,11,46,16,試估計(jì)德軍坦克的數(shù)量.

        顯然,矩估計(jì)法所給出的估計(jì)量存在缺陷,即所得的估計(jì)量竟然比被俘獲的坦克的最大編號(hào)還要小,有些尷尬.接著看看Fisher(1922年提出)的極大似然估計(jì)法處理這一問(wèn)題的效果.先在課堂上詳細(xì)闡述有關(guān)極大似然的思想,然后再分析這一問(wèn)題.

        2.3 基于極大似然估計(jì)法求解德軍坦克問(wèn)題

        考慮到這一問(wèn)題的特殊性,通過(guò)類比將離散變量連續(xù)化,即假設(shè)被俘獲的坦克編號(hào)服從[1,N]上連續(xù)的均勻分布,也就是Xi~U(1,N),這在教材上是沒(méi)有提到過(guò)的,現(xiàn)在嘗試看看.

        由均勻分布的性質(zhì)可得其密度函數(shù)

        進(jìn)而構(gòu)造似然函數(shù)

        顯然,根據(jù)算例這一估計(jì)量要比矩估計(jì)法得出的估計(jì)量合理.點(diǎn)估計(jì)中不同的方法就同一參數(shù)往往會(huì)得出不同的估計(jì)量,甚至同一種方法也可以得出不同的估計(jì)量,那么如何評(píng)判這些估計(jì)量呢?現(xiàn)在引入估計(jì)量的評(píng)價(jià),通過(guò)給出無(wú)偏性、有效性概念來(lái)考察上述工作.

        3 估計(jì)量評(píng)價(jià)

        3.1 無(wú)偏性分析

        考慮到方差的實(shí)際意義,即方差是度量隨機(jī)變量以其數(shù)學(xué)期望為中心的波動(dòng)幅度的量,下面開展有效性分析.

        3.2 有效性分析

        顯然,當(dāng)n?N時(shí)

        其標(biāo)準(zhǔn)差

        4 數(shù)值分析

        假設(shè)德軍有300量坦克,序列號(hào)為1到300,情況(i)俘獲20輛坦克,情況(ii)俘獲50輛坦克,試評(píng)估德軍坦克的最大編號(hào)(產(chǎn)量).

        模擬數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果如下:

        (i) 第一組:編號(hào)為5,13,18,29,34,40,51,71,73,106,117,122,136,173,195,220,235,247,283,287.

        第二組:編號(hào)為25, 56, 57, 89, 92,111,131,135,147,153,154,165,188,207,224,233,235,239,246,279.

        第三組:編號(hào)為52,59,63,68,69,70,91,106,114,131,142,160,166,177,187,194,244,254,263,282.

        (ii) 第一組:編號(hào)為9,12,26,30,33,34,36,41,56,67,70,72,78,79,90,94,96,101,111,119,123,128,130,132,138,147,149,153,157,165,174,179,181,188,197,204,214,217,220,234,239,241,266,272,274,278,279,289,294,297.

        第二組:編號(hào)為9, 10, 13, 18, 22, 26, 30, 40, 45, 51, 19, 53, 55, 60, 72,101,118,120,130,137,142,144,147,151,156,157,174,183,159,186,195,198,205,210,214,215,217,224,241,242,126,246,248,250,258,266,268,272,292,294.

        第三組:編號(hào)為7,10,33,37, 39, 47, 49, 52, 54, 58, 68, 76, 79, 80,88,91,94,104,29,111,113,116,126,127,128,129,139,145,162,169,175,176,177,179,186,194,180,200,201,210,211,220,246,248,257,264,265,272,295,300.

        計(jì)算發(fā)現(xiàn)第一種方法得到的估計(jì)值出現(xiàn)了低于實(shí)際最大編號(hào)的現(xiàn)象,第二種方法得到的估計(jì)值比第一種方法得到的估計(jì)值更接近設(shè)定值,且當(dāng)模擬俘獲坦克數(shù)量越大估計(jì)值越接近設(shè)定值,這與結(jié)論相吻合.

        5 結(jié) 論

        無(wú)意間回到從前,讓同學(xué)們穿越看到了一場(chǎng)數(shù)理統(tǒng)計(jì)初創(chuàng)時(shí)期神仙們打架的故事,窺見到了矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法的誕生過(guò)程.進(jìn)一步,借助“德軍坦克問(wèn)題”的討論探索了極大似然法的有效應(yīng)用,看到了數(shù)學(xué)家?guī)椭塑姄魯〉聡?guó)人的方式.

        通過(guò)探討問(wèn)題提出、問(wèn)題解決的一般過(guò)程,結(jié)合實(shí)際案例激發(fā)了學(xué)生們探索、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,使得學(xué)生比較容易接受,為同學(xué)們開闊了視野,一定程度上起到了長(zhǎng)效教學(xué)作用.因此根據(jù)問(wèn)題背景精心設(shè)計(jì)展開的案例教學(xué),不僅可以為課堂帶來(lái)趣味性和啟發(fā)性,而且還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)探索,訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維,激發(fā)創(chuàng)新潛能,培養(yǎng)理性精神.

        致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.

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