圓錐曲線定值問題一般較為復(fù)雜.這類問題通常與動直線有關(guān)，要求證明某個變量（或含有變量的代數(shù)式）為一個常數(shù)，即定值.下面主要介紹兩類圓錐曲線定值問題的解法.

一、證明與直線斜率有關(guān)的某個代數(shù)式為定值

一般地，直線的斜率可用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示.當(dāng)一條動直線與圓錐曲線相交時，求證與直線斜率有關(guān)的某個代數(shù)式為定值，要先設(shè)出動直線的方程，以及直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；然后利用根與系數(shù)關(guān)系將兩交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)之和、積分別表示出來；再將與直線斜率有關(guān)的代數(shù)式用交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)之和或之積表示出來，通過恒等變換，消去參數(shù)，證明所得的結(jié)果為定值.

例1.已知橢圓[C：x24+y22=1，]點(diǎn)[A（2，0），]過[P（2，-4）]的直線[l]交橢圓[C]于[M，N]兩點(diǎn)，證明：直線[AM]的斜率與直線[AN]的斜率之和是定值.

證明：由題意知直線[l]的斜率存在，設(shè)其方程為[y=kx+m，][M（x1，y1），N（x2，y2）]，

聯(lián)立直線和橢圓的方程得[y=kx+m，x2+2y2=4，]

消去y得[（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0]，

則[x1+x2=-4km1+2k2，][x1x2=2m2-41+2k2]，

又[kAM+kAN=y1x1-2+y2x2-2，]

將[y1=kx1+m，y2=kx2+m]代入，

得[kAM+kAN=kx1+mx1-2+kx2+mx2-2]

[=-4（2k+m）1+2k2?1+2k22（2k+m）2=-22k+m，]

由于點(diǎn)[P（2，-4）]在直線[y=kx+m]上，所以[2k+m=-4，]

所以[kAM+kAN=-2-4=12，]即直線[AM，AN]的斜率之和為定值[12.]

設(shè)出兩交點(diǎn)[M，N]的坐標(biāo)，即可把直線AM、AN的斜率之和用M、N的坐標(biāo)表示出來；再根據(jù)韋達(dá)定理得出[x1x2、x1+x2、y1y2、y1+y2]，并將其代入直線AM、AN的斜率之和中，通過化簡整理得到定值.

二、求證一定點(diǎn)到一動直線的距離為定值

求證一定點(diǎn)到一動直線的距離為定值，往往需先設(shè)出動直線的方程，若動直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，則需設(shè)出兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)[（x1，y1）、（x2，y2）]；再通過聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出[x1x2、x1+x2，][y1y2、y1+y2]；然后根據(jù)交點(diǎn)所滿足的條件和已知條件得到關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，并據(jù)此推導(dǎo)出定點(diǎn)到動直線的距離為定值.

例2.已知橢圓[x23+y2=1，]過原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，分別與橢圓交于[A，B]兩點(diǎn)，求證點(diǎn)O到直線[AB]的距離為定值.

解：（1）當(dāng)直線AB斜率不存在，那么[ΔOAB]一定是等腰直角三角形，設(shè)直線AB方程為[x=n]，將其代入橢圓的方程中得[y=±3-n23]，

故點(diǎn)[A（n，3-n23），B（n，-3-n23）]，

又[OA?OB=0]，故[n2-3-n23=0]，得[n=±32]，所以存在直線[x=32，x=-32]，則點(diǎn)O到直線AB的距離都是[32.]

（2）若直線AB的斜率存在，設(shè)直線[AB]的方程為[y=kx+m，]即[kx-y+m=0]，則原點(diǎn)O到直線[AB]的距離是[d=m1+k2]，

設(shè)點(diǎn)[A（x1，y1），B（x2，y2），]

又[OA⊥OB，]則[x1x2+y1y2=0] ①，

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，[x2+3（kx+m）2=3，] [（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，]則[x1+x2=-6km1+3k2， x1x2=]

[3m2-31+3k2，] [y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=-3k2+m21+3k2]，得[4m2-3k2-3=0] ②.

由①②得[4m2=3k2+3，][m2k2+1=34，]故[d=m21+k2=32.]

解答本題，需根據(jù)[OA⊥OB]得出[x1x2+y1y2=0]，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系問題.再根據(jù)韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離公式來建立關(guān)系式、消參，從而得到定值.

由此可見解答圓錐曲線定值問題，需注意：（1）根據(jù)直線與圓錐曲線之間的關(guān)系式構(gòu)造一元二次方程，利用韋達(dá)定理來建立關(guān)系式；（2）要合理設(shè)出直線的方程，可設(shè)為斜截式[y=kx+m，]也可設(shè)為橫截式[x=my+n，]這樣就不用討論直線斜率不存在的情況；（3）在寫出所求量的表達(dá)式后，要進(jìn)行等量代換，以達(dá)到消參的目的.

（作者單位：陜西省神木市職業(yè)技術(shù)教育中心）