【摘要】計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在計(jì)算學(xué)習(xí)中常常會(huì)出現(xiàn)一些計(jì)算錯(cuò)誤，教師要把握學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問題，通過多重對比來理解豎式的意義。以“多位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）”教學(xué)為例，引導(dǎo)學(xué)生在多重對比中借助直觀明晰算理，在化錯(cuò)中深化模型，體驗(yàn)數(shù)學(xué)簡潔性，從而感悟計(jì)算的一致性。

【關(guān)鍵詞】對比；乘法豎式；深度學(xué)習(xí)

計(jì)算學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)其他學(xué)科領(lǐng)域的基礎(chǔ)。數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的運(yùn)算重點(diǎn)在于理解算理、掌握算理，認(rèn)識(shí)到數(shù)與運(yùn)算之間的密切關(guān)聯(lián)。[1]只有達(dá)到算法掌握、算理理解和建立關(guān)聯(lián)的階段，才能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)算的深度學(xué)習(xí)。計(jì)算深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生在計(jì)數(shù)單位累加和減少的這一核心知識(shí)主線引領(lǐng)下能夠總結(jié)算法、通透算理，理解計(jì)算的本質(zhì)，建立計(jì)算知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系，從而形成以計(jì)數(shù)單位為核心的計(jì)算大觀念?！岸辔粩?shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）”是小學(xué)階段第一次學(xué)習(xí)乘法豎式，學(xué)生在此前已經(jīng)完成整數(shù)加減法豎式的學(xué)習(xí)，初步學(xué)習(xí)了除法豎式，對于乘法豎式的書寫方式與計(jì)算過程仍心存疑惑。因此，教師不僅要讓學(xué)生掌握多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法，還要讓其通過多重對比去理解多位數(shù)乘一位數(shù)中每一步計(jì)算的含義，掌握算法、理解算理、建立計(jì)算之間的關(guān)聯(lián)，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算的深度學(xué)習(xí)。

一、豎式過程與圖像對比，借助直觀明算理

豎式計(jì)算模型較抽象，其通過抽象的數(shù)字符號(hào)進(jìn)行計(jì)算，從而得出計(jì)算結(jié)果。對于抽象的計(jì)算豎式來說，學(xué)生只能看到抽象符號(hào)的計(jì)算，卻無法呈現(xiàn)和理解豎式計(jì)算的過程。因此，教師要借助可視化圖像，讓學(xué)生深入理解豎式計(jì)算每一步的含義?！岸辔粩?shù)乘一位數(shù)”的內(nèi)容在不同版本教材中選用的情境和直觀手段不同，但是其目的和作用是相同的，都能夠體現(xiàn)第一個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)、十位上的數(shù)分別與一位數(shù)相乘的過程。教師在“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）”的教學(xué)中要將乘法豎式與幾何直觀對比來解釋豎式展開式中每一步計(jì)算的含義。以“每行12只螞蟻，有4行，一共多少只螞蟻？”一題為例，學(xué)生列出乘法豎式的展開式，但是并不知道每一步計(jì)算表示的含義是什么，此時(shí)教師可以讓學(xué)生借助點(diǎn)子圖來解釋每一步的含義。

如圖1，學(xué)生將兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計(jì)算過程與點(diǎn)子圖對應(yīng)，發(fā)現(xiàn)2×4就是計(jì)算點(diǎn)子圖上面兩行點(diǎn)子的個(gè)數(shù)，而10×4就是計(jì)算剩下10行點(diǎn)子的個(gè)數(shù)，從而能夠理解8表示的是8個(gè)一，而4表示的是4個(gè)十。曹培英老師在“跨越斷層，走向核心素養(yǎng)——小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)研究”中指出：“如果說從直觀到抽象往往側(cè)重新知識(shí)的生成性理解，那么之后從抽象到直觀，就可以側(cè)重已獲得新知更深入的領(lǐng)悟?！盵2]在兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計(jì)算學(xué)習(xí)過程中，豎式計(jì)算是抽象的，而點(diǎn)子圖是直觀可見的，借助點(diǎn)子圖理解豎式展開式的過程就是由直觀到抽象的過程，學(xué)生借助直觀圖示表征“2×4”和“10×4”，讓學(xué)生理解乘法計(jì)算每一步的含義，從而初步構(gòu)建乘法豎式展開式的意義。小學(xué)階段，大部分的豎式計(jì)算學(xué)習(xí)都要借助圖像來呈現(xiàn)算理，讓計(jì)算過程表象化、可視化。

二、正誤豎式過程的對比，化錯(cuò)中深化模型

差錯(cuò)的產(chǎn)生和存在具有必然性和普遍性，學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的過程中總會(huì)遇到錯(cuò)誤和疑惑。華應(yīng)龍老師十分重視“化錯(cuò)”的過程，讓學(xué)生在課堂中逐漸將錯(cuò)誤的知識(shí)轉(zhuǎn)化為正確的知識(shí)，從而讓學(xué)生在化錯(cuò)的過程中深入理解知識(shí)。計(jì)算學(xué)習(xí)伴隨整個(gè)小學(xué)階段，學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算前就有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)，因此，在學(xué)習(xí)一種新的計(jì)算時(shí)，他們能夠主動(dòng)遷移已有的舊知識(shí)，有時(shí)是正遷移，而有時(shí)是負(fù)遷移。學(xué)生第一次學(xué)習(xí)乘法豎式時(shí)，還不能正確書寫乘法豎式，因此在初次嘗試計(jì)算的過程中會(huì)出現(xiàn)漏乘錯(cuò)誤。學(xué)生在面對自己錯(cuò)誤時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)自己算錯(cuò)了，卻不知道自己錯(cuò)誤的原因，無法對照點(diǎn)子圖說清漏乘了哪個(gè)部分。

如圖2，學(xué)生和教師就漏乘的豎式展開討論。

師：這位同學(xué)的計(jì)算對嗎？

生：不對。

師：錯(cuò)在哪里？

生：十位上的1錯(cuò)了。

師：對照點(diǎn)子圖，你知道他漏乘了哪里嗎？

學(xué)生無法圈出漏乘部分。

教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生逐步分析計(jì)算過程，說出錯(cuò)例產(chǎn)生的原因。對比錯(cuò)誤豎式和正確的豎式縮寫形式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的得數(shù)少了，但是不能夠理解少了多少。因此，在理解錯(cuò)誤豎式的時(shí)候，學(xué)生需要借助乘法豎式的展開式，對比展開式來分析錯(cuò)誤豎式漏乘了哪一步。

師：對照乘法豎式的展開式，你發(fā)現(xiàn)第一個(gè)同學(xué)漏乘了哪一步？

生1：對照展開式，第一位同學(xué)個(gè)位上的8沒有錯(cuò)，十位上的1直接寫下來錯(cuò)了。

生2：對照豎式的展開形式，十位上不應(yīng)該直接寫1，而應(yīng)該是1×4，是40。

師：能不能在點(diǎn)子圖中找到漏乘的部分？

生2圈出點(diǎn)子圖中漏乘的3個(gè)十。

學(xué)生在出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過對比來分析錯(cuò)誤的原因，從而構(gòu)建豎式展開式的模型。計(jì)算教學(xué)中，教師要抓住學(xué)生出錯(cuò)的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的生長點(diǎn)，用好課堂中生成的錯(cuò)誤，對比正誤，借化錯(cuò)的機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生深入理解算理，進(jìn)一步構(gòu)建、深化模型。

三、展開與優(yōu)化形式對比，體驗(yàn)數(shù)學(xué)簡潔性

豎式計(jì)算學(xué)習(xí)是幾何直觀、推理和優(yōu)化的過程，承載了學(xué)生數(shù)學(xué)思想的感悟。優(yōu)化思想是一般化的思想方法，在教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生體會(huì)，在計(jì)算和解決問題的過程中，會(huì)出現(xiàn)多種方法和策略，通過學(xué)生的自主探索和合作交流，感受解題方法的多樣性和不同方法的優(yōu)劣，每個(gè)人都應(yīng)該反思并學(xué)習(xí)優(yōu)秀的方法，從而在學(xué)習(xí)方法和解題策略上不斷提高自己。[3]優(yōu)化是乘法豎式的優(yōu)勢所在，能夠在模型中包含若干步計(jì)算，包括乘法與加法。最初學(xué)習(xí)乘法豎式時(shí)，學(xué)生需要按照展開式來書寫，能更加清晰地分析每一步計(jì)算的含義。如圖4，學(xué)生在乘法豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)中要對比簡便豎式與展開豎式，發(fā)現(xiàn)其縮寫形式的簡潔性。

師：辯一辯，這兩個(gè)豎式，你更喜歡哪一個(gè)？

生1：展開式能夠更加清晰地表達(dá)計(jì)算每一步的過程。

生2：縮寫形式更簡單，節(jié)省空間。

生1：展開式中明顯寫出10×4=40的計(jì)算過程，縮寫形式中的4表示不了40。

生2：縮寫形式中4在十位上，也能夠表示40。

生1：表示40，個(gè)位需要有0來占位，可是這里為什么沒有0占位？

生2：個(gè)位上都有8占位了，0+8=8。

學(xué)生通過辨一辯進(jìn)行簡便形式和展開形式的對比，在對比中發(fā)現(xiàn)兩種書寫形式優(yōu)勢的同時(shí)，也進(jìn)一步深入感悟優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想。在多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算中，每一次乘得的積都寫在同一行，因而不會(huì)產(chǎn)生重復(fù)，其實(shí)就是算有多少個(gè)一、多少個(gè)十和多少個(gè)百。每一次乘，積都對應(yīng)一個(gè)數(shù)位，不會(huì)產(chǎn)生積書寫位置的歧義。由于數(shù)位較少，學(xué)生在面對展開形式和簡便形式時(shí)，可能會(huì)認(rèn)為展開形式會(huì)更好，因?yàn)槠涓軌蝮w現(xiàn)乘法計(jì)算過程中的每一步。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：如果數(shù)位更多時(shí)怎么辦？隨著數(shù)位逐漸增多，展開式中積的層數(shù)會(huì)越來越多，從而越來越麻煩。由此，學(xué)生能夠在展開式與縮寫形式對比的過程中感知乘法豎式的簡潔性。

四、乘數(shù)位數(shù)不同的對比，感悟運(yùn)算一致性

比學(xué)什么更重要的是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是通過舊知識(shí)的遷移形成新知識(shí)的過程，學(xué)生要學(xué)會(huì)運(yùn)用舊知識(shí)的重組構(gòu)建新知識(shí)，掌握探究知識(shí)的方法，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。多位數(shù)乘一位數(shù)這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)重點(diǎn)在于兩位數(shù)乘一位數(shù)，學(xué)生要從數(shù)意義的角度理解兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算過程，理解一位數(shù)與個(gè)位上的數(shù)乘所得的積是幾個(gè)一、與十位上的數(shù)乘所得積是幾個(gè)十。有了對兩位數(shù)乘一位數(shù)的深入理解，學(xué)生對于三位數(shù)乘一位數(shù)，甚至更多位數(shù)乘一位數(shù)的探索與理解都是建立在兩位數(shù)乘一位數(shù)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)之上。如學(xué)生在學(xué)習(xí)三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)，教師可以放手讓學(xué)生自己去探索計(jì)算。學(xué)生能夠遷移兩位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，正確計(jì)算三位數(shù)乘一位數(shù)，同時(shí)也能夠遷移兩位數(shù)乘一位數(shù)的算理來理解三位數(shù)乘一位數(shù)的算理。如圖5，與上面12×4的豎式相比，第二個(gè)因數(shù)4不僅要與個(gè)位上的2、十位上的1相乘，算出有8個(gè)一、4個(gè)十，還要與百位上的1相乘，算出有4個(gè)百。

在本節(jié)課中，如果教師在學(xué)生會(huì)算三位數(shù)乘一位數(shù)時(shí)就結(jié)束追問，便失去了一個(gè)幫助學(xué)生建立乘法計(jì)算大概念的時(shí)機(jī)。計(jì)算這一領(lǐng)域的學(xué)習(xí)是基于“計(jì)數(shù)單位”這一大概念統(tǒng)領(lǐng)的，在乘法“計(jì)數(shù)單位倍增”的算理中，主要包含了“計(jì)數(shù)單位”和“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)”兩個(gè)維度。[4]乘法計(jì)算也要以“計(jì)數(shù)單位”為統(tǒng)領(lǐng)，教師在學(xué)生掌握了兩位數(shù)乘一位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)的算理后，需要引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)猜測：如果以后遇到四位數(shù)乘一位數(shù)、五位數(shù)乘一位數(shù)，你還會(huì)算嗎？能說出它們的道理嗎？教師趁機(jī)追問引發(fā)學(xué)生思考，多位數(shù)乘一位數(shù)的方法與兩位數(shù)乘一位數(shù)相同，其算理也是一樣的，是算有幾個(gè)一、幾個(gè)十、幾個(gè)百、幾個(gè)千、幾個(gè)萬，都是計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。學(xué)生通過不同數(shù)位乘法計(jì)算的對比，發(fā)現(xiàn)多位數(shù)乘一位數(shù)的計(jì)算方法相同，都是從個(gè)位起依次相乘，乘到哪一位，積的末位就與哪一位對齊，進(jìn)而感悟到不管是幾位數(shù)乘一位數(shù)，其都是計(jì)算每個(gè)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，感悟乘法計(jì)算的本質(zhì)都是相同的。

對比是學(xué)習(xí)和深化乘法豎式模型的重要方法。通過對比，學(xué)生能夠更加清楚地感受到新知識(shí)與舊知識(shí)的區(qū)別，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤答案與正確答案的差別，理解抽象與幾何直觀之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)簡單與復(fù)雜書寫格式的優(yōu)劣。教學(xué)中，教師要準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)情，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵問題所在，從計(jì)算的大概念出發(fā)，以“計(jì)數(shù)單位”為核心統(tǒng)領(lǐng)計(jì)算學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生在自主探究、對比思考中初步構(gòu)建乘法豎式模型，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀、推理意識(shí)等數(shù)學(xué)思想方法的感悟，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

參考文獻(xiàn)：

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［2］曹培英.跨越斷層，走向核心素養(yǎng)——小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)研究［M］.上海：上海教育出版社，2022：124.

［3］王永春.小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2014：106.

［4］畢宏輝.單元統(tǒng)整，表征聯(lián)結(jié)，由繁入簡，法理融通——以“多位數(shù)乘一位數(shù)”的豎式教學(xué)為例［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2023（11）：48-52.