三角函數(shù)求值問(wèn)題看似較為簡(jiǎn)單，事實(shí)上比較復(fù)雜.這類問(wèn)題的命題形式較多，我們?cè)诮忸}時(shí)通常需靈活運(yùn)用各種三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行恒等變換，其運(yùn)算過(guò)程繁瑣，且容易出錯(cuò).在解題時(shí)，若能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，則可以有效地提升解題的效率.

一、運(yùn)用方程思想

在求三角函數(shù)的值時(shí)，可以運(yùn)用方程思想，將某個(gè)三角函數(shù)式看成未知數(shù)，建立與其相關(guān)的等式，即可構(gòu)建出方程或方程組，通過(guò)解方程或者運(yùn)用方程的性質(zhì)，求得函數(shù)的值.在解題時(shí)，需要注意角的取值范圍是否對(duì)所求的值有影響.

例1.已知A為三角形的內(nèi)角，且sin A+cosA=，求tanA的值.

解：將sin A+cosA=兩邊平方，

可得1+2 sin A cosA=，

因?yàn)锳為三角形的內(nèi)角，

所以sin A cosA=-＜0，則角A為鈍角.

sin A+cosA=，

所以〈sin A cosA=-，

sin A=12，sin A=-5，

cosA=-13（5），cosA=13（12），

所以tanA=c（s）os（in）A（A）=-11=-15（2）.

先將已知關(guān)系式平方，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1得到關(guān)于sin A、cosA的方程，并將其與已知關(guān)系式聯(lián)立成方程組，即可通過(guò)解方程組求得sin A、cosA，進(jìn)而求得tanA的值.

二、運(yùn)用換元思想

有些三角函數(shù)式較為復(fù)雜，此時(shí)可以運(yùn)用換元思想，將三角函數(shù)式中頻繁出現(xiàn)的某一個(gè)式子、根式、高次冪等用新元代替，從而簡(jiǎn)化三角函數(shù)式.在求得新元的值后，往往需將其替換成原來(lái)的式子，才能順利求得問(wèn)題的答案.

例2.已知sinβ+cosβ=，β∈（0，π），求tanβ的值.

解：因?yàn)閟inβ+cosβ=，

設(shè)sinβ=+x，cosβ=-x，

因?yàn)閟in2β+cos2β=1，

則（+x）2+（-x）2=1，解得x=±.

當(dāng)x=-時(shí)，sinβ=-＜0，

由于β∈（0，π），所以不滿足題意.

當(dāng)x=時(shí)，sinβ=，cosβ=-，

所以tanβ=-.

解答本題用到了均值換元法.令sinβ=+x，cosβ=-x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元x的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.當(dāng)遇到形如的a+b=m式子時(shí)，可設(shè)a=m+x，b=m-x，通過(guò)均值換元來(lái)簡(jiǎn)化解題的過(guò)程.

三、運(yùn)用整體思想

有些三角函數(shù)式中的式子呈現(xiàn)出某種特定的規(guī)律，此時(shí)可以運(yùn)用整體思想，將整個(gè)式子看作一個(gè)整體，進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，從而求得三角函數(shù)式的值.在運(yùn)用整體思想解題時(shí)，要建立已知條件和所求目標(biāo)之間的聯(lián)系，通過(guò)整體代換，使其逐步向目標(biāo)式靠攏.運(yùn)用整體思想求值，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，能大大提升解題的效率.

例3.求cos+cos+cos+cos的值.

解：令cos+cos+cos+cos=S，

則S×2 sin=2 sin cos+2 sin cos+2 sin·cos+2 sin cos=sin+sin-sin+sin-sin+sin-sin=sin，

解得S=，

所以cos+cos+cos+cos的值為.

仔細(xì)觀察目標(biāo)式會(huì)發(fā)現(xiàn)，其中各個(gè)單項(xiàng)式中的角成等差數(shù)列，于是將目標(biāo)式看作一個(gè)整體，在其兩邊同時(shí)乘以2 sin，就可以利用二倍角公式以及兩角的和差公式，將每一個(gè)單項(xiàng)式轉(zhuǎn)變成正弦函數(shù)式，最后通過(guò)正負(fù)抵消，就能通過(guò)整體代換，得到cos+cos+cos+cos的值.

可見(jiàn)，在解答三角函數(shù)求值問(wèn)題時(shí)，靈活運(yùn)用方程思想、換元思想、整體思想，會(huì)獲得意想不到的收獲，這樣能大大提升解題的效率.同學(xué)們要熟悉并掌握這些數(shù)學(xué)思想的特點(diǎn)、適應(yīng)情形、注意事項(xiàng)等，學(xué)會(huì)將其靈活地應(yīng)用于解題當(dāng)中.

（作者單位：江蘇省啟東市呂四中學(xué)）