孟 茜 ,萬(wàn)仁霞,3* ,苗奪謙 ,趙公杰

（1.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川，750021；2.同濟(jì)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，上海，201804；3.寧夏智能信息與大數(shù)據(jù)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，銀川，750021）

形式概念分析［1］（Formal Concept Analysis，F(xiàn)CA）是1982 年德國(guó)學(xué)者Wille 提出的一種有效的知識(shí)表示與知識(shí)發(fā)現(xiàn)的工具，具有層次性和可視化的特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于知識(shí)工程、機(jī)器學(xué)習(xí)、信息檢索、數(shù)據(jù)挖掘和語(yǔ)義Web 等多個(gè)領(lǐng)域［2-5］.在多學(xué)科多理論交叉融合的研究趨勢(shì)下，形式概念分析與其他相關(guān)理論的交叉和互補(bǔ)研究使其進(jìn)一步蓬勃發(fā)展，特別是與粗糙集、模糊集、三支決策理論的結(jié)合，有效地拓寬了形式概念分析的應(yīng)用領(lǐng)域.Qi et al［6］基于三支決策理論與經(jīng)典概念分析提出三支概念分析理論（Three-way Concept Analysis，3WCA），將形式概念二支表達(dá)拓寬為三支表達(dá).三支概念一經(jīng)提出便引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注［7-10］.龍柄翰和徐偉華［11］將三支概念分析融入模糊集合論，提出模糊三支概念分析與模糊三支概念格，對(duì)標(biāo)處理模糊不確定信息，從而實(shí)現(xiàn)不確定對(duì)象的有效識(shí)別和分類.然而，三支概念理論及其推廣理論可以處理“非此即彼”的布爾數(shù)據(jù)，又或是“亦此亦彼”的模糊數(shù)據(jù)，但對(duì)于“范圍已知，內(nèi)部未知”的灰色區(qū)間數(shù)據(jù)的處理卻涉及較少，因此本文考慮將灰色系統(tǒng)理論中處理灰色區(qū)間信息的方法引入三支概念，以拓展三支概念分析研究的理論背景.

灰色系統(tǒng)理論［12-14］最早由我國(guó)數(shù)學(xué)家鄧聚龍?zhí)岢觯渲饕碚摪ɑ疑^念、灰色預(yù)測(cè)、灰色決策和灰色數(shù)學(xué)等，其中灰色數(shù)學(xué)是其核心理論之一.在灰色數(shù)學(xué)中，灰數(shù)是指“某個(gè)只知道大概范圍而不知道確切值的數(shù)”，在此基礎(chǔ)上，王清印［15］分析并結(jié)合模糊集合的表示方法，基于灰數(shù)的概念給出灰集合與灰數(shù)的描象描述.2005 年Yamaguchi et al［16］將粗糙集理論與灰色數(shù)學(xué)理論相結(jié)合，提出基于灰格的分類提取與約簡(jiǎn)的決策規(guī)則，并定義了灰數(shù)運(yùn)算.隨后，Yamaguchi et al［17］針對(duì)包含區(qū)間數(shù)據(jù)的信息系統(tǒng)，提出了一種基于灰色系統(tǒng)理論的粗糙集模型.2009 年Wu and Liu［18］在概念格約簡(jiǎn)的灰色粗集方法中將基于灰數(shù)包含關(guān)系的灰色粗糙集模型融入到經(jīng)典形式概念分析中，提出了一種基于灰色粗糙集理論的區(qū)間數(shù)據(jù)形式概念分析方法，將灰色這一概念融入到形式概念分析中.

一方面，由于現(xiàn)實(shí)生活中的信息表示的復(fù)雜性、不確定性和不精確性等因素，許多觀測(cè)值常以區(qū)間數(shù)據(jù)的形式存在，如電流、電壓等，而灰色數(shù)學(xué)理論為這些區(qū)間數(shù)據(jù)的處理提供了理論基礎(chǔ)；另一方面，三支概念分析突破了經(jīng)典形式概念中只能表示“共同擁有”的特點(diǎn)，可以同時(shí)表示“共同擁有”和“共同不擁有”兩個(gè)部分，基于三支決策的思想，通過(guò)全域、正域和負(fù)域的相關(guān)運(yùn)算表達(dá)出邊界域，使三支概念分析較經(jīng)典形式概念分析更具有優(yōu)越性.因此，本文考慮將灰色數(shù)學(xué)與三支概念分析相結(jié)合，基于包含區(qū)間值的灰色形式背景提出灰色三支概念，并為解決區(qū)間數(shù)據(jù)的建格問(wèn)題提供一種可行性方案，拓寬三支概念分析研究的理論支持及實(shí)際應(yīng)用范圍.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 三支概念分析用P(·)表示集合的冪集，用DP(·)表示P(·)×P(·).

定義1［6］一個(gè)形式背景K=(U，V，I)由兩個(gè)集合U和V以及U和V之間的關(guān)系I組成，其中U為對(duì)象集，V為屬性集.若(x，a)∈I（也寫(xiě)作xIa），則表示對(duì)象x具有屬性a或?qū)ο髕擁有屬性a.

對(duì)于X?U和A?V，定義兩對(duì)對(duì)偶算子分別如下：

正算子*：P(U)到P(V)上的映射和P(V)到P(U)的映射被定義為：

負(fù)算子*ˉ：P(U)到P(V)上的映射和P(V)到P(U)的映射被定義為：

其中，Ic=(U×V)-I.

結(jié)合正算子*和負(fù)算子*ˉ，可以得到以下兩對(duì)三支算子.

定義2［6］給定一個(gè)形式背景K=(U，V，I)，對(duì)于X，Y?U和A?V，一對(duì)由屬性誘導(dǎo)的三支算子，?∶P(V)到DP(U)的映射及?∶DP(U)到P(V)的映射定義為：

它們簡(jiǎn)稱為AE算子.

定義3［6］給定一個(gè)形式背景K=(U，V，I)，對(duì)于X?U和A，B?V，一對(duì)由對(duì)象誘導(dǎo)的三支算子，?∶P(U)到DP(V)的映射及?∶DP(V)到P(U)的映射定義為：

它們簡(jiǎn)稱為OE算子.

定義4［6］給定一個(gè)形式背景K=(U，V，I)，對(duì)于X，Y?U和A?V，若有A?=(X，Y)且(X，Y)?=A，則稱((X，Y)，A)為屬性導(dǎo)出三支概念，簡(jiǎn)稱AE概念.其中，(X，Y)為AE概念((X，Y)，A)的外延，A為AE概念((X，Y)，A)的內(nèi)涵.

設(shè)((X，Y)，A)和((Z，W)，B)是AE概念，它們的偏序關(guān)系定義如下：

若((X，Y)，A)≤((Z，W)，B)，則((X，Y)，A)稱為((Z，W)，B)的亞概念，同時(shí)((Z，W)，B)稱為((X，Y)，A)的超概念.

所有AE概念組成的集合記為AEL(U，V，I)，稱為屬性導(dǎo)出三支概念格，簡(jiǎn)稱為AE概念格.對(duì)于AE概念格，有以下結(jié)論.

定理1［6］一個(gè)形式背景K=(U，V，I)的AE概念格AEL(U，V，I)是一個(gè)完備格，對(duì)于任意的((X，Y)，A)，((Z，W)，B)∈AEL(U，V，I)，其上確界和下確界分別為：

其中，∨和∧分別表示上確界和下確界符號(hào)，也經(jīng)常稱為并和交.

類似地，也可以定義對(duì)象導(dǎo)出三支概念（OE概念）.

定義5［6］給定一個(gè)形式背景K=(U，V，I)，對(duì)于X?U和A，B?V，若有X?=(A，B)且(A，B)?=X，則稱(X，(A，B))為對(duì)象導(dǎo)出三支概念，簡(jiǎn)稱OE概念.其中，X為OE概念(X，(A，B))的外延，(A，B)為OE概念(X，(A，B))的內(nèi)涵.

設(shè)(X，(A，B))和(Y，(C，D))是OE概念，它們的偏序關(guān)系定義如下：

若 (X，(A，B))≤(Y，(C，D))，(X，(A，B))稱為(Y，(C，D))的亞概念，同時(shí)(Y，(C，D))稱為(X，(A，B))的超概念.

由所有OE概念組成的集合記為OEL(U，V，I)，稱為對(duì)象導(dǎo)出三支概念格，簡(jiǎn)稱OE概念格.對(duì)于OE概念格，有以下結(jié)論.

定理2［6］一個(gè)形式背景K=(U，V，I)的OE概念格OEL(U，V，I)是一個(gè)完備格，對(duì)于任意的(X，(A，B))，(Y，(C，D))∈OEL(U，V，I)，其上確界和下確界分別為：

1.2 灰數(shù)

定義6［17］G是論域U上的灰集合，由上隸屬度函數(shù)(x)和下隸屬度函數(shù)(x)兩個(gè)映射共同定義，如下：

定義10［17］對(duì)?x，y∈R，則其對(duì)應(yīng)的灰數(shù)為?x和?y，灰數(shù)的基本運(yùn)算定義如下：

（1）并運(yùn)算

（3）補(bǔ)運(yùn)算

定義11［19］灰度設(shè)灰數(shù)?x產(chǎn)生的背景或論域?yàn)棣?，??x)為灰數(shù)?x取數(shù)域的測(cè)度，則：

稱g°(?x)為灰數(shù)?x的灰度.

2 基于灰色形式背景的三支概念分析

本節(jié)將灰數(shù)理論與三支概念分析結(jié)合，在灰色形式背景下構(gòu)造灰色三支概念格，用來(lái)處理灰色區(qū)間數(shù)據(jù).

以下用G(·)表示灰集合的冪集，用DG(·)表示G(·)×G(·).

定義12稱=(U，V，)為一個(gè)灰色形式背景，其中U為所有對(duì)象的集合，V為所有屬性的集合，是定義在U×V上的灰集合，對(duì)于?(x，a)∈U×V，有(x，a).其中，

注本文中(x，a)表示對(duì)象x在a屬性上的值的上隸屬度和下隸屬度，即屬性a在對(duì)象x上可能存在值的最小值和最大值；(X，a)表示對(duì)象子集X在屬性a上的共同可能存在值的最小值和最大值；(x，A)表示屬性子集A在對(duì)象x上共同可能存在值的最小值和最大值；表示(x，a)的灰度，即(x，a)的未知程度；灰數(shù)?s則表示某對(duì)象在某屬性上的值的合格灰色區(qū)間.

基于灰色形式背景，定義正、負(fù)灰色算子如下.

定義13給定一個(gè)灰色形式背景=(U，V，)以及灰數(shù)?s，X?U，A?V，γ(X)和γ(A)分別為X與A上的灰度組成的集合，則灰色正算子?*：G(U)到G(V)上的映射和G(V)到G(U)的映射定義為：

它們稱為灰色AE算子.

定義15給定一個(gè)灰色形式背景=(U，V，)，對(duì)于X?U和A，B?V，一對(duì)由對(duì)象誘導(dǎo)的三支算子，?∶G(U)到DG(V)的映射及?∶DG(V)到G(U)的映射定義為：

它們稱為灰色OE算子.

下面為灰色AE概念和灰色OE概念的定義.

定義16給定一個(gè)灰色形式背景=(U，V，)以及灰數(shù)?s，X，Y?U，A?V，記：

若X?=(γ(A),γ(B))，且(γ(A),γ(B))?=X.則稱(X，(γ(A)，γ(B)))為對(duì)象導(dǎo)出灰色三支概念，簡(jiǎn)稱GYOE概念.其中，X叫作GYOE概念的外延，(γ(A)，γ(B))叫作GYOE概念的內(nèi)涵.

命題1給定一個(gè)灰色形式背景=(U，V，)以及灰數(shù)?s，X，X1，X2，X3，X4?U為對(duì)象子集，A，A1，A2，A3，A4?V為屬性子集，則下列結(jié)論成立：

同理可證X?X??.

（3）由命題（2）可知A??A???，再由命題（1）知A?A??，得A????A?，故A?=A???得證.

同理可證X?=X???.

（4）因?yàn)橛校?/p>

由命題（1）得：

因此，

同理可證：

故證得：

同理可證：

由命題（1）得：

故命題（5）得證.

同理可證：

（6）令(γ(X1)，γ(X2))=A?，由命題（2）可知A??A???.

又因?yàn)椋?/p>

命題（6）可證.

同理可證：

（7）由命題（6）可知：

再由命題（5）可知：

可證.

同理可證：

由命題（4）知：

同理可證：

定義18設(shè)=(U，V，)為灰色形式背景，AEGL(U，V，) 表示由灰色形式背景=(U，V，)生成的所有GYAE概念的集合.

對(duì)任意：

定義其偏序關(guān)系如下：

定理3設(shè)=(U，V，)為灰色形式背景，AEGL(U，V，) 表示由灰色形式背景=(U，V，) 生成的所有GYAE概念的集合，則AEGL(U，V，在偏序關(guān)系≤下是一個(gè)完備格，稱灰色AE概念格，簡(jiǎn)稱GYAE概念格.

對(duì)任意：

其下確界和上確界分別為：

證明由于上確界與下確界證明類似，這里只證明下確界.因?yàn)椋?/p>

由命題（3）得：

再由定義18 得：

為一個(gè)下界.

定義19設(shè)=(U，V，)為灰色形式背景，OEGL(U，V) 表示由灰色形式背景=(U，V，)生成的所有GYOE概念的集合.

對(duì)任意：

定義其偏序關(guān)系如下：

定理4設(shè)=(U，V，)為灰色形式背景，OEGL(U，V，) 表示由灰色形式背景=(U，V，) 生成的所有GYOE概念的集合，則OEGL(U，V，)在偏序關(guān)系≤下是一個(gè)完備格，稱灰色OE概念格，簡(jiǎn)稱GYOE概念格.

對(duì)任意：

其下確界和上確界分別為：

其證明同定理3 類似.

3 實(shí)例分析

例1給定一個(gè)灰色形式背景=(U，V，)，其中，U={x1，x2，x3，x4}表示供貨商備選集合，V={a，b，c}表示供應(yīng)商的產(chǎn)品質(zhì)量、產(chǎn)品價(jià)格及運(yùn)送時(shí)間三個(gè)屬性(x，a)表示某個(gè)供應(yīng)商某個(gè)屬性的普遍評(píng)價(jià)區(qū)間，且(x，a)區(qū)間在[0，1]范圍之內(nèi)，如表1 所示，取?s=[0.6，1]為合格區(qū)間.

表1 灰色形式背景Table 1 A grey context

對(duì)于?(x，a)∈U×V，(x，a)在[0，1]，根據(jù)定義11，此時(shí)μ(Ω)=1，則本示例分析中灰度計(jì)算如下：

由表1 可得屬性導(dǎo)出灰色三支概念的外延與內(nèi)涵（表2）以及對(duì)應(yīng)的GYAE概念格（圖1）.從AE5可以看出，同時(shí)具備a和b屬性合格的是x2，且合格的共同評(píng)價(jià)區(qū)間為?，故灰度為0，而a和b屬性同時(shí)不合格的是x3，且未能合格的共同評(píng)價(jià)區(qū)間為[0.45，0.58]，則灰度為0.13，表明供應(yīng)商2 號(hào)在產(chǎn)品質(zhì)量和產(chǎn)品價(jià)格方面評(píng)價(jià)較好，且并未有重合部分，供應(yīng)商3 號(hào)在這兩方面普遍評(píng)價(jià)較差，未能合格，且重合部分的灰度為0.13.

圖1 GYAE 概念格Fig.1 GYAE concept lattice

表2 屬性導(dǎo)出灰色三支概念的外延與內(nèi)涵Table 2 The extension and intension of grey three-way concept induced by attributes

對(duì)偶地，根據(jù)表1 可得對(duì)象導(dǎo)出灰色三支概念的外延與內(nèi)涵（表3）以及對(duì)應(yīng)的GYOE概念格（圖2）.其中，從OE8可以看出x2和x4的b屬性同時(shí)合格，且合格共同評(píng)價(jià)區(qū)間為?，因此灰度為0；x2和x4的c屬性同時(shí)不合格，且評(píng)價(jià)區(qū)間為[0.45，0.55]，則此時(shí)灰度為0.1.因此，表示供應(yīng)商2 號(hào)和供應(yīng)商3 號(hào)在產(chǎn)品價(jià)格方面評(píng)價(jià)較好，且評(píng)價(jià)區(qū)間并未重合，在運(yùn)送時(shí)間方面評(píng)價(jià)較差，未能合格，且重合部分的評(píng)價(jià)灰度為0.1.

圖2 GYOE 概念格Fig.2 GYOE concept lattice

表3 對(duì)象導(dǎo)出灰色三支概念的外延與內(nèi)涵Table 3 The extension and intension of grey three-way concept induced by objects

通過(guò)上述實(shí)例的概念格圖，可以直觀地看出各供應(yīng)商所具備的屬性、評(píng)價(jià)區(qū)間以及各概念的結(jié)構(gòu)關(guān)系.

4 結(jié)論

在現(xiàn)實(shí)生活的信息系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)的類型不僅包括“非此即彼”的布爾數(shù)據(jù)、“亦此亦彼”的模糊數(shù)據(jù)，還包括一些“范圍已知，內(nèi)部未知”的灰色區(qū)間數(shù)據(jù)，而以往的概念格信息處理中鮮有涉及這類數(shù)據(jù).本文將灰度和灰格運(yùn)算融入三支概念分析，提出灰色三支概念及灰色三支概念格，給出了灰色三支的正負(fù)算子、灰色三支概念的相關(guān)定義、定理及其性質(zhì)，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明灰色三支概念和灰色三支概念格的實(shí)用性.一方面可以將得出的結(jié)論清晰地表示在圖中，另一方面也通過(guò)灰度展示灰色信息的未知程度，為分析灰色區(qū)間數(shù)據(jù)提供一種合理的方法.

本文實(shí)例中的(x4，a)=[0.55.0.66]，故(x4，a)屬于合格區(qū)間?s=[0.6，1]的可能性較大，實(shí)例則將其直接歸入不合格區(qū)間，雖然杜絕了所有不合格數(shù)據(jù)歸入合格區(qū)間，但還需進(jìn)一步考慮將這些“中間數(shù)據(jù)”進(jìn)行更合理地分類.下一步將考慮結(jié)合變精度的相關(guān)概念，進(jìn)一步優(yōu)化灰色三支概念分析理論.