立體幾何中的“動態(tài)問題”較為復雜，且難度較大，對同學們的抽象思維及邏輯推理能力有較高的要求. 立體幾何中的“動態(tài)問題”一般與動點、動直線、動平面有關，常見的題目有：最值問題、軌跡問題、存在性問題.下面結合實例一起來探討立體幾何中這三類“動態(tài)問題”的解法.

一、最值問題

最值問題是立體幾何試題中常見的問題之一.在解題時，往往要先仔細閱讀題目并研究圖形，明確點、線、面的位置關系，確定所求目標與動點、動直線、動平面之間的聯系；然后根據題意和空間位置關系，確定取得最值的臨界情形；再借助平面幾何和代數知識，建立關系式，求得最值.

例1.如圖1，正方體[ABCD-A1B1C1D1]棱長為[2]，[E]為[CC1]的中點，[P，Q]為面[A1B1C1D1]和[B1C]上的動點，求[ΔEPQ]周長的最小值.

解：將四邊形[A1B1C1D1]翻折，使其與[BB1C1C]在同一個平面內，如圖2所示.

在平面[BB1C1C]內作點[E]關于[B1C1]，[B1C]的對稱點[N]，[M]，連接MN，交[B1C]于點Q，交[B1C1]于點P，

由對稱性可知[EQ=MQ]，[EP=NP]，

則[ΔPEQ]的周長為[PQ+PN+QM]，

當[N，P，Q，M]共線時[PQ+PN+QM]最小，且[PQ+PN+QM=MN].

所以[C1N=C1E=1，CM=CE=1]，

所以[MN=CN2+CM2=32+12=10]，

故[ΔEPQ]周長的最小值為[10].

將四邊形[A1B1C1D1]翻折，使其與[BB1C1C]在同一個平面內，只需在平面[BB1C1C]內研究[P、Q]的位置，使得[ΔEPQ]的周長最小即可.這樣就將問題轉化為平面幾何問題.在平面[BB1C1C]內作點[E]關于[B1C1]、[B1C]的對稱點[N]、[M]，便可直接根據點關于點對稱的性質，將問題轉化為求[PQ+PN+QM]的最小值.再根據兩點之間直線最短，確定當[N、P、Q、M]共線時[PQ+PN+QM]最小，從而求得最值.一般地，在明確動點、動直線、動平面的變化范圍以及運動軌跡后，要將空間位置關系轉移至平面內，利用平面幾何知識進行計算，或通過分析參數的變化對最值的影響來得出最終的結論.

二、軌跡問題

軌跡問題一般要求動點、動直線、動平面的運動軌跡.求解軌跡問題，需先根據題意尋找并建立與動點、動直線、動平面有關的等量關系，以確定動點、動直線、動平面的變化范圍；再根據圓、垂直平分線、雙曲線、橢圓的定義來判斷動點、動直線、動平面的運動軌跡.必要時，可從一些特殊情形、極端情形入手，尋找動點、動直線、動平面的運動軌跡.

例2.如圖3，若[AB]垂直于圓[O]所在的平面，[B、C]在圓[O]上，[H]是點[B]在[AC]上的射影，則在[C]運動時，[H]的軌跡為（" " " ）.

A.圓 B.直線 C.線段 D.三角形

解：過點[B]作圓[O]的直徑[BD]，作[BE⊥AD]于點[E]，連接[EH]，CD，AD，

因為[AB]垂直于圓[O]所在的平面，即[AB⊥]平面[BCD]，

所以[AB⊥CD].

因為BD為圓的直徑，所以[BC⊥CD]，

又[AB?BC=B]，

所以[CD⊥]平面[ABC]，則[CD⊥BH].

因為[BH⊥AC]，且[AC?CD=C]，

則[BH⊥]平面[ACD]，即[BH⊥AD]，[BH⊥HE].

所以當點[C]運動時，點[H]的運動軌跡是以[BE]為直徑的圓，故選A項.

解答本題，需要先添加多條輔助線，過點[B]作圓[O]的直徑[BD]，過點[B]作[BE⊥AD]，連接[EH]等；然后根據線面垂直的性質定理和判定定理證明線、面之間的垂直關系，進而證明[BH⊥AD]，[BH⊥HE]，確定H點的運動軌跡.解答軌跡問題，需通過觀察，明確動點、動直線、動平面的變化規(guī)律，找到極端位置，從而確定運動軌跡.

三、存在性問題

立體幾何中的存在性問題通常采用設問的方式，如“是否存在……”“若存在……”“若不存在……”來命題.由于沒有一個明確的結論，所以在沒有經過深入的分析、嚴格的計算和推理論證前，其存在性是未知的.我們可以先猜出結論，后進行證明；也可以通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性；還可以先假設結論存在，再在這個假設下進行推理論證，尋找與條件相符或相矛盾的結論，若相符則說明存在，若產生矛盾則說明不存在.

例3.如圖4，四棱錐[P-ABCD]中，[PA⊥]平面[ABCD]，[∠ABC=∠BAD=90°]，[AD=AP=4]，[AB=BC=2]，[M，N]分別為[PC，AD]上一點（非端點），[N]為[AD]的中點，那么是否存在[M]，使得直線[MN]與平面[PBC]所成角的正弦值為[255].若不存在，請說明理由.

解：因為[PA⊥]平面[ABCD]，AB、AD在平面ABCD內，

所以[PA⊥AB，PA⊥AD]，

因為[∠ABC=∠BAD=90°]，

所以AP，AB，AD兩兩相互垂直，以A為原點，AP，AB，AD為坐標軸建立如圖5所示的空間直角坐標系，

則[B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），N（0，2，0）]，

假設存在[M（a，b，c）]，使直線[MN]與平面[PBC]所成角的正弦值為[255]，

設[CM=λCP（0lt;λlt;1）]，

則[（a-2，b-2，c）=λ（-2，-2，4）]，

解得[a=2-2λ，b=2-2λ，c=4λ]，

所以[M（2-2λ，2-2λ，4λ）]，

則[MN=（2λ-2，2λ，-4λ），BC=（0，2，0），BP=（-2，0，4）]，

設平面[PBC]的法向量[p=（x，y，z）]，

則[BC?p=0，BP?p=0，]即[2y=0，-2x+4z=0，]

令[x=2]，則[p=（2，0，1）].

所以[cosMN，p=MN?pMN?p=255].

得[24λ2-8λ=0]，解得[λ=13]或[λ=0]（舍），

所以存在[M（43，43，43）]，使得直線[MN]與平面[PBC]所成角的正弦值為[255].

解答本題，需先證明AP、AB、AD兩兩垂直，并據此建立空間直角坐標系；然后假設存在[M（a，b，c）]，使得直線[MN]與平面[PBC]所成角的正弦值為[255]；再根據夾角公式求得平面[PBC]的法向量與直線[MN]的方向向量之間夾角的余弦值，據此求得M的坐標，進而證明M點存在.

雖然立體幾何中的“動態(tài)問題”比較復雜，但是我們只要抓住問題的特征和本質，明確變化的量和不變的量，在變化中尋找某些不變的因素，就能從靜態(tài)因素中找到解題的突破口.

（作者單位：甘肅省蘭州市第五十三中學）