徐愛群,高津烜,饒 勝,王名宏

(浙江科技學(xué)院 機(jī)械與能源工程學(xué)院,杭州 310023)

在機(jī)械零件的加工過程中,使工作平臺保持水平十分重要。隨著微機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展,大多數(shù)機(jī)械設(shè)備對水平度的要求越來越高,許多機(jī)械設(shè)備的工作平臺在受力時會發(fā)生微小的傾斜,各種誤差的累積嚴(yán)重影響成品的品質(zhì),因此必須進(jìn)行水平調(diào)節(jié)。

傳統(tǒng)的位置反饋調(diào)平方法所檢測的變量是平臺的位移量,由于產(chǎn)生的位移是力作用的結(jié)果,因此平臺的位移較之作用力具有明顯的滯后性。關(guān)于調(diào)平方法的實(shí)際工程應(yīng)用已有大量研究。在提高裝置抗沖擊性能方面,李琳等[1]針對設(shè)備傾斜造成姿勢不當(dāng)?shù)葐栴},提出了一種對旋轉(zhuǎn)輸出軸根部增加圓角和加裝橡膠緩沖墊及彈簧支撐件的方法,以降低調(diào)平裝置受到的沖擊應(yīng)力,提高調(diào)平裝置的抗跌落性能。在提高調(diào)節(jié)速度方面,鄧傳濤等[2]針對平臺調(diào)平控制,提出了一種結(jié)合比例、積分和微分等3種方法于一體的控制算法,相比傳統(tǒng)控制算法具有更高的控制精度和動態(tài)性能,調(diào)節(jié)速度提高了40%以上。在模型優(yōu)化降低誤差方面,張強(qiáng)等[3]針對高空作業(yè)平臺液壓調(diào)平機(jī)構(gòu)的工作原理進(jìn)行了研究,對上下調(diào)平機(jī)構(gòu)六變量優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化,將調(diào)平誤差最大值降低了49%,上調(diào)平液壓缸所需最大推力降低了2%。在調(diào)平精度方面,馮儀等[4]采用伺服電機(jī)控制的四支點(diǎn)支撐平臺,設(shè)計(jì)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了機(jī)電一體化,調(diào)平精度結(jié)果小于1′,調(diào)平時間小于2 min。

綜上所述,現(xiàn)有調(diào)平方法并不完全適用于微系統(tǒng)和精密機(jī)械,應(yīng)用領(lǐng)域有限,實(shí)現(xiàn)成本較高,不能滿足精密零件加工對工作平臺水平精度的要求;且大多采用四點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu),容易因受力不均而產(chǎn)生“虛腿”現(xiàn)象,造成伺服電機(jī)過載[5]。因此,本研究設(shè)計(jì)了一種等邊三支腿調(diào)平結(jié)構(gòu),仿真分析工作平臺受力時可驅(qū)動支腿的4種受力情況。鑒于以往對壓電陶瓷的研究主要集中于材料自身的特性及能量存儲方面[6-8],故本研究提出一種基于PZT(piezoelectric ceramics,壓電陶瓷)功能材料固有的壓電應(yīng)變屬性的調(diào)平方法,工作平臺的調(diào)節(jié)根據(jù)材料本身的微動位移來實(shí)現(xiàn),避免了液壓和電機(jī)等介質(zhì)造成的誤差。

1 調(diào)平機(jī)構(gòu)工作分析

在無外電場作用時,壓電陶瓷表面電疇由于內(nèi)部的極化作用相互抵消。經(jīng)過極化處理后,內(nèi)部電疇自發(fā)極化方向都趨于外加電場方向,即呈現(xiàn)壓電效應(yīng)。而壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)原理則是壓電陶瓷在電場作用下產(chǎn)生極化,在電場力的作用下產(chǎn)生形變[9-11]。

調(diào)平機(jī)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)主視圖見圖1,壓電陶瓷的局部結(jié)構(gòu)如圖2所示。工作平臺用于承載工作載荷,俯視呈等邊三角形結(jié)構(gòu)。底座和工作平臺由3只可驅(qū)動支腿通過預(yù)緊螺釘連接,呈等邊三角形分布。在壓電陶瓷的局部結(jié)構(gòu)中,壓電陶瓷驅(qū)動器、傳感器、柔性鉸鏈及電絕緣材料環(huán)氧樹脂以豎直方向依次排列;傳感器用來檢測電壓,驅(qū)動器用來控制支腿的伸縮量,環(huán)氧樹脂用作驅(qū)動器和傳感器的絕緣黏結(jié)劑。柔性鉸鏈為可驅(qū)動支腿提供軸向支撐。由于底座對可驅(qū)動支腿的軸向約束,當(dāng)工作平臺受到工作載荷時,支腿的位移量會沿著豎直方向變化,通過對比各支腿分力的大小關(guān)系來施加驅(qū)動電壓控制壓電陶瓷的微小形變,從而實(shí)現(xiàn)工作平臺的調(diào)平。

圖1 調(diào)平機(jī)構(gòu)整體結(jié)構(gòu)主視圖Fig.1 Front view of overall structure of leveling mechanism

圖2 壓電陶瓷的局部結(jié)構(gòu)Fig.2 Localized structure of piezoelectric ceramics

壓電陶瓷的微小形變由施加到PZT功能材料上的電壓大小來控制。調(diào)平順序如下:工作載荷→支腿受力→比較各分力大小→施加驅(qū)動電壓→PZT形變產(chǎn)生微動位移→分力差值在精度閾值內(nèi)→調(diào)平結(jié)束。調(diào)平過程幾乎沒有能量損失,能夠滿足高精度的調(diào)平要求。

1.1 調(diào)平步驟

在工作平臺施加載荷F,3只可驅(qū)動支腿的分力分別為F1、F2、F3,對應(yīng)的壓電陶瓷結(jié)構(gòu)中壓電陶瓷傳感器所產(chǎn)生的電壓值分別為U1、U2、U3。根據(jù)壓電陶瓷在電場中的逆壓電效應(yīng)[12],壓電陶瓷應(yīng)變量表示如下:

(1)

式(1)中:ε為壓電陶瓷驅(qū)動器的應(yīng)變量;c為壓電陶瓷材料的壓電系數(shù);M為壓電陶瓷材料的電致伸縮系數(shù);d為組成壓電陶瓷驅(qū)動器與壓電陶瓷傳感器的單組極板之間的距離。

施加驅(qū)動電壓后,壓電陶瓷驅(qū)動器所產(chǎn)生的驅(qū)動力f1、f2、f3與驅(qū)動電壓U1、U2、U3的關(guān)系式如下:

(2)

式(2)中:E為PZT的楊氏模量;A為可驅(qū)動支腿的橫截面積。

調(diào)平機(jī)構(gòu)的工作流程圖見圖3。

圖3 工作流程圖Fig.3 Work flow chart

當(dāng)工作平臺承受外部作用力F時,各驅(qū)動支腿受分力示意圖見圖4,圖中a為等邊三角形工作平臺邊長的1/2,(x,y)為工作平臺作用力F作用點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖4 各驅(qū)動支腿受分力示意圖Fig.4 Schematic diagram of force component of each driving outrigger

根據(jù)空間平行力系可求得各支腿分力之間的關(guān)系式如下:

(3)

根據(jù)式(3)推導(dǎo)出F1、F2、F3后,3只可驅(qū)動支腿的受力情況可分為三力相等、三力互不相等,以及三力中有兩力相等且小于第三力及三力中有兩力相等且大于第三力4種情況。由于工作平臺為等邊三角形結(jié)構(gòu),為不失一般性,三力關(guān)系可表達(dá)為F1=F2=F3、F1F3。

1) 當(dāng)F1=F2=F3時,工作平臺處于水平狀態(tài),無須調(diào)平。

2) 當(dāng)F1

(4)

式(4)中:ΔLi(i=1,2,3)分別為各可驅(qū)動支腿的形變量;Fi(i=1,2,3)分別對應(yīng)第一、第二、第三可驅(qū)動支腿所分擔(dān)的壓力,L為可驅(qū)動支腿的長度。

初始狀態(tài)下,可驅(qū)動支腿的長度相等。此時3只可驅(qū)動支腿的形變量之差分別如下:

(5)

此時平臺要恢復(fù)水平狀態(tài),應(yīng)使第二壓電驅(qū)動器的形變量等于ΔL2-ΔL1,第三壓電驅(qū)動器的形變量等于ΔL3-ΔL1,即

(6)

式(6)中:Lp為壓電陶瓷驅(qū)動器長度。

對第二可驅(qū)動支腿處的壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓U′2,第三可驅(qū)動支腿處的壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓U′3:

(7)

檢測第一可驅(qū)動支腿中由于第二可驅(qū)動支腿和第三可驅(qū)動支腿伸縮而產(chǎn)生的分力的增量ΔF1。其中ΔU1是在ΔF1作用下第一可驅(qū)動支腿上的壓電陶瓷傳感器所產(chǎn)生的電壓;δ為精度閾值,根據(jù)工作平臺所需要的工況調(diào)平精度確定;若ΔF1<δ,則調(diào)平結(jié)束。

(8)

否則第二和第三可驅(qū)動支腿處的壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓修改為U″2、U″3:

(9)

3) 當(dāng)F1=F2

(10)

若ΔF′1<δ,則調(diào)平結(jié)束;否則重新對第三可驅(qū)動支腿處的壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓U″3:

U″3=U′3-ΔU1。

(11)

4) 當(dāng)F1=F2>F3時,需同時對第一、第二兩支腿施加相等電壓U′1,得到第一、第二兩支腿因此產(chǎn)生的分力增量。若ΔF′1>δ,則重新施加驅(qū)動電壓U″1:

(12)

1.2 工作平臺傾斜角分析

調(diào)平步驟完成后需要進(jìn)行水平度分析,本研究以傾斜角大小作為衡量工作平臺水平度的標(biāo)準(zhǔn)[13-15];傾斜角即工作平臺傾斜后的平面與基準(zhǔn)平面所形成的夾角,在工作平臺受外力產(chǎn)生傾斜后,通過推導(dǎo)傾斜角與支腿形變量之間的關(guān)系來分析工作平臺的水平度,由此判斷工作平臺水平度是否滿足工況精度要求。由于工作平臺受力時可驅(qū)動支腿產(chǎn)生的4種受力情況而產(chǎn)生的受力形變情況見圖5。

圖5 各支腿受力形變情況Fig.5 Force and deformation of each outrigger

支腿受力形變情況為ΔL1≠ΔL2≠ΔL3時的傾斜角示意圖見圖6,圖中A(0,0,z1)、B(x,0,z2)、C(0,y,z3)、D(x,0,0)、E(x,y,0)、F(0,y,0)。圖6中由于各支腿受力形變均不相同,工作平臺在立體空間內(nèi)可向任何方向傾斜,故采用向量法分析傾斜角。設(shè)平臺ABC受力時A點(diǎn)支腿受力最小,C點(diǎn)支腿受力最大,則支腿間的形變量為z1-z3=ΔL3-ΔL1,z1-z2=ΔL2-ΔL1,工作平臺ABC的法向量為n,水平基準(zhǔn)面S1法向量為m=(0,0,1),再將式(5)代入面S和面S1夾角β的余弦值cosβ,此時β為傾斜角,即

(13)

圖6 傾斜角示意圖Fig.6 Schematic diagram of tilt angle

圖7 工作平臺面與傾斜面的幾何關(guān)系Fig.7 Geometric relationship between working platform surface and inclined surface

由圖7可知,支腿形變量與工作平臺傾斜角的數(shù)學(xué)關(guān)系為

(14)

由于β→0,故上式簡化為

sinβ≈β。

當(dāng)工作平臺受力時,各支腿形變量如式(4)所示。將式(4)代入式(14)可得各支腿由于形變量而造成的傾斜角為

(15)

當(dāng)工作平臺受力產(chǎn)生傾角時,按上述調(diào)平步驟,將式(6)的支腿形變量之差代入式(14),可得調(diào)平的理論傾斜角

(16)

在調(diào)平步驟完成后,驗(yàn)證工作平臺水平度時,將ΔF代入式(15),可得:

(17)

又因ΔF<δ,將式(10)代入式(17),則傾斜角與精度閾值滿足如下關(guān)系:

1.59×107β′=ΔF<δ。

2 ANSYS模擬仿真

2.1 仿真前處理

對機(jī)構(gòu)材料進(jìn)行定義,壓電片選擇PZT-4壓電材料,密度ρ為7 450 kg/m3,泊松比為0.269,楊氏模量E為1.06×1011(Pa)。工作平臺結(jié)構(gòu)選用碳素結(jié)構(gòu)鋼材料,密度ρ=7.85 g/cm3,彈性模量E的范圍為200～210 GPa,泊松比的范圍為0.25～0.33。沿豎直方向極化的材料剛度矩陣K(×1010N/m2)、壓電矩陣d(C/m2)和介電矩陣ε分別如下:

在仿真軟件前處理模塊中,首先對調(diào)平機(jī)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格化處理,網(wǎng)格化處理方式?jīng)Q定了仿真結(jié)果的精準(zhǔn)度,主要包括材料屬性定義、網(wǎng)格屬性定義、網(wǎng)格劃分等步驟。

2.2 加載與求解

驅(qū)動電壓在壓電求解時,PZT材料在豎直方向極化,耦合上下表面電壓。壓電片網(wǎng)格化共生成5 906個結(jié)點(diǎn)和1 190個單元,示意圖見圖8。壓電驅(qū)動模塊工作示意圖見圖9。

圖8 壓電片網(wǎng)格化示意圖Fig.8 Schematic diagram of piezoelectric grid

圖9 壓電驅(qū)動模塊示意圖Fig.9 Schematic diagram of piezoelectric drive module

2.2.1 支腿受力分布仿真

在調(diào)平分析中,對支腿施加電壓前必須了解各支腿的受力情況。分析支腿受力情況時,定義工作平臺模擬載荷F為50 N。當(dāng)外載荷作用點(diǎn)發(fā)生變化時,支腿受力狀況也將發(fā)生變化,故將受力點(diǎn)分別設(shè)置在工作平臺中心點(diǎn)、中心線等不同區(qū)域。各可驅(qū)動支腿形變及受力的4種情況如圖10所示。

圖10 各可驅(qū)動支腿形變及受力的4種情況Fig.10 Four conditions of deformation and force of each drivable outrigger

由圖10(a)可知,當(dāng)受力點(diǎn)在中心點(diǎn)時,各支腿受力相等,即F1=F2=F3;由圖10(b)、(c)可知,當(dāng)受力點(diǎn)在中心線上分布時,其中兩個支腿受力相等;圖10(d)表示當(dāng)受力點(diǎn)位于其他區(qū)域時,各支腿受力均不相等,用F1

圖11 工作平臺的受力區(qū)域與各支腿的受力分布關(guān)系Fig.11 Force distribution relationship between force bearing area of working platform and each outrigger

2.2.2 支腿受力形變仿真

為便于計(jì)算所需要的微動位移補(bǔ)償,因此要分析支腿因受力而產(chǎn)生的形變情況。通過仿真得到各支腿的形變量后,再對壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓使其產(chǎn)生等量級的位移補(bǔ)償。4種受力情況下支腿受力產(chǎn)生的形變?nèi)鐖D12所示,由圖可知,當(dāng)受力點(diǎn)位于工作平臺的不同區(qū)域時,各支腿的形變量與其所受分力大小呈正相關(guān)變化。

圖12 4種受力情況下支腿受力產(chǎn)生的形變Fig.12 Deformation of outrigger under four force conditions

由圖12(a)可知,各支腿形變量相等,即ΔL1=ΔL2=ΔL3;圖12(b)、(c)表示形變量為ΔL1=ΔL2<ΔL3和ΔL1=ΔL2>ΔL3的2種情況,其中兩支腿形變量ΔL1、ΔL2分別為-3.07×10-8～-9.22×10-8(m)和-1.42×10-8～-1.27×10-7(m),ΔL3為-3.07×10-8～-2.77×10-7(m)和-1.42×10-8～-1.13×10-7(m);圖12(d)表示各支腿形變量的關(guān)系為ΔL1≠ΔL2≠ΔL3,其中各支腿的形變范圍分別為-2.89×10-8～-8.68×10-8(m)、-2.89×10-8～-1.16×10-7(m)、-2.89×10-8～-2.60×10-7(m)。

3 調(diào)平結(jié)果分析

以F1=F2

3.1 傾斜角理論分析

驅(qū)動電壓在10～150 V范圍內(nèi)時,代入式(2)、式(6)中得到的壓電陶瓷理論受力與變形關(guān)系曲線如圖13所示。由驅(qū)動力曲線可知,對壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓后產(chǎn)生的驅(qū)動力f在0～13 N范圍內(nèi),與工作平臺支腿所受分力大小F在同一量級范圍內(nèi);由壓電陶瓷形變曲線可知,施加電壓產(chǎn)生的位移范圍在10-8～10-7m。與上述受力形變的仿真結(jié)果相比,驗(yàn)證了支腿受力時的形變量與壓電陶瓷產(chǎn)生的微動位移量的統(tǒng)一。從理論計(jì)算來看,結(jié)合式(19)、式(20),調(diào)平前后工作平臺傾斜角變化曲線如圖14所示。平臺受外力時產(chǎn)生的傾斜角為β,調(diào)平后的傾斜角為β′。以支腿橫截面受分力的大小為0～13 N范圍內(nèi)為例,工作平臺在受外力時產(chǎn)生的最大傾斜角為2.15×10-6(°),施加驅(qū)動電壓后傾斜角減少了1.95×10-6(°)。理論計(jì)算可得調(diào)平后工作平臺傾斜角可減小到原來的10%。

圖13 壓電陶瓷驅(qū)動電壓理論受力與形變關(guān)系曲線Fig.13 Relation curve between theoretical force and deformation of piezoelectric ceramic driving voltage

圖14 調(diào)平前后工作平臺傾斜角變化曲線Fig.14 Change curve of tilt angle of working platform before and after leveling

3.2 傾斜角仿真分析

在ANSYS壓電耦合仿真分析中,根據(jù)具體工況對壓電模塊進(jìn)行建模,壓電陶瓷驅(qū)動器長度為7 mm,驅(qū)動電壓范圍為10～150 V。當(dāng)應(yīng)力作用在可驅(qū)動支腿橫截面上時,在豎直方向產(chǎn)生壓縮變形。而在壓電陶瓷兩端施加電壓后,對可驅(qū)動支腿的豎直方向產(chǎn)生相應(yīng)的微動位移。當(dāng)外力50 N作用在平臺中心線時,取壓電陶瓷處的仿真應(yīng)力值為6×105(Pa),支腿橫截面積S=25.13×10-6(m2),通過上述工作原理計(jì)算,得出1只腿分力F為15.078 N,代入式(2)可得該支腿壓電陶瓷驅(qū)動器在上述工況下的驅(qū)動電源電壓理論值約為43 V,理論形變量為-1.038×10-7(m)。

電壓值為43 V的壓電陶瓷微動位移仿真結(jié)果如圖15所示,由圖可知,支腿的微動位移仿真值基本上在1.072×10-7～1.787×10-7(m)之間。與圖12(a)、(b)和(c)的支腿形變量仿真結(jié)果相比,壓電陶瓷微動位移仿真結(jié)果與受支腿分力時的理論形變量在同一量級范圍內(nèi),理論形變量ΔL=-1.038×10-7(m),與仿真結(jié)果的誤差值為0.034×10-7(m),誤差波動為3.276%,在合理范圍內(nèi)。

圖15 壓電陶瓷微動位移仿真結(jié)果Fig.15 Simulation results of piezoelectric after ceramic fretting displacement

根據(jù)圖12(b)仿真結(jié)果進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)工作平臺受外力作用時支腿所受分力差值ΔF的形變閾值ΔL=4.65×10-8(m)。對形變量最大的支腿壓電陶瓷驅(qū)動器施加驅(qū)動電壓后,各支腿因受力差而產(chǎn)生的形變情況如圖16所示,理論計(jì)算可得ΔL′=-2.94×10-8(mm)。將ΔL、ΔL′分別代入式(19)可得:調(diào)平前傾斜角為1.12×10-6(°),調(diào)平后傾斜角β″減小了0.71×10-6(°)。仿真結(jié)果可得調(diào)平后工作平臺傾斜角可減小到原來的37%。

圖16 施加電壓后各支腿因受力差產(chǎn)生的形變Fig.16 Deformation of each outrigger due to force difference applying voltage

4 結(jié) 語

基于壓電陶瓷功能材料在機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用,提出了一種基于壓電材料逆壓電特性的調(diào)平方法。首先推導(dǎo)出力的作用點(diǎn)與各支腿分力之間的相互關(guān)系;再利用ANSYS中的瞬態(tài)結(jié)構(gòu)模塊進(jìn)行仿真試驗(yàn),結(jié)果表明調(diào)平理論計(jì)算值與仿真試驗(yàn)值處于同一量級范圍,可實(shí)現(xiàn)微米級精度的水平調(diào)節(jié)功能。通過平臺平面度驗(yàn)證,當(dāng)支腿分力產(chǎn)生的增量在精度閾值范圍內(nèi)時,則符合調(diào)平要求。相比四支點(diǎn)支撐結(jié)構(gòu),本研究提出的等邊三支腿結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性好、支撐可靠性高等優(yōu)點(diǎn),避免了因“虛腿”而造成支腿受力不均的現(xiàn)象,其應(yīng)用場合更加廣泛,具有控制邏輯清晰、響應(yīng)速度快、調(diào)整精度高等特點(diǎn)。