三角函數(shù)求值問題的命題形式多樣，解法靈活.這類問題側(cè)重于考查同學(xué)們對(duì)三角函數(shù)公式、性質(zhì)的應(yīng)用情況.下面就以一道三角函數(shù)求值題為例，談一談解答此類問題的方法.

題目：已知θ為第四象限角，且滿足sinθ+3 cosθ=1，則tanθ=.

該題的難度不大.但題目中涉及了三種函數(shù)名稱，需通過三角函數(shù)恒等變換，將函數(shù)名稱統(tǒng)一，才能順利解題.

一、利用方程思想

對(duì)于同角的三角函數(shù)求值問題，我們通?？梢岳谜T導(dǎo)公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1和tanθ=cos（sin）θ（θ），二倍角公式等進(jìn)行三角恒等變換，構(gòu)造出關(guān)于該角的方程，通過建立方程或方程組，求得三角函數(shù)的值.

解法1.由sinθ+3 cosθ=1可得sinθ=1-3 cosθ，

由sin2θ+cos2θ=1得（5 cosθ-3）cosθ=0，

因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?，所以cosθgt;0，且sinθlt;0，

解得cosθ=，則sinθ=-，

所以tanθ=c（s）os（in）θ（θ）=-3（4）.

將已知關(guān)系式與同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1聯(lián)立，建立方程組，即可通過解方程組求得sinθ、cosθ的值，進(jìn)而求得tanθ的值.

二、換元法

在解答三角函數(shù)求值問題時(shí)，我們通?？梢砸胍粋€(gè)參數(shù)，將其替換函數(shù)式中的某一部分式子，從而將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的代數(shù)運(yùn)算問題，通過求新元的值，求得目標(biāo)式的值，這樣便可以從新的途徑獲得問題的答案.

解法2.設(shè)tanθ=cos（sin）θ（θ）=m（mlt;0），

將其代入sinθ+3 cosθ=1中，

可得（m+3）cosθ=1，

所以cosθ=，sinθ=，

將其代入sin2θ+cos2θ=1得到（）2+（）2=1，

解得m=-3（4），即tanθ=c（s）os（in）θ（θ）=-3（4）.

設(shè)tanθ=cos（sin）θ（θ）=m，便可用m表示sinθ、cosθ.再將其代入已知關(guān)系式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2 θ + cos 2 θ = 1中，即可求得m的值，進(jìn)而求得tan θ 的值.

解法3

由“正余切”三者之間的關(guān)系聯(lián)想到萬能公式，于是設(shè) tan θ 2 = m ，便可用m輕松地表示出 sin θ、cos θ .再將其代入同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2 θ + cos 2 θ = 1 中，即可求得 m 的值，就能根據(jù)萬能公式快速求得 sin θ、 cos θ、 tan θ 的值.

解法4

設(shè) sin θ = a + b ，3 cos θ = a - b ，并將其代入已知關(guān)系式和同角的三角函數(shù)關(guān)系式，即可建立關(guān)于 a、b 的方程組，通過求 a、b 的值，從而求得 sin θ、cos θ、tan θ 的值.

可見解答同角的三角函數(shù)求值問題可以采用多種不同的方法.無論運(yùn)用哪種方法解題，都需要做到：（1）靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行恒等變換；（2）采用一些技巧將函數(shù)式化簡、變形；（3）將已知關(guān)系式與目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來；（4）靈活運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系式.

（作者單位：江蘇省濱?？h東坎高級(jí)中學(xué)）