動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題比較常見(jiàn).此類問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重于考查同學(xué)們的運(yùn)算和抽象思維能力.解答這類問(wèn)題，同學(xué)們不僅需要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，還要靈活運(yùn)用一些平面幾何知識(shí)來(lái)建立變量之間的關(guān)系式.下面就幾道例題，談一談解答動(dòng)點(diǎn)軌跡方程問(wèn)題的方法.

一、直接法

如果題目中直接給出了與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的條件，如垂直、平行、相等等關(guān)系，就可以利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.運(yùn)用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟為：（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題目中有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何條件，以及相關(guān)的定義、公式、性質(zhì)，列出與動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)的等式；（3）化簡(jiǎn)等式，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）檢驗(yàn)變量的范圍是否滿足題意.

例1.已知圓[O：x2+y2=1]，直線[PN]與圓[O]相切于點(diǎn)[N]，點(diǎn)[P]到點(diǎn)[N]的距離與到點(diǎn)[Q（2，0）]的距離之比為[k]，求動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)[P（x，y）]，由題意可得[|ON|=1且|PN|=k|PQ|]，

所以[|PN|2=|PO|2-|ON|2=|PO|2-1=x2+y2-1]，

由兩點(diǎn)間的距離公式可得[|PQ|2=（x-2）2+y2]，

由[|PN|=k|PQ|]，得[x2+y2-1=k（x-2）2+y2]，

即[（k2-1）（x2+y2）-4k2x+（1+4k2）=0].

當(dāng)[k=1]時(shí)，[x=54]，則動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡為一條直線，軌跡方程為[x=54].

當(dāng)[k≠1]時(shí)，[（x-2k2k2-1）2+y2=3k2+1（k2-1）2]，動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡是以點(diǎn)[（2k2k2-1，0）]為圓心、半徑為[3k2+1|k2-1|]的圓，軌跡方程為[（x-2k2k2-1）2+y2=3k2+1（k2-1）2].

本題中的幾何關(guān)系較為簡(jiǎn)單，即[|ON|=1且|PN|=k|PQ|]，于是采用直接法，直接根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和圓的性質(zhì)建立關(guān)系式，化簡(jiǎn)該式，便可獲得動(dòng)點(diǎn)[P]的軌跡方程.

二、交軌法

交軌法適用于解答兩動(dòng)曲線的交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題.在使用此方法解題時(shí)，要先選擇合適的參數(shù)表示兩動(dòng)曲線的方程；然后通過(guò)等量變換將參數(shù)消去，即可得到兩動(dòng)曲線的交點(diǎn)的方程.

例2.已知A、B是直線[l：y=x]上的兩點(diǎn)，且[AB=2]，[P（-2，2），Q（0，2）]，求直線[PA]與直線[QB]的交點(diǎn)[M]的軌跡方程.

解：設(shè)交點(diǎn)[M]的坐標(biāo)為[M（x，y）]，[A（t，t），B（t+1，t+1）]，

則[PA：y-2=t-2t+2（x+2）（t≠-2）] ①；

[QB：y-2=t-1t+1x（t≠-1）] ②.

因?yàn)辄c(diǎn)[M]為直線[PA]與直線[QB]的交點(diǎn)，所以上述兩方程有公共解，

聯(lián)立①②，消去t得[x2-y2+2x-2y+8=0]，即為點(diǎn)[M]的軌跡方程.

交軌法本質(zhì)上是利用參數(shù)作為一個(gè)中間量，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)滿足兩曲線的方程，通過(guò)聯(lián)立兩方程，消去參數(shù)，從而得到一個(gè)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程.

三、相關(guān)點(diǎn)法

若動(dòng)點(diǎn)[M（x，y）]隨著另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)[N（x0，y0）]的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)[N]的軌跡是已知的，或者相對(duì)于動(dòng)點(diǎn)[M]的軌跡較容易求得，則可以考慮使用相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)[M]的軌跡方程.其步驟是：（1）先用[x]、[y]表示出[x0]、[y0]；再將其代入到點(diǎn)[N]的軌跡方程中，化簡(jiǎn)整理，即可得到點(diǎn)[M]的軌跡方程.

例3.已知拋物線[y2=4x]的通徑為線段[AB]，動(dòng)點(diǎn)[C]是拋物線上的一點(diǎn)，求[ΔABC]的重心[P]的軌跡方程.

解：設(shè)重心[P（x，y）]，動(dòng)點(diǎn)[C][（x0，y0）]，其中[x0≠1]，

由題意可得[y02=4x0][（?）]，A、B的坐標(biāo)分別為[（1，2），（1，-2）]，

根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式可得[P（x0+23，y03）]，將其代入[（?）]中整理得：[y2=43（x-23）]，所以點(diǎn)[P]的軌跡方程為[y2=43（x-23）（x≠1）].

本題中，動(dòng)點(diǎn)P隨著C的運(yùn)動(dòng)而變化，需運(yùn)用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.需要注意的是，在代入點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，要分清代入的量與原變量之間的關(guān)系，明確轉(zhuǎn)化后方程中變量的取值范圍.

上述三種方法雖然看似各不相同，實(shí)質(zhì)上卻有相同之處：（1）都需設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）都需要建立變量之間的關(guān)系.而解題的關(guān)鍵在于如何建立這個(gè)關(guān)系，這就需要同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)能夠仔細(xì)分析題目中的條件，找到解題的規(guī)律，選用合適的方法求解.

（作者單位：江蘇省東臺(tái)中學(xué)）