王藝宇, 周 瑾, 周 揚(yáng), 徐園平, 張一博

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院,南京 210016)

主動磁懸浮軸承依靠可控的電磁力將轉(zhuǎn)子懸浮在參考位置處,因?yàn)槠渚哂袩o摩擦損耗、高轉(zhuǎn)速、低功耗等優(yōu)點(diǎn),在壓縮機(jī)、分子泵、膨脹機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。在此類的系統(tǒng)中,葉輪與轉(zhuǎn)子之間存在由螺栓連接的接觸界面改變轉(zhuǎn)子的固有屬性,減弱了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)阻尼,降低了磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的性能及穩(wěn)定性,嚴(yán)重時會誘發(fā)與轉(zhuǎn)速無關(guān)的高頻模態(tài)振動現(xiàn)象,導(dǎo)致轉(zhuǎn)子在靜態(tài)懸浮時出現(xiàn)嘯叫甚至失穩(wěn),因此此類問題不容忽視[2]。

目前國內(nèi)外關(guān)于接觸界面及其對機(jī)械軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響已經(jīng)進(jìn)行了一定的研究。李輝光等[3]基于彈塑性理論對長方微元體表面進(jìn)行有限元接觸分析,計(jì)算表面接觸剛度的計(jì)算公式,得出了不同載荷下的法向合切向接觸剛度。易均等[4]針對拉桿柔性組合轉(zhuǎn)子系統(tǒng),通過微觀接觸界面有限元分析,得到其宏觀接觸剛度,并將接觸界面等效為無質(zhì)量連接彈簧單元,基于拉格朗日能量法,建立接觸界面附加剛度矩陣的一般形式,并分析了其對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性影響。Wang等[5]探究拉桿轉(zhuǎn)子中不平衡對考慮接觸拉桿轉(zhuǎn)子非線性動力學(xué)影響,基于達(dá)朗貝爾原理推導(dǎo)了考慮不平衡激勵、非線性油膜力和盤間非線性接觸特性的非線性運(yùn)動控制方程。雖然上述文獻(xiàn)對界面接觸建模取得了一定的成果,但是對于磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中界面接觸的引起的模態(tài)振動現(xiàn)象研究較少。

而在磁懸浮轉(zhuǎn)子彎曲模態(tài)振動抑制中,也有相關(guān)學(xué)者做了一些研究。魏彤等[6]研究了在磁懸浮控制力矩陀螺(control moment gyroscope,CMG)中轉(zhuǎn)子的一階彈性模態(tài)自激振動問題,提出了一種仿真確定陷波器(notch filter,NF)參數(shù)的方法,通過NF優(yōu)先抑制了轉(zhuǎn)子的高頻模態(tài)振動。張剴等[7]針對磁懸浮動量輪系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)模態(tài)振動,使用一種基于迭代過程的方法抑制共振,分別采用零極點(diǎn)對及μ綜合的方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),有效的抑制了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模態(tài)振動。谷會東等[8]在氦氣透平試驗(yàn)臺中采用了LQG(linear quadratic Gaussian)與相位補(bǔ)償器串聯(lián)的控制方法使轉(zhuǎn)子順利超越臨界轉(zhuǎn)速并實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)行。李紅偉等[9]在HTR-10氦氣氣輪機(jī)磁懸浮軸承系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)中,針對低剛度控制器下模態(tài)頻率容易被激發(fā)的問題,通過引入兩個相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)實(shí)現(xiàn)了對轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮并順利超越第二階撓性臨界轉(zhuǎn)速。Mushi等[10]針對壓縮機(jī)中的氣動干擾,基于柔性轉(zhuǎn)子模型設(shè)計(jì)了μ綜合控制器,實(shí)現(xiàn)了對氣動擾動的抑制及過臨界轉(zhuǎn)速運(yùn)行。Ran等[11]設(shè)計(jì)了H∞、μ綜合等魯棒控制器,有效抑制了轉(zhuǎn)子的過臨界振動,實(shí)現(xiàn)了超臨界運(yùn)行。在前文研究中,所使用的零極點(diǎn)等控制方法存在比較復(fù)雜的參數(shù)整定過程,設(shè)計(jì)難度較大。工程中常用陷波器、相位補(bǔ)償器實(shí)現(xiàn)對模態(tài)振動的抑制,但是界面接觸引起的模態(tài)振動更多的是體現(xiàn)在幅頻上面的變化,采用相位補(bǔ)償器存在較為復(fù)雜的參數(shù)整定且提供的阻尼有限,串聯(lián)陷波器會影響系統(tǒng)相位特性從會影響系統(tǒng)穩(wěn)定性[12]。而傳統(tǒng)的磁懸浮魯棒控制研究主要針對過臨界轉(zhuǎn)速工況下的研究,且所建立的柔性轉(zhuǎn)子模型均存在系統(tǒng)階數(shù)過高、難以實(shí)現(xiàn)等問題。

為了構(gòu)建出模型階數(shù)較低且可以有效抑制高頻模態(tài)振動的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)被控模型,在傳統(tǒng)磁懸浮軸承剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模的基礎(chǔ)上,基于柔性轉(zhuǎn)子模態(tài)理論重構(gòu)轉(zhuǎn)子傳遞函數(shù)模型,并基于此模型設(shè)計(jì)H∞魯棒控制器實(shí)現(xiàn)高頻模態(tài)振動抑制,試驗(yàn)表明所設(shè)計(jì)的魯棒控制器可以有效抑制界面接觸引起的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高頻模態(tài)振動。

1 動力學(xué)系統(tǒng)分析

1.1 考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

磁懸浮軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制框圖,如圖1所示。其中包含控制器、傳感器、功率放大器、磁懸浮軸承電磁力模型、考慮界面接觸的柔性轉(zhuǎn)子模型等。

圖1 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制框圖

多自由度柔性轉(zhuǎn)子有限元模型示意圖,如圖2所示。首先建立考慮界面接觸的柔性轉(zhuǎn)子模型。

圖2 轉(zhuǎn)子示意圖

本文采用有限元建模方法,基于Timoshenko梁單元模型,將轉(zhuǎn)子劃分為n-1個彈性軸段,每個軸段存在兩個節(jié)點(diǎn),每個節(jié)點(diǎn)存在四個自由度(軸向轉(zhuǎn)動與位移忽略),共有n個節(jié)點(diǎn)。同時根據(jù)臨界速度計(jì)算收斂條件,在對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行單元劃分的過程中需保證每個單元的長徑比小于1[13]。因此可以建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)q為

q=[x1,y1,α1,β1,x2,y2,α2,β2,…,xn,yn,αn,βn]

(1)

該模型的運(yùn)動微分方程可以表示為

(2)

所建立的接觸單元如圖3所示。將接觸界面單元建立為無質(zhì)量彈簧單元,其法向剛度為kf、切向剛度為kq[14],通過拉格朗日公式求得接觸剛度矩陣Ke。

圖3 接觸界面示意圖

當(dāng)A、B兩點(diǎn)發(fā)生相對位移時,對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生內(nèi)部擾動力Fcontact可以表示為

Fcontact=Keq(A,B)

(3)

式中,q(A,B)為葉輪與轉(zhuǎn)子端面之間設(shè)定的無質(zhì)量彈簧單元兩節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),可表示為

q(A,B)=(xA,yA,αA,βA,xB,yB,αB,βB)

(4)

附加接觸剛度Ke可以表示為

Ke=

(5)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以表示為狀態(tài)空間

(6)

式中:所描述的系統(tǒng)存在n個節(jié)點(diǎn),4n個自由度,8n個狀態(tài)變量。本文所建立磁懸浮軸承系統(tǒng)主要包含兩個徑向磁懸浮軸承,因此存在4個控制輸入,4個位移輸出,所建立的內(nèi)部擾動力Fcontact主要由轉(zhuǎn)子與葉輪端面接觸界面產(chǎn)生,其存在8個內(nèi)部擾動輸入。

1.2 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)特性分析

由前文可知,相較于傳統(tǒng)的磁懸浮柔性轉(zhuǎn)子建模,考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要是引入了接觸界面帶來的接觸剛度。由于接觸剛度的存在使得接觸面兩節(jié)點(diǎn)間位移產(chǎn)生了內(nèi)在的擾動力改變轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特征和運(yùn)動特征,削弱了轉(zhuǎn)子模態(tài)阻尼,影響了轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性。轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)如圖4所示。考慮接觸界面的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主要參數(shù),如表1所示。

表1 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)

圖4 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖

轉(zhuǎn)子芯軸采用GH4169高溫合金材料,傳感器檢測環(huán)采用黃銅材料,轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。表1主要體現(xiàn)了當(dāng)前轉(zhuǎn)子建模參數(shù),將轉(zhuǎn)子分成64個節(jié)點(diǎn),其中包含集中質(zhì)量點(diǎn)及基于Timoshenko梁單元建立彈性軸段。組裝整體質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣,編寫有限元程序,求解各階彎曲模態(tài)頻率及歸一化振型,計(jì)算結(jié)果如表3及圖5所示。

表2 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)

表3 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)頻率

圖5 轉(zhuǎn)子振型圖

一般工作轉(zhuǎn)速在一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速附近或超過臨界轉(zhuǎn)速工況下或出現(xiàn)高頻模態(tài)振動時,轉(zhuǎn)子會被視為柔性轉(zhuǎn)子。模態(tài)頻率為整個頻域較為脆弱的點(diǎn),一般模態(tài)頻率處模態(tài)阻尼較小,如果出現(xiàn)與模態(tài)頻率同頻的擾動極容易造成轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn),甚至某些模態(tài)頻率本身就不穩(wěn)定,因此需要分析磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并針對系統(tǒng)的頻響特性進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

1.3 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)機(jī)電一體化建模

在基于Simulink的考慮界面接觸磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動位移仿真中首先需建立磁懸浮軸承系統(tǒng)機(jī)電一體化模型(見圖1)。其主要包括轉(zhuǎn)子模型、控制器模型、磁懸浮軸承電磁力模型、功率放大器模型、位移傳感器模型。

(1) 轉(zhuǎn)子模型

轉(zhuǎn)子模型采用前文建立的轉(zhuǎn)子有限元模型,其表達(dá)形式見式(6)。由于本文仿真主要以靜態(tài)懸浮為主,因此可以忽略轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)。

(2) 電磁力模型

磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)如圖6所示,其采用差動工作方式,轉(zhuǎn)子在一個自由度上受到兩個方向相反的電磁力作用。

圖6 電磁力示意圖

線圈電流為偏置電流i0和控制電流ix之和。在檢測轉(zhuǎn)子的實(shí)時位置后控制系統(tǒng)通過一定的控制算法,調(diào)節(jié)控制電流,實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子位置的反饋控制。因此轉(zhuǎn)子在一個方向上的受力為

(7)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率;Az為電磁鐵的磁極面積;Nd為線圈匝數(shù);x0為平衡位置處的氣隙;xz為轉(zhuǎn)子相對于平衡位置的位移。將式(7)在xz=0和ix=0處泰勒展開并忽略高階項(xiàng)得到線性關(guān)系式為

F=kxxz+kiix

(8)

其中:

(9)

(3) 控制器模型

控制器模型在試驗(yàn)與仿真中均采用不完全微分形式的PID,其傳遞函數(shù)如下

(10)

式中:kP=5;kI=100;kD=0.004;N=10 000。

(4) 功率放大器模型

功率放大器是將控制電壓轉(zhuǎn)化為控制電流的關(guān)鍵器件。其驅(qū)動電磁線圈產(chǎn)生電磁控制力實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的控制。本文采用的為開關(guān)功率放大器,其主要由濾波電路、PI電流跟蹤電路、PWM調(diào)制電路以及單相逆變電路構(gòu)成。由于轉(zhuǎn)子懸浮時主要工作在線性區(qū),因此可以將其建立為線性模型

Ga=0.34 A/V

(11)

(5) 傳感器模型

在磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中,主要采用電渦流傳感器實(shí)時監(jiān)測轉(zhuǎn)子的位置完成閉環(huán)反饋控制。由于傳感器檢測帶寬遠(yuǎn)高于轉(zhuǎn)子前幾階模態(tài)頻率,可以將傳感器傳遞函數(shù)建模為比例環(huán)節(jié),傳感器檢測位置-0.125 mm到0.125 mm對應(yīng)的輸出電壓為0～5 V,所以對應(yīng)的傳感器傳遞函數(shù)為

Gs=20 000 V/m

(12)

1.4 考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析

考慮界面接觸及未考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的根軌跡圖如圖7和圖8所示。

圖7 考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)根軌跡圖

圖8 未考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)根軌跡圖

由圖7、圖8可知,考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)根軌跡圖中存在右半平面極點(diǎn)造成了系統(tǒng)的不穩(wěn)定,而不考慮接觸界面的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)則不存在右半平面極點(diǎn),通過對極點(diǎn)的分析可知接觸剛度的引入導(dǎo)致轉(zhuǎn)子四階彎曲模態(tài)阻尼的下降,導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的不穩(wěn)定,傳統(tǒng)的PID控制策略對此類高頻模態(tài)振動抑制能力有限。

通過Simulink搭建考慮界面接觸磁懸浮軸承機(jī)電一體化模型并進(jìn)行靜態(tài)懸浮仿真,分析其時域響應(yīng)及頻響,結(jié)果如圖9和圖10所示。

圖9 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時域響應(yīng)

圖10 考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻響分析

由圖9、圖10可知,考慮界面基礎(chǔ)的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在靜態(tài)懸浮過程中出現(xiàn)了高頻振動現(xiàn)象,通過對時域信號進(jìn)行快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)分析可知失穩(wěn)頻率為826 Hz,為轉(zhuǎn)子的四階彎曲頻率。而未考慮接觸界面的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)行,并無模態(tài)振動現(xiàn)象。綜上所述可以發(fā)現(xiàn),接觸界面引起的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動頻率為轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率,由于轉(zhuǎn)子的模態(tài)阻尼較低導(dǎo)致的模態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象為系統(tǒng)的固有屬性,與外界干擾無關(guān)。傳統(tǒng)的PID控制算法對系統(tǒng)的阻尼作用主要通過增加微分系數(shù)kD來抑制振動,而kD系數(shù)的增大會放大高頻振動,因此對于高頻振動的抑制效果有限,為了解決上述問題,常用串聯(lián)陷波器、相位補(bǔ)償器等方法抑制高頻模態(tài)振動。此外,基于柔性轉(zhuǎn)子模型所設(shè)計(jì)魯棒控制器由于在過一階彎曲臨界轉(zhuǎn)速工況中能有效抑制轉(zhuǎn)子模態(tài)振動且能有效提高系統(tǒng)對不確定性擾動的抑制效果已經(jīng)得到了廣泛研究?？紤]到前文所述試驗(yàn)臺中磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)自激振動頻率主要為高階彎曲模態(tài)的特性,本文基于重構(gòu)廣義被控對象,設(shè)計(jì)H∞魯棒控制器實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子高頻模態(tài)振動抑制。

2 控制器設(shè)計(jì)與仿真

2.1 魯棒控制器理論

魯棒控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)一般如圖11(a)所示。P(s)一般為增廣被控對象,F(s)為控制器模型,從輸入信號u1(t)到輸出信號y1(t)的傳遞函數(shù)可以表示為Ty1u1(t)。小增益定理是評價線性控制系統(tǒng)不確定性的理論方法,原理如圖11(b)所示。M(s)為已知的線性控制系統(tǒng),Δ(s)為一未知增益函數(shù)。

(a)

當(dāng)且僅當(dāng)小增益條件

(13)

滿足時,所示系統(tǒng)對所有穩(wěn)定的Δ(s)都是良定且內(nèi)部穩(wěn)定的,即引入該系統(tǒng)的外界擾動信號將隨著在環(huán)路中的循環(huán)而逐漸減小。

對于線性控制系統(tǒng),常采用以下方程表達(dá)控制對象的模型

(14)

其相應(yīng)的增廣狀態(tài)方程描述為

(15)

其由外部輸入u1(t)到外部輸出y1(t)的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成

Ty1u1(s)=P11+P12[I-F(s)P22(s)]-1F(s)P21(s)

(16)

而標(biāo)準(zhǔn)的H∞控制問題可以轉(zhuǎn)化為設(shè)計(jì)鎮(zhèn)定控制器F(s)使

(17)

混合靈敏度問題是H∞控制的經(jīng)典問題,為了保證系統(tǒng)的魯棒性和提高系統(tǒng)的跟蹤性能通常都是將設(shè)計(jì)模型轉(zhuǎn)化為一般混合靈敏度問題進(jìn)行求解,其加權(quán)控制結(jié)構(gòu)如圖12所示。

圖12 混合靈敏度控制框圖

圖12中rec、e、u、d、y和z別為參考信號、偏差信號、控制信號、干擾信號、輸出信號、觀測信號。W1、W3分別為系統(tǒng)的靈敏度、補(bǔ)靈敏度加權(quán)函數(shù)、W2加性不確定性而引入系統(tǒng)的加權(quán)函數(shù),其中rec到z的傳遞函數(shù)分別為W1S、W2R、W3T,據(jù)小增益定理,系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的充分條件是

(18)

可得其增廣模型表達(dá)為

(19)

定義系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S(s)、補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)以及R(s)分別為

(20)

(21)

(22)

S(s)既是擾動d到輸出y及參考信號rec到偏差信號e的閉環(huán)傳遞函數(shù),體現(xiàn)出控制系統(tǒng)的抗干擾能力。T(s)為參考信號rec到輸出y的閉環(huán)傳遞函數(shù),體現(xiàn)出輸出y對參考輸入rec的復(fù)現(xiàn)能力,同時T(s)表現(xiàn)出對乘性不確定性產(chǎn)生干擾的抗干擾能力。由于S(s)+T(s)=I的限制,導(dǎo)致不能使靈敏度傳遞函數(shù)和補(bǔ)靈敏度傳遞函數(shù)的增益同時變小,為保證系統(tǒng)的抗干擾能力,需要借助權(quán)函數(shù)W1和W3對S(s)和T(s)的頻域進(jìn)行整形。

一般磁懸浮軸承系統(tǒng)的干擾主要為低頻干擾信號,而系統(tǒng)的乘性不確定性引起的主要為高頻干擾信號,因此靈敏度函數(shù)僅需在低頻保持較低的增益而補(bǔ)靈敏度函數(shù)需要保持高頻處的低增益。同時根據(jù)魯棒控制的基本定理W1和W3需滿足以下公式

(23)

(24)

因此要求W1在低頻處增益較高,并具備低通特性,W3在高頻處增益較高,因此具備高通特性。同時需要保證W1的截至頻率要充分低于W3的截止頻率,否則可能引發(fā)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。

W2是對R(s)的權(quán)函數(shù),引入W2不僅可以避免式(15)中D12矩陣成為奇異矩陣導(dǎo)致控制器無解,而且R(s)為參考輸入rec到控制信號u的閉環(huán)傳遞函數(shù),因此合理選擇W2的大小可以限制控制量u的大小,防止控制系統(tǒng)在實(shí)際工作中出現(xiàn)嚴(yán)重的控制電壓飽和現(xiàn)象。

2.2 被控對象建模

由上文可知,在考慮接觸界面的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在高頻模態(tài)振動,為了后續(xù)控制器的設(shè)計(jì),需要建立被控對象模型P(s)。被控對象直接影響了后續(xù)設(shè)計(jì)控制器的控制效果。傳統(tǒng)的磁懸浮魯棒控制器被控對象主要分為剛性轉(zhuǎn)子模型和柔性轉(zhuǎn)子模型。

基于剛性轉(zhuǎn)子模型設(shè)計(jì)的魯棒控制器雖然能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定懸浮,但是由于剛性轉(zhuǎn)子模型無法體現(xiàn)轉(zhuǎn)子的模態(tài)信息,對于考慮接觸界面的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在高頻模態(tài)振動現(xiàn)象無法在系統(tǒng)中得以體現(xiàn),因此所設(shè)計(jì)控制器不具備控制模態(tài)振動的能力。

基于柔性轉(zhuǎn)子模型設(shè)計(jì)的魯棒控制器,可以有效的控制彎曲模態(tài)振動,在轉(zhuǎn)子過臨界轉(zhuǎn)速控制中得到了較多的研究。但隨著所構(gòu)建的柔性轉(zhuǎn)子模型的模態(tài)階數(shù)的增加,所設(shè)計(jì)的控制器的階數(shù)會同步增加。上文所研究系統(tǒng)模態(tài)振動頻率為轉(zhuǎn)子的四階模態(tài)頻率,基于此模型設(shè)計(jì)的控制器模型可達(dá)二十多階,大大增加了控制硬件的運(yùn)算量,甚至難以實(shí)現(xiàn)實(shí)時運(yùn)算。因此需要設(shè)計(jì)一種能夠表現(xiàn)轉(zhuǎn)子模態(tài)特性的低階轉(zhuǎn)子模型。

主動磁懸浮軸承系統(tǒng)如圖13所示。剛性轉(zhuǎn)子主要包括6個自由度:x、y、z方向的平移以及繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動。繞z軸的轉(zhuǎn)動由電機(jī)控制,因此磁懸浮軸承只需要控制其他五個自由度[15]。

圖13 磁懸浮系統(tǒng)示意圖

轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為m,質(zhì)心處的位移為xc、yc、zc。磁懸浮軸承1到轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離為la,磁懸浮軸承2到轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離為lb。傳感器1到轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離為lsa,傳感器2到轉(zhuǎn)子質(zhì)心的距離為lsb。根據(jù)動量定理和動量矩定理可以得到以下的轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程

(25)

將方程組聯(lián)立

(26)

式中:Mr為質(zhì)量矩陣;Gr為陀螺力矩矩陣;Ar為系數(shù)矩陣。

(27)

(28)

(29)

質(zhì)心位移向量:XC=[xcyczcθxθy]T;

電磁力向量:Fz=[FxaFxbFyaFybFzc]T;

由于試驗(yàn)中檢測的是傳感器處的位移且傳感器與磁懸浮軸承位置不重合因此需要相應(yīng)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

(30)

其中磁懸浮軸承處位移向量:

XL=[xaxbyaybzc]T

傳感器處位移向量:

XS=[xsaxsbysaysbzsc]T

控制電流向量:

μ=[ixaixbiyaiybizc]T

位移剛度矩陣:

Kx=diag[KxKxKyKyKz]

電流剛度矩陣:

Ki=diag[KixKixKiyKiyKiz]

轉(zhuǎn)換矩陣:

(31)

(32)

則,式(26)變?yōu)?/p>

(33)

將質(zhì)心位移轉(zhuǎn)化為磁懸浮軸承處位移

(MrTL)-1AKxXL+(MrTL)-1AKiμ

(34)

將傳感器處的轉(zhuǎn)子位移作為測量輸出量,將磁懸浮軸承處位移作為狀態(tài)向量,可得本文五自由度磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

(35)

控制向量:U=μ

輸出向量:Y=XS

系數(shù)矩陣:

(36)

建立磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具體數(shù)學(xué)模型,需要有關(guān)系統(tǒng)的具體參數(shù)見表2。

將表2數(shù)據(jù)代入到方程中,可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間,考慮到本轉(zhuǎn)子徑向轉(zhuǎn)動慣量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軸向轉(zhuǎn)動慣量,因此忽略轉(zhuǎn)子的陀螺效應(yīng),得到五自由度解耦的傳遞函數(shù)。將系統(tǒng)狀態(tài)空間方程式(35)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)為

G(s)=C(sI-A)-1B

(37)

由此可得其中一個自由度的傳遞函數(shù)為

(38)

可以得到等效的傳遞函數(shù)框如圖14所示。

圖14 等效傳遞函數(shù)框圖

由傳統(tǒng)轉(zhuǎn)子動力學(xué)可知,柔性轉(zhuǎn)子的高階傳遞函數(shù)可以被簡化為剛體模態(tài)與彎曲模態(tài)的疊加[16]

(39)

式中:Grr(s)為轉(zhuǎn)子的剛體模態(tài);Gi(s)為轉(zhuǎn)子的彎曲模態(tài)。不考慮約束時,剛體模態(tài)頻率為0,因此剛體模態(tài)的傳遞函數(shù)可以表示為

(40)

轉(zhuǎn)子的彎曲模態(tài)可以表示為

(41)

式中:mg為剛體模態(tài)質(zhì)量;mi、di、ωi和ti分別為轉(zhuǎn)子的彎曲模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼、模態(tài)頻率和振型。

由上文可知,考慮接觸界面的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要在四階彎曲頻率失穩(wěn),為了保證被控對象傳遞函數(shù)階數(shù)最低,同時表達(dá)出磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)振動的特性,重新構(gòu)造轉(zhuǎn)子被控模型,因此傳遞函數(shù)表達(dá)式可以表達(dá)為等效剛體模態(tài)與四階彎曲模態(tài)的疊加

(42)

將被控對象模型代入圖14中可得傳遞函數(shù)

P(s)=

(43)

為了驗(yàn)證所建立被控對象傳遞傳遞函數(shù)的擬合特性,將其頻響與磁懸浮軸承系統(tǒng)掃頻頻響曲線進(jìn)行對比,掃頻試驗(yàn)示意圖如圖15所示。

圖15 掃頻示意圖

節(jié)點(diǎn)1為掃頻激勵輸入點(diǎn),在轉(zhuǎn)子靜浮時輸入頻率不斷上升的正弦激勵。節(jié)點(diǎn)2為傳感器信號檢測節(jié)點(diǎn),在激勵信號施加后需采集傳感器的響應(yīng)信息。通過對輸入輸出信號的處理可得節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2之間的開環(huán)傳遞函數(shù)的頻響特性,但是由于此開環(huán)傳遞函數(shù)包括功率放大器及傳感器模型,通過前文所建立的上述兩者模型,對頻響曲線進(jìn)一步處理,即可得到所需的被控對象模型。所設(shè)計(jì)被控系統(tǒng)頻響曲線如圖16所示。

圖16 被控系統(tǒng)頻響曲線

從圖16可知,試驗(yàn)掃頻曲線在約800 Hz處幅頻有較大凸起,頻率為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的四階彎曲頻率,所建立的轉(zhuǎn)子動力學(xué)傳遞函數(shù)能夠表現(xiàn)磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在四階彎曲頻率處的頻響特性。

2.3 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)上文所敘述的加權(quán)函數(shù)原則進(jìn)行設(shè)計(jì),通過試驗(yàn)調(diào)整可得加權(quán)函數(shù)如下

(44)

W2=2.5×10-7

(45)

(46)

將加權(quán)函數(shù)W1、W2、W3代入混合靈敏度程序框圖,可得廣義控制模型P(s),通過MATLAB中的hinflmi命令求出所需要的控制器。其命令形式為

(47)

(48)

式中:

a1=22.67,a2=1.987×104,a3=5.738×108,

a4=5.017×1011,a5=3.83×1013,a6=6.529×1014;

b1=1,b2=1.047×104,b3=3.206×107,

b4=1.33×1011,b5=3.97×1012,b6=1.889×1012。

所設(shè)計(jì)控制器根軌跡圖如圖17所示。

圖17 控制器根軌跡圖

由圖17可知,存在零點(diǎn)-75+5.06×103i,能夠抵消考慮界面接觸的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定模態(tài)極點(diǎn)來穩(wěn)定整體系統(tǒng)。

同時根據(jù)上述權(quán)函數(shù)選擇原則,判斷所設(shè)計(jì)控制器是否滿足要求,如圖18、圖19所示。

圖18 S(s)和奇異值曲線

圖19 T(s)和奇異值曲線

圖18為靈敏度函數(shù)S(s)及W1(s)加權(quán)函數(shù)倒數(shù)的奇異值曲線,可以看出滿足式(23)的關(guān)系式。并且在低頻段,靈敏度函數(shù)S(s)的增益較小,可以保證控制器對低頻擾動的抑制能力。

圖19為補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)及W3(s)加權(quán)函數(shù)倒數(shù)的奇異值曲線,從圖19可知,滿足式(24)的關(guān)系式。并且在高頻段,補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)的增益較小,可以保證控制器對系統(tǒng)不確定性引起高頻擾動的抑制能力。最終求得的控制器頻率特性如圖20所示。

圖20 控制器頻響特性

由圖20可知,在低頻段H∞控制器具有明顯的積分效應(yīng),在中頻段可以實(shí)現(xiàn)類似于PD控制器的頻響特性,在四階彎曲模態(tài)頻率處,產(chǎn)生類似于帶阻濾波器的頻響特性來抑制磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的彎曲模態(tài)振動。

為了觀測所設(shè)計(jì)H∞控制器在四階彎曲模態(tài)處是否提供了外部支撐阻尼以抑制此類模態(tài)振動,畫出此系統(tǒng)的動態(tài)柔度頻響曲線,如圖21所示。

圖21 閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)柔度

由圖21可知,在四階彎曲模態(tài)頻率處閉環(huán)系統(tǒng)增益有所降低,證明控制器在此處提供了一定的額外阻尼,提高了磁懸浮軸承對轉(zhuǎn)子第四階彎曲模態(tài)振動的抑制能力。

磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)閉環(huán)單位階躍響應(yīng)如圖22所示。

圖22 控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)

由圖22可知,在0.06 s之內(nèi)就可以實(shí)現(xiàn)對階躍信號的跟蹤,穩(wěn)態(tài)誤差很小,可以實(shí)現(xiàn)較好的控制效果。

3 試 驗(yàn)

將上文所設(shè)計(jì)H∞魯棒控制器在磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證,將金屬圓盤通過螺栓連接在轉(zhuǎn)子端面模擬葉輪與轉(zhuǎn)子的接觸工況,驗(yàn)證在不同預(yù)緊力矩下的魯棒控制器控制效果,具體連接形式如圖23所示。

圖23 螺栓連接界面圖

圖23為磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的局部接觸界面圖,其中1為轉(zhuǎn)子端部,2為模擬葉輪的接觸盤,其通過螺栓3與轉(zhuǎn)子端面緊貼,接觸狀態(tài)通過螺栓的預(yù)緊力矩及圓盤接觸面面積進(jìn)行區(qū)分。

圖24為試驗(yàn)布置圖,通過dSPACE控制功放控制箱控制磁懸浮軸承實(shí)現(xiàn)對轉(zhuǎn)子的控制。

首先驗(yàn)證PID控制器的控制效果,對不加接觸盤的轉(zhuǎn)子進(jìn)行起浮試驗(yàn),如圖25和圖26所示。

圖25 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)懸浮時域圖

圖26 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)懸浮位移快速傅里葉變換

由圖25、圖26可知,其控制效果正常,能夠?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。對位移數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT分析可知,四階彎曲頻率處無較大幅值,此時轉(zhuǎn)子系統(tǒng)四階彎曲模態(tài)可以保持穩(wěn)定。

其次驗(yàn)證PID控制器對加接觸盤的轉(zhuǎn)子的控制效果,如圖27和圖28所示。

圖27 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動位移

圖28 磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)快速傅里葉變換

由圖27、圖28可知,在PID控制下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。通過FFT分析,在四階彎曲頻率處有較大幅值。當(dāng)使用所設(shè)計(jì)的魯棒控制器時,從時域圖可知,實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定的懸浮。通過對信號進(jìn)行FFT分析,四階彎曲模態(tài)得到了有效控制,振動位移抑制效果達(dá)到90%以上。

魯棒控制器在不同工況下對模態(tài)振動抑制效果如圖29、圖30所示。

圖29 扭矩為0.5 N·m時的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動位移

圖30 扭矩為1 N·m時的磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動位移

從圖29、圖30可知,分別選取了不同接觸半徑的圓盤以不同預(yù)緊力矩?cái)Q緊,在0.5 N·m與1 N·m預(yù)緊力矩下的分別采用接觸面直徑為10 mm、12 mm、14 mm、16 mm的工況下,魯棒控制器的模態(tài)振動抑制效果。在不同工況下均能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的懸浮且振幅差距較小,達(dá)到了預(yù)期的控制控制目標(biāo)。

4 結(jié) 論

(1) 為解決磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中接觸界面引起的轉(zhuǎn)子高頻振動現(xiàn)象,設(shè)計(jì)了H∞魯棒控制器對模態(tài)振動進(jìn)行抑制。當(dāng)存在接觸界面時,附加剛度的存在會改變系統(tǒng)的固有屬性,減弱了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)阻尼,導(dǎo)致磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生四階彎曲頻率的高頻模態(tài)振動。

(2) 為了對轉(zhuǎn)子的模態(tài)振動進(jìn)行抑制,需建立的被控模型體現(xiàn)轉(zhuǎn)子的頻響特征,傳統(tǒng)的剛性轉(zhuǎn)子模型無法體現(xiàn)轉(zhuǎn)子的模態(tài)振動特性,因此對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行掃頻,得到其頻響特性,通過傳統(tǒng)的柔性轉(zhuǎn)子傳遞函數(shù)模型,對其進(jìn)行擬合,并對此模型進(jìn)行魯棒控制器設(shè)計(jì)。

(3) 相較于傳統(tǒng)的PID控制,基于柔性轉(zhuǎn)子模型的魯棒控制器,可以充分考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性,針對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的弱阻尼模態(tài)頻率,抑制磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中四階彎曲模態(tài)頻率信號的傳遞,有效的抑制磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的高頻模態(tài)振動,振動抑制效果達(dá)90%以上。