陳挺

［摘 要］高考對(duì)平面向量的考查一直以交匯性問(wèn)題的形式出現(xiàn)，不僅考查向量知識(shí)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用，而且考查平面向量的工具性。文章結(jié)合幾則典例，例析平面向量與三角、解析幾何、函數(shù)與不等式的交匯，以提高學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］平面向量；三角；解析幾何；函數(shù)；不等式

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）26-0004-04

高考對(duì)平面向量的考查一直以交匯性問(wèn)題的形式出現(xiàn)，既考查了考生對(duì)平面向量本身的認(rèn)識(shí)，又考查了平面向量的工具性，因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，教師一定要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平面向量交匯性問(wèn)題。本文舉例說(shuō)明，以供同仁們參考。

一、與三角的交匯

這類命題一般是以平面向量為載體，巧妙地把平面向量的數(shù)量積問(wèn)題與三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)糅合在一起，以此來(lái)考查考生對(duì)這兩部分知識(shí)的掌握情況和知識(shí)的遷移能力。

析，利用向量數(shù)量積這一工具，結(jié)合三角恒等變換求出三角函數(shù)值，再結(jié)合角的取值范圍得出答案。

點(diǎn)評(píng)：本題屬于解三角形問(wèn)題。已知條件中雖然沒(méi)有出現(xiàn)平面向量，但解答時(shí)卻引進(jìn)了平面向量，并應(yīng)用平面向量的運(yùn)算法則進(jìn)行推理，體現(xiàn)了平面向量在解三角形問(wèn)題中的“工具”作用。

復(fù)習(xí)建議：對(duì)于平面向量與三角函數(shù)的交匯創(chuàng)新試題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平面向量的運(yùn)算法則、同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角恒等變換、解三角形、基本不等式等知識(shí)，并強(qiáng)化引參、消元、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，幫助學(xué)生開闊視野，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

二、與解析幾何的交匯

平面向量與解析幾何都涉及數(shù)和形，對(duì)于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系（如平行、相交、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等）和數(shù)量關(guān)系（如距離、面積、角度等）都可以通過(guò)向量的運(yùn)算而得到解決。

點(diǎn)評(píng)：本題將三角形的面積公式，同角關(guān)系，向量夾角公式，數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模的坐標(biāo)表示，直線與橢圓的交點(diǎn)的求法，橢圓中的定值問(wèn)題綜合在一起考查，綜合性極強(qiáng)，具有一定的計(jì)算難度。

（1）求[C]的方程；（2）過(guò)點(diǎn)[F]且斜率不為零的直線[m]與[C]交于[P、Q]兩點(diǎn)，設(shè)[A-1，0]，證明：[AP⊥AQ]。

點(diǎn)評(píng)：解析幾何中的兩直線平行、垂直或求夾角問(wèn)題，一般可以轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，這體現(xiàn)了平面向量在解析幾何問(wèn)題中的靈活應(yīng)用。

復(fù)習(xí)建議：對(duì)于平面向量與圓錐曲線的交匯試題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)曲線的定義和性質(zhì)理解的基礎(chǔ)上解題，熟練掌握直線方程、圓錐曲線的概念和性質(zhì)等，深刻體會(huì)由向量關(guān)系式列出方程是后繼應(yīng)用韋達(dá)定理、函數(shù)的增減性等簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵。

三、與函數(shù)、不等式的交匯

平面向量與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯試題，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，可以設(shè)計(jì)出有關(guān)函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題。

（1）求[y]關(guān)于[x]的函數(shù)解析式；

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量基本定理的應(yīng)用為背景，通過(guò)平面向量運(yùn)算構(gòu)建函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，具有“向量搭臺(tái)，函數(shù)唱戲”的特點(diǎn)。

復(fù)習(xí)建議：平面向量與函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯的試題大多考查了平面向量基本定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式的應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化求解。合理運(yùn)算、化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關(guān)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是解答題目的關(guān)鍵。因此，復(fù)習(xí)此類問(wèn)題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想和換元思想，不斷提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。尤其要掌握兩種轉(zhuǎn)化途徑：一是利用向量平行或垂直的充要條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

總之，通過(guò)以上交匯性問(wèn)題的探索，應(yīng)讓學(xué)生知道，平面向量交匯性問(wèn)題不僅考查向量知識(shí)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用，而且考查平面向量的工具性，是一類兼顧基礎(chǔ)性與綜合性考查的好題。因此，在復(fù)習(xí)平面向量時(shí)，教師既要注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和基本技能的提高，又要注意平面向量方法的滲透。