不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要板塊.不等式問題的常見命題形式有：（1）解不等式；（2）證明不等式；（3）由恒成立不等式求參數(shù)的取值范圍.本文主要探討一下求解不等式問題的幾種思路.

一、數(shù)形結(jié)合

在解答不等式問題時(shí)，通?？蓪⒉坏仁街械牟糠执鷶?shù)式看作函數(shù)式、直線的方程、圓錐曲線的方程等，便可根據(jù)代數(shù)式的幾何意義畫出幾何圖形，通過研究圖形中直線、曲線、點(diǎn)的位置關(guān)系，找到使不等式成立的臨界情形，從而解題.

例1.不等式[（12）x≤x]的解集是（" "）.

A.[0，[12]]" " " B.[[12]，+∞）" " " C.[0，[22]]" " " "D.[[22]，+∞）

解：在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)[y=（12）x和y=x]的圖象，如圖所示.

由圖可知，要使[（12）x≤x]，需使[y=（12）x]的圖象始終在[y=x]的下方，

當(dāng)[（12）x=x]時(shí)，[x=12]，

所以不等式的解集為[[12]，+∞），故選B.

方程、函數(shù)、不等式三者“分類不分家”.在解答不等式問題時(shí)，要將問題與函數(shù)、方程聯(lián)系起來，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系問題，建立方程求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可通過數(shù)形結(jié)合求解不等式的解集.

二、分類討論

解答含參不等式問題，通常要用到分類討論思想.由于參數(shù)是不確定的，所以需研究參數(shù)對不等式解集的影響，選取合適的分類對象和標(biāo)準(zhǔn)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論.一般地，將參數(shù)分為大于、等于、小于0來討論，最后取并集即可求得不等式的解集.

例2.若agt;0，解關(guān)于x的不等式x2+4gt;（1-a）x2+2（a+1）x.

解：將不等式x2+4gt;（1-a）x2+2（a+1）x變形得ax2-2（a+1）x+4gt;0，

因式分解得（ax-2）（x-2）gt;0，

故（ax-2）（x-2）=0的兩個(gè)根分別為[2a]和2，

當(dāng)[2agt;2]，即0lt;alt;1時(shí)，不等式的解集為（-∞，2）∪（[2a]，+∞）；

當(dāng)[2a=2]，即a=1時(shí)，不等式的解集為（-∞，2）∪（2，+∞）；

當(dāng)[2alt;2]，即agt;1時(shí)，不等式的解集為（-∞，[2a]）∪（2，+∞）.

對于含參二次不等式，通常需運(yùn)用分類討論法，討論對應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向、零點(diǎn)的位置和大小.對于本題，需運(yùn)用分類討論法，根據(jù)零點(diǎn)的大小，將參數(shù)a分為0lt;alt;1、a=1、agt;1三種情況進(jìn)行討論.

三、利用函數(shù)的性質(zhì)

有些函數(shù)不等式較為復(fù)雜，難度較大，需要靈活運(yùn)用函數(shù)的一些基本性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等來將問題化為簡單的不等式問題來求解.

例3.已知函數(shù)[f（x）=x3-2x+ex-1ex]，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).若[f（a-1）+f（2a2）≤0]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為" " " ".

解：由題意可知f（x）的定義域?yàn)镽，且滿足f（-x）=-f（x），

所以f（x）為奇函數(shù).

因?yàn)閇f（a-1）+f（2a2）≤0]，

所以[f（2a2）≤-f（a-1）=f（1-a）]，

對[f（x）=x3-2x+ex-1ex]求導(dǎo)得[f（x）=3x2-2+ex+1ex].

因?yàn)閇ex+1ex≥2]，所以[f（x）≥0]，

則f（x）是R上的增函數(shù)，

因此[2a2≤1-a]，解得[-1≤a≤12].

該不等式中含有函數(shù)式，較為復(fù)雜，需先判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性；然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，將不等式中的函數(shù)符號“f ”去掉，把不等式轉(zhuǎn)化為常規(guī)不等式，通過解不等式求得問題的答案.一般地，若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且[f（a）≤f（b）]，則[a≤b]；若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且[f（a）≤f（b）]，則[a≥b].

例4.設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，解不等式f（x2+4x）+f（3）lt;0.

解：因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以f（x）為奇函數(shù)，故不等式可化為f（x2+4x）lt;f（-3），

又因?yàn)閒（x）是R上的增函數(shù)，

所以x2+4xlt;-3，則不等式的解集為（-3，-1）.

解答本題，需明確：若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，若函數(shù)關(guān)于y軸對稱，則該函數(shù)為偶函數(shù).據(jù)此判斷出函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式化為常規(guī)不等式.

例5.設(shè)f（x）是定義在R的減函數(shù)，滿足f（1）=2，且對任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x）+f（y）=f（x+y），解不等式f（x2+1）+f（x-3）lt;0.

解：令x=0，y=1可得f（0）+f（1）=f（1），

所以f（0）=0.

不等式可化為f（x2+1+x-3）lt;f（0），

即f（x2+x-2）lt;f（0）.

又因?yàn)閒（x）是R上的減函數(shù)，

所以x2+x-2gt;0，解得xgt;1或xlt;-2.

因此不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）.

本題中的f（x）沒有具體的解析式，要通過賦值來明確函數(shù)的性質(zhì)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集.

有時(shí)我們可以根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，將其變形，使其左右兩邊的式子為同構(gòu)式，或使其一側(cè)為0、1，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題或最值問題，靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性即可順利解題.

例6.已知是定義在R的可導(dǎo)函數(shù)[f（x）]，其導(dǎo)函數(shù)為[f（x）]，且[f（x）lt;f（x）].若[f（x+3）]為偶函數(shù)，f（6）=1，則不等式f（x）gt;ex的解集為（" "）.

A.（-∞，0）" " "B.（0，+∞）" " "C.（-∞，6）" " "D.（6，+∞）

解：不等式可以變形為[f（x）exgt;1]，

構(gòu)造函數(shù)[g（x）=f（x）ex]，則不等式可轉(zhuǎn)化為g（x）gt;1.

對函數(shù)g（x）求導(dǎo)得：[g（x）=f（x）-f（x）ex]，

由[f（x）lt;f（x）]可知[g（x）lt;0]，則g（x）是R上的減函數(shù).

又因?yàn)閒（x+3）為偶函數(shù)，所以[f（-x+3）=f（x+3）]，

當(dāng)[x=3]時(shí)，f（0）=f（6）=1，故g（0）=1，所以g（x）gt;g（0）.

因?yàn)間（x）為R上的減函數(shù)，

所以不等式的解集為（-∞，0），故選A.

將不等式變形為[f（x）exgt;1]，再構(gòu)造函數(shù)[g（x）=f（x）ex]，即可將問題轉(zhuǎn)化為比較g（x）與1的大小.而g（0）=1，根據(jù)函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得出g（x）gt;g（0），從而求得不等式的解集.

例7.已知定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為[f（x）]，滿足[f（x）-f（x）gt;0]， [f（2021）=e2021]，則不等式[f（13lnx）lt;x3]的解集為（" "）.

A.（e6063，+∞）" " " B.（0，e2021）

C.（e2021，+∞）" " D.（0，e6063）

解：設(shè)函數(shù)[g（x）=f（x）ex]，

由于[g（x）=f（x）-f（x）ex]gt;0，

所以g（x）是R上的增函數(shù).

由于[x3=e13lnx][（xgt;0）]，

所以[f（13lnx）lt;x3]可化為[f（13lnx）lt;e13lnx]，

即[f（13lnx）e13lnxlt;1]，即[g（13lnx）lt;1].

而[g（2021）][=f（2021）e2021=e2021e2021=1]，

所以[g（13lnx）lt;g（2021）]，

則[13lnxlt;2021]，則不等式的解集為（0，e6063），故選D.

對于含有[f（x）]的不等式，通?？筛鶕?jù)求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則來構(gòu)造函數(shù).一般地，若[xf（x）-f（x）]，則可構(gòu)造函數(shù)[y=f（x）x]；若[xf（x）+f（x）]，則可構(gòu)造函數(shù)[y=xf（x）]；若[exf（x）+exf（x）]，則可構(gòu)造函數(shù)[y=exf（x）]；若[f（x）-f（x）]，則可構(gòu)造函數(shù)[y=f（x）ex].構(gòu)造出函數(shù)后，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來解題.

在求解不等式問題時(shí)，同學(xué)們只要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)思想，將問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題、函數(shù)問題，對參數(shù)進(jìn)行合理的討論，就能順利破解難題.

（作者單位：江蘇省東臺市唐洋中學(xué)）