有理數(shù)運(yùn)算是初中代數(shù)中最基本的運(yùn) 算，同時(shí)也是同學(xué)們時(shí)常出錯(cuò)的一個(gè)點(diǎn).不少 同學(xué)在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)，由于方法運(yùn)用不 當(dāng)，導(dǎo)致解題過(guò)程繁瑣，解題效率不高.對(duì)此， 筆者歸納了如下幾種運(yùn)算方法，以期能夠助 力同學(xué)們準(zhǔn)確、快速地解題.

一、分組求和法

分組求和法就是根據(jù)題目特征，利用交 換律、結(jié)合律等各種運(yùn)算法則，把算式中的項(xiàng) 進(jìn)行合理的分組，如將符號(hào)相反的數(shù)、代數(shù)和 為整數(shù)的數(shù)、同分母的數(shù)等，分別分為一組后 再去求和計(jì)算.這種方法常用于有理數(shù)的加 減運(yùn)算中.

例1

分析：這兩題有加有減，且涉及的項(xiàng)數(shù)較 多，若直接運(yùn)算，顯然難度較大（. 1）仔細(xì)觀察 該算式，不難看出若以相鄰兩項(xiàng)為一組進(jìn)行 計(jì)算的話，則可以將它轉(zhuǎn)化為-1-2-3-4- 5-…-100，即-（1+2+3+4+5+…+100），這樣計(jì) 算就更加便捷了（. 2）認(rèn)真分析該算式，不難 發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：除了前面三項(xiàng)外，后面的 每四項(xiàng)之和均為零，因此，采用分組求和法即 可快速計(jì)算出結(jié)果.

解：

評(píng)注：對(duì)于某些含有規(guī)律的有理數(shù)加減 運(yùn)算，若能對(duì)算式的各項(xiàng)恰當(dāng)?shù)胤纸M，可以減 少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度和效率.

二、字母代換法

字母代換法，是指在進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算時(shí)， 若題中所求的算式中出現(xiàn)相同的部分，則把 相同部分看作一個(gè)整體，用新的字母進(jìn)行替 換，這樣就可以使繁難的計(jì)算過(guò)程變得簡(jiǎn)單.

例2

分析：

解法1

解法2

評(píng)注：字母代換法的實(shí)質(zhì)是“換元”.當(dāng)題目 中出現(xiàn)相同數(shù)字或數(shù)式時(shí)，巧用字母代換法， 可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，降低計(jì)算難度和出錯(cuò)率.

三、裂項(xiàng)相消法

裂項(xiàng)相消法，即把一個(gè)數(shù)分裂成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)的和或差，將中間的大部分項(xiàng)都互相抵消，以此達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的.當(dāng)同學(xué)們?cè)谟?jì)算一些復(fù)雜的分?jǐn)?shù)求和問(wèn)題時(shí)，一定要先觀察式子中分子、分母的特點(diǎn)，考慮能不能利用裂項(xiàng)相消法對(duì)題目中的各項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，再利用相反數(shù)的意義進(jìn)行計(jì)算.

例3

分析：觀察該式子，很容易發(fā)現(xiàn)分子中的6=1+5，10=7+3，14=5+9，…，38=17+21，42=19+23，這樣就可以考慮運(yùn)用裂項(xiàng)相消法，把分裂成+，分裂成+，分裂成+，…，而=（-），這樣就可以快速解題.

解：

評(píng)注：在進(jìn)行多個(gè)分?jǐn)?shù)相加減時(shí)，同學(xué)們 要留意每項(xiàng)中的分母和分子，若分母以兩個(gè)數(shù) 的乘積出現(xiàn)，分子是這兩個(gè)數(shù)的和或者差時(shí)， 多使用裂項(xiàng)相消法，其常用公式有 a + b ab = 1 a + 1 b ， b a（a + b） = 1 a - 1 a + b ， 1 a（a + 1） = 1 a - 1 a + 1 .

總之，在進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不但要熟 練掌握其運(yùn)算法則和定律，還要細(xì)心觀察算 式的特征，注意根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，采取靈 活多變的運(yùn)算方法.這樣做不但能使問(wèn)題化 繁為簡(jiǎn)，化難為易，使運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化，而且還 能提高同學(xué)們的思維能力.