高中數(shù)學(xué)的排列組合問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，事實(shí)上較為復(fù)雜.有些題目中涉及的情況較多，很多同學(xué)很難找到正確的答案.這就需要尋找問(wèn)題中元素排列組合的規(guī)律，根據(jù)題意建立遞推關(guān)系式，巧妙運(yùn)用遞推公式來(lái)解題.

例1.將一個(gè)圓分為[n（n≥2）]個(gè)扇形區(qū)域，現(xiàn)用[r（r≥2）]種顏色將這n個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，則共有多少種涂色方法？

解：如圖，分別給這n個(gè)扇形編號(hào)為[1，2，3，4…，n-1，n].

先給1號(hào)扇形涂色，有[r]種涂色方法；然后依次給[2，3，4…，n-1]號(hào)扇形涂色，有[r-1]種涂色方法.

若1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形不相鄰，則[n]號(hào)扇形有[r-1]種涂色方法，所以共有[r（r-1）n-1]種涂色方法.而這[r（r-1）n-1]種涂色方法中包含了1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形同色，以及1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形不同色的情況數(shù).

假設(shè)[n]個(gè)扇形共有[an]種涂色方法，則當(dāng)1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形不同色時(shí)，有[an]種涂色方法，當(dāng)1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形同色時(shí)，有[an-1]種涂色方法，

所以[an+an-1=r（r-1）n-1.]

設(shè)[an+k（r-1）n=-[an-1+k（r-1）n-1]]，

即[an+an-1=-k（r-1）n-1-k（r-1）n-1=-kr（r-1）n-1.]

得[k=-1]，所以[an-（r-1）n=-[an-1-（r-1）n-1].]

又[a2=r（r-1）]，從而可得[a2-（r-1）2=r-1.]

所以當(dāng)[n≥2]時(shí)，[an-（r-1）n=（r-1）（-1）n-2，]

所以[an=（r-1）（-1）n+（r-1）n]，

即共有[（r-1）（-1）n+（r-1）n]種涂色方法.

本題的一個(gè)難點(diǎn)是要考慮1號(hào)扇形和第[n-1]個(gè)扇形涂的顏色是否相同，如果顏色相同就有[r-1]種涂色方法；如果不同，則有[r-2]種涂色方法.但由于顏色是隨機(jī)選取的，故[n-1]號(hào)扇形與1號(hào)扇形的涂色方法有很多種，很難確定涂色的方法數(shù)，于是將1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形看作不相鄰的兩個(gè)區(qū)域.那么接下來(lái)，只需考慮1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形同色以及不同色的情況，用[an]表示1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形不同色時(shí)的涂色方法數(shù)，[an-1]表示1號(hào)扇形與[n]號(hào)扇形同色時(shí)的涂色方法數(shù)，即可建立遞推公式[an+an-1=r（r-1）n-1]，這樣就把排列組合問(wèn)題變成了求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題.用待定系數(shù)法構(gòu)造出輔助數(shù)列，就能順利求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例2.若[n（n≥2）]名同學(xué)各持有一張賀卡，他們相互贈(zèng)送賀卡，贈(zèng)送后每名同學(xué)擁有一張不是自己的賀卡，則共有多少種不同的送法？

解：將所有人和各自持有的賀卡分別編號(hào)為[1，2，3，…，n，]假設(shè)共有[an]種送法.首先將賀卡[1]送出去，有[n-1]種送法.假設(shè)將賀卡[1]送給了[2]號(hào)同學(xué)，再將賀卡[2]送出去，需分為送給[1]號(hào)同學(xué)和不送給[1]號(hào)同學(xué)兩種情況.

若將賀卡[2]送給[1]號(hào)同學(xué)，則剩下的[3，4，5…，n]號(hào)同學(xué)，以及賀卡[3，4，5…，n]有[an-2]種送法；

若賀卡[2]不送[1]號(hào)同學(xué)，則剩下的人[1，3，…，n]號(hào)同學(xué)，以及賀卡[2，3，…，n]有[an-1]種送法，

所以[an=（n-1）（an-1+an-2）]，

從而有[an-nan-1=-[an-1-（n-1）an-2].]

易知[a2=1，a3=2，]

所以[an-nan-1=（a3-3a2）（-1）n-3=（-1）n.]

在等式的兩邊同時(shí)除以[n！]得[ann！-an-1（n-1）！=（-1）nn！，]

則[ann！=a22！+k=3n[akk！-ak-1（k-1）！]=12！+k=3n（-1）kk！=k=2n（-1）kk！.]

得[an=n！k=2n（-1）kk！.]

將所有的送法用[an]表示，即可通過(guò)分析題意，明確[an-2]、[an-1]之間的關(guān)系，據(jù)此建立遞推公式.再通過(guò)變形遞推公式，構(gòu)造輔助數(shù)列，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式[an]，即可解題.

例3.將[1，2，3，…，n][，]這n個(gè)數(shù)排成一列，若第[i（i≥2）]個(gè)數(shù)比前[i-1]個(gè)數(shù)都大或都小，則一共有多少種排法？

解法1.假設(shè)共有[an]種排法，顯然[a1=1]，

當(dāng)[n≥2]時(shí)，若[n]排在第[n]位，則剩下的[n-1]個(gè)數(shù)有[an-1]種排法；

若[n]不排在第[n]位，則第[n]位只能排[1].因?yàn)閇2，3，4，…，n-1]都不能同時(shí)滿足比[1]和[n]都大或都小，那么剩下的[n-1]個(gè)數(shù)[2，3，4…，n]排在前[n-1]個(gè)位置，共有[an-1]種排法.

故[an=an-1+an-1]，得[an=2an-1]，

又[a2=2]，故[an=2n-1.]

將[n=1]代入[an]得[a1=1]，所以[an=2n-1（n∈N+）.]

解法2.假設(shè)共有[an]種排法.

（1）當(dāng)[n]排在第[n]位時(shí)，有[an-1]種排法；

（2）當(dāng)[n]排在第[n-1]位時(shí)，最后一位只能排[1]，剩下的[n-1]個(gè)數(shù)[2，3，4，…，n]排在前[n-1]個(gè)位置，有[an-1]種排法；

（3）當(dāng)[n]排在第[n]-2位時(shí)，最后兩位只能排成[2，1]，有[an-3]種排法；

……

（[n]）當(dāng)[n]排在第[1]位時(shí)，只能有[n，n-1，n-2，…，1]這一種排法，可記為[a0].

故[an=an-1+an-2+…+a1+a0.]

設(shè)[sn=an+an-1+…+a1+a0.]

則[an=sn-1，]從而有[an+1=sn]，

將上述兩式相減得[an+1-an=an]，得[an+1=2an]，

又[a1=1]，故[an=2n-1.]

這兩種解法都是通過(guò)建立遞推公式，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得問(wèn)題的答案.不同的是，解法1中得到的遞推公式為[an=an-1+an-1]，解法2中得到的遞推公式為[an+1-an=an].值得說(shuō)明的是，解法2中的[a0]其實(shí)是不存在的，但是假設(shè)是成立的.

總之，對(duì)于這類可能出現(xiàn)的情況數(shù)較多，且呈現(xiàn)一定規(guī)律的排列組合問(wèn)題，我們都可以通過(guò)研究各種情形，求得該情形下的排列組合數(shù)，將所得的排列組合數(shù)視為數(shù)列中的某一項(xiàng)，找出遞推公式，通過(guò)求數(shù)列的通項(xiàng)公式[an]，順利求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：福建省三明市將樂(lè)縣水南中學(xué)）