王慶海,陳 琦,王中原,尹秋霖

(南京理工大學 能源與動力工程學院,南京 210094)

滑翔增程制導炮彈是在常規(guī)炮彈的基礎(chǔ)上增加助推火箭和制導控制系統(tǒng)發(fā)展而來。其借助常規(guī)火炮發(fā)射平臺發(fā)射[1],以打擊精度高、使用維護成本低的優(yōu)點受到世界各軍事大國普遍重視[2-3]。

制導炮彈的彈道優(yōu)化設(shè)計在其整個生命周期中占據(jù)著舉足輕重的地位。彈道優(yōu)化問題本質(zhì)上可視為軌跡優(yōu)化問題,針對這一類問題,國內(nèi)、外學者做了大量研究。史金光等[4]針對制導炮彈,利用龐特里亞金極小值原理設(shè)計縱向平面內(nèi)最大射程滑翔彈道。孫瑞勝等[5]利用極小值原理,設(shè)計了一種乘波體高超聲速飛行器的最大航程滑翔軌跡。上述軌跡優(yōu)化問題的求解方法都基于極小值原理,這類方法求解精度高,但是推導過程繁瑣,難以勝任復雜問題的求解。針對這一缺點,Benson[6]和Betts[7]提出一種最優(yōu)控制問題數(shù)值解法,該方法主要分為:1)將最優(yōu)控制問題(optimal control problem,OCP)轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題(nonlinear programming,NLP);2)采用合適的NLP求解算法對問題進行求解。基于數(shù)值求解理論,大量多約束復雜軌跡優(yōu)化問題得以求解。黃育秋等[8]采用等距梯形離散方法和序列二次規(guī)劃算法設(shè)計了升力式再入飛行器的突防飛行軌跡。高長生等[9]針對高超聲速滑翔飛行器,采用自適應偽譜法規(guī)劃了其機動突防飛行軌跡。宣穎等[10]基于Legendre偽譜法規(guī)劃三級固體火箭最大有效載荷飛行軌跡。劉超越等[11]針對二級助推火箭,采用高斯偽譜法設(shè)計了規(guī)避雷達禁飛區(qū)的最優(yōu)飛行軌跡。由上述文獻可以看出,數(shù)值解法可以很好地解決復雜的多階段多約束軌跡優(yōu)化問題,鑒于此,本文將采用屬于數(shù)值解法的Radau偽譜法規(guī)劃制導炮彈方案彈道。

相比于導彈,制導炮彈彈體空間有限,控制舵面較小,致使其機動能力有限。在這種不利條件下,為了更好地發(fā)揮制導炮彈精確打擊能力,在設(shè)計方案彈道時,有必要充分考慮制導炮彈的初始彈道傾角、發(fā)射方位角、助推火箭點火時間、滑翔啟控時間、導引頭開啟時間等彈道參數(shù)對方案彈道設(shè)計的影響。針對制導炮彈,史金光等[12]根據(jù)滑翔增程彈的飛行原理,建立彈道模型,通過數(shù)值仿真分析了滑翔增程彈的彈道特性。在此基礎(chǔ)上,史金光等[4,13]將制導炮彈全彈道分解為普通段、滾控段和滑翔段,分別對每一段的彈道特性進行了定性分析,并利用龐特里亞金極小值原理設(shè)計制導炮彈在縱向平面內(nèi)的最優(yōu)滑翔方案彈道。李勇[14]采用Gauss偽譜法規(guī)劃滑翔制導炮彈最遠射程方案彈道。陳琦等[15]基于Gauss偽譜法規(guī)劃制導炮彈的最短飛行時間滑翔方案彈道?；诖搜芯?陳琦等[16]針對制導炮彈,提出一種不確定飛行環(huán)境下的彈道規(guī)劃方法,該方法在縱向和側(cè)向都顯示出對隨機干擾良好的抑制效果。Xu等[17]設(shè)計綜合考慮滑翔效率和機動效率的復合效率因子,規(guī)劃出滑翔制導炮彈滑翔和機動綜合性能最優(yōu)的方案彈道。陳琦[18]根據(jù)飛行過程中飛行狀態(tài)差異,將滑翔增程制導炮彈全彈道分為起飛段、助推段、上升段和滑翔段4段,并采用直接配點法將4階段彈道規(guī)劃模型轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題,最后采用內(nèi)點法求解。在此4階段彈道規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上,徐秋坪[19]采用hp自適應偽譜法規(guī)劃了滑翔增程制導炮彈的全彈道方案彈道。

雖然學者們對制導炮彈彈道規(guī)劃問題進行了大量研究,但截至目前,考慮導引頭約束的制導炮彈方案彈道規(guī)劃的文章鮮有發(fā)表?；诖?本文以滑翔增程制導炮彈為研究對象,設(shè)計一種考慮導引頭多約束的方案彈道規(guī)劃方法(TPM-CS)。為方便區(qū)分,本文稱文獻[18-19]所提包含4階段的滑翔增程制導炮彈全彈道方案彈道規(guī)劃方法為傳統(tǒng)滑翔制導炮彈彈道規(guī)劃方法(TPM)。TPM沒有考慮導引頭的約束,因此,制導炮彈按照TPM規(guī)劃的方案彈道飛行,到達末制導起始點時,目標可能不在導引頭視場內(nèi),導致導引頭難以捕獲目標,甚至直到炮彈飛行至彈道終點也無法捕獲目標。 鑒于此,本文設(shè)計的TPM-CS方法將制導炮彈全彈道分為起飛段、助推段、上升段、滑翔段和末制導段5個階段。在末制導段根據(jù)導引頭最大探測距離建立末制導起始點約束,根據(jù)導引頭視場角建立攻擊路徑約束,為了減小目標偏離導引頭視場中心的距離,在目標函數(shù)中考慮對彈目視線相對導引頭軸線偏離角度進行懲罰。采用多階段Radau偽譜法將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問題,最后調(diào)用非線性規(guī)劃問題求解器SNOPT求解。為驗證TPM-CS方法的有效性,本文針對導引頭不同約束選取了多組算例,以控制能量最優(yōu)為目標函數(shù),規(guī)劃制導炮彈大著角攻擊方案彈道。最后與TPM方法進行對比仿真,以驗證TPM-CS方法的優(yōu)越性。

1 滑翔增程制導炮彈彈道規(guī)劃模型

滑翔增程制導炮彈的工作原理為:前線偵察單元發(fā)現(xiàn)目標后,向后方炮彈發(fā)射終端發(fā)送目標位置信息。炮彈發(fā)射終端根據(jù)目標信息和當前戰(zhàn)場環(huán)境條件形成方案彈道加載至炮彈制導系統(tǒng)并發(fā)射炮彈。炮彈經(jīng)過如圖1滑翔增程制導炮彈彈道示意圖所示起飛段、助推段、上升段和滑翔段到達導引頭開啟點,導引頭開機搜索捕獲目標,最后進入末制導修正偏差完成對目標的精確打擊。本文根據(jù)滑翔制導炮彈的工作原理建立考慮導引頭多約束的彈道規(guī)劃模型。

圖1 滑翔增程制導炮彈彈道示意Fig.1 Trajectory diagram of gliding extended range guided projectile

1.1 滑翔增程制導炮彈三維簡化彈道模型

參考文獻[20]中導彈三維空間運動方程組,在小角度假設(shè)條件下,建立滑翔增程制導炮彈三維簡化彈道模型:

(1)

式中:v為速度,θ為彈道傾角,ψv為彈道偏角,m為彈體質(zhì)量,mc為助推火箭質(zhì)量流量,Fp為助推火箭推力,Fx為氣動阻力,Fy為氣動升力,Fz為氣動側(cè)向力,(x,y,z)為炮彈在地面坐標系中的坐標。該模型的狀態(tài)向量可以表示為x=[vθψvxyzm]T。

3個方向的空氣動力為

(2)

式中:ρ為空氣密度,S為參考面積,α為攻角,β為側(cè)滑角,Cx0為零升阻力系數(shù),kc為與誘導阻力相關(guān)的系數(shù),Cyα為升力系數(shù)導數(shù),Czβ為側(cè)向力系數(shù)導數(shù)。該模型控制向量可以表示為u=[αβ]T。

1.2 5段式彈道模型

如圖1所示,滑翔增程制導炮彈的飛行軌跡分為5段,分別為起飛段、助推段、爬升段、滑翔段和末制導段。

(3)

彈道中各階段定義如下:

4)滑翔段。始于滑翔起始位置,結(jié)束于末制導起始點。

5)末制導段。始于末制導起始點,結(jié)束于目標點。

1.3 約束條件

1.3.1 邊界約束

制導炮彈初速為v0,初始坐標為(x0,y0,z0),初始質(zhì)量為m0。于是建立制導炮彈的初始狀態(tài)約束為

(4)

靜止目標的坐標為(xt,yt,zt),為實現(xiàn)較好的打擊效能,設(shè)末速度約束下界為vfL,落角約束上界為θfU。于是建立末狀態(tài)約束為

(5)

1.3.2 過程約束

制導炮彈在不同飛行階段具有不同的飛行特征,受到不同的約束。助推火箭只在助推段工作,控制量在前3個飛行階段都為零。

1)上升段和爬升段約束:

(6)

2)助推段約束:

(7)

3)滑翔段和末制導段約束:

(8)

式中:(·)min為該變量的下邊界值,(·)max為該變量的上邊界值。

1.3.3 連續(xù)性約束

多階段彈道規(guī)劃,需要保證時間連續(xù)性和狀態(tài)變量連續(xù)性,即

(9)

式中:(·)(p)為第p階段的信息(p=1,…,P-1),其中P為全彈道分段總數(shù)。

1.3.4 末制導路徑約束

制導炮彈末制導過程的幾何關(guān)系圖如圖2所示,圖中:M為制導炮彈,T為目標,θL為視線傾角,φL為視線偏角。

圖2 三維制導幾何關(guān)系Fig.2 3D engagement geometry

近似認為導引頭基準軸和速度軸重合,則炮彈目標視線在高低和方位兩個方向相對導引頭基準軸線偏離角度分別為

(10)

其中視線角計算公式為

末制導過程中,必須保證目標在導引頭視場內(nèi)。設(shè)導引頭的視場角為ε,于是根據(jù)視場角可建立末制導路徑約束為

(11)

1.3.5 末制導起始點約束

導引頭探測距離有限,過早開啟導引頭會浪費彈載電能,過晚開啟導引頭會減少制導系統(tǒng)修正彈目位置偏差的空間和時間。

設(shè)導引頭最大探測距離為Rs,制導炮彈末制導起始點和目標的距離為

(12)

假設(shè)目標一進入導引頭探測范圍制導炮彈就進入末制導。于是本文設(shè)計末制導起始點約束為

RMT-Rs=0

(13)

1.4 目標函數(shù)

為方便解釋目標函數(shù),首先定義攻角控制裕量和側(cè)滑角控制裕量為

(14)

再定義視線角約束裕量為

(15)

制導炮彈機動能力有限,為增強其抗干擾能力,在設(shè)計方案彈道時需要為制導控制系統(tǒng)預留一定量的控制裕量和視場角約束裕量。于是本文建立目標函數(shù)為

J=J1+J2

(16)

其中:

式中,w1,1、w1,2、w2,1、w2,2為懲罰權(quán)值。目標函數(shù)第1部分J1的作用是最小化制導控制系統(tǒng)對控制變量α和β的需求,以提高其控制裕量。目標函數(shù)第2部分J2的作用是最小化彈目視線相對導引頭軸線的偏離角即前置角,以提高視場角約束裕量。

2 多階段Radau偽譜法

2.1 多階段最優(yōu)控制問題模型

P階段最優(yōu)控制問題性能函數(shù)可以寫為

(17)

式中:Φ(·)為端點值性能函數(shù),Γ(·)為積分型性能指標待積分函數(shù)。

動態(tài)函數(shù)約束為

(18)

不等式路徑約束為

(19)

以及連續(xù)性約束為

(20)

于是式(17)～(20)構(gòu)成多階段最優(yōu)控制問題POCP。POCP的標準形式為

(21)

式中:hOCP為最優(yōu)控制問題等式約束函數(shù),gOCP為最優(yōu)控制問題不等式約束函數(shù)。

2.2 多階段最優(yōu)控制問題偽譜離散

Radau偽譜法(Radau pseudospectral method,RPM)將最優(yōu)控制問題(OCP)的狀態(tài)變量和控制變量離散到一系列Radau勒讓德(Legendre-Gauss-Radau,LGR)節(jié)點上,并以經(jīng)過這些節(jié)點的拉格朗日插值多項式近似狀態(tài)變量和控制變量,從而將連續(xù)的無限維OCP轉(zhuǎn)化為有限維NLP。LGR節(jié)點是非對稱、非等間距的,采用它的根作為插值節(jié)點可以避免等距高階多項式插值經(jīng)常出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象[21]。相比Gauss偽譜法,RPM沒有附加的積分約束,更為簡潔[22]。

(22)

Radau偽譜法的配置點為Radau多項式的N個根τa,a=1,…,N。

(23)

狀態(tài)變量和控制變量由拉格朗日多項式近似為:

(24)

(25)

式中Li為第i個節(jié)點對應的拉格朗日多項式函數(shù)的基函數(shù),寫作:

(26)

對狀態(tài)插值多項式(24)兩端微分可得

(27)

進一步可以得到:

(28)

式中:X(p)∈R(N(p)+1)×nx,nx為狀態(tài)變量數(shù)目,U(p)∈RN(p)×nu,nu為控制變量數(shù)目,D∈RN(p)×(N(p)+1)被稱為微分矩陣,矩陣中各元素為

(29)

RPM路徑約束的離散形式為

(30)

相似地,離散化的連續(xù)性約束為

(31)

由數(shù)值分析理論[23]可知,目標函數(shù)離散形式為

(32)

(33)

于是無限維的多階段最優(yōu)控制問題POCP被轉(zhuǎn)化為有限維非線性規(guī)劃問題PNLP,其標準形式為

(34)

式中:z為包含所有決策變量的決策變量向量,hNLP(z)為非線性規(guī)劃問題等式約束函數(shù)列向量,gNLP(z)為非線性規(guī)劃問題不等式約束函數(shù)列向量。標準化后的非線性規(guī)劃問題PNLP采用序列二次規(guī)劃求解器SNOPT求解。

3 仿真和分析

本文針對某型號的滑翔增程制導炮彈進行仿真分析,采用多階段Radau偽譜法對滑翔增程制導炮彈彈道規(guī)劃問題進行求解。首先為驗證本文TPM-CS方法的有效性,對安裝不同性能(最大探測距離和視場角)導引頭制導炮彈大著角方案彈道進行規(guī)劃,然后與傳統(tǒng)TPM方法進行仿真對比,以驗證其優(yōu)越性。

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

滑翔制導炮彈出炮口初速為800 m/s;氣動參數(shù)由風洞吹風試驗獲得;大氣模型采用美國1976標準大氣模型;為了滿足大著角攻擊要求,令θfU=-80°,助推火箭工作時長為14.068 s。其他參數(shù)見表1～4。

表1 制導炮彈參數(shù)Tab.1 Parameters of guided projectile

表2 彈道變量的上、下邊界Tab.2 Upper and lower bounds of ballistic variables

表3 各階段持續(xù)時長的上、下邊界Tab.3 Upper and lower bounds of the duration of each phase s

表4 目標函數(shù)權(quán)值系數(shù)Tab.4 Weight coefficient of the objective function

由于本文方案彈道設(shè)計任務(wù)要求中沒有禁飛區(qū)或必須經(jīng)過航路點等需要較大側(cè)向運動的需求,目標函數(shù)中對側(cè)滑角的懲罰部分會使方案彈道近乎在彈道面內(nèi),即側(cè)向平面內(nèi)彈目視線偏離導引頭軸線的角度近乎為零(仿真結(jié)果會證明這一點),于是懲罰系數(shù)w2,2可以設(shè)置為零。

3.2 不同導引頭約束仿真

本文通過設(shè)置導引頭最大探測距離和視場角,模擬對安裝不同性能導引頭的制導炮彈進行仿真分析,以驗證本文TPM-CS方法的有效性。本文的數(shù)值仿真中,目標坐標為(50,0,-5)km。

3.2.1 導引頭最大探測距離對方案彈道的影響

本文選取3種不同性能的導引頭進行仿真分析。3種導引頭的視場角相同,最大探測距離不同,具體參數(shù)見表5。

表5 不同最大探測距離算例Tab.5 Examples of different maximum detection distances

仿真結(jié)果如圖3和表6、7所示。由圖3(c)、3(d)和表5可知,炮彈目標視線相對導引頭基準軸在高低和方位兩個方向的偏離角都小于視場角,滿足本文建立的視場角約束。由表5、6可知,末制導起始點與目標距離RMT和導引頭最大探測距離Rs相等,證明了本文建立末制導起始點約束的有效性。

表6 最優(yōu)化末制導起始點Tab.6 Optimal starting point of terminal guidance phase m

圖3 不同最大探測距離優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Optimization results of different maximum detection distances

由圖3(a)～3(i)可知,導引頭最大探測距離變化主要影響縱向平面內(nèi)彈道諸元,對側(cè)向平面內(nèi)彈道諸元沒有影響。由圖3(f)可知,導引頭最大探測距離越大,方案彈道初始彈道傾角越大,彈道高程越高。由圖3(h)可知,導引頭最大探測距離越大,所需攻角控制量越大。由表7可知,導引頭最大探測距離對全彈道飛行時長影響不大。

表7 時間節(jié)點最優(yōu)解Tab.7 Optimal solution of time nodes s

3.2.2 導引頭視場角約束對方案彈道的影響

本文選取最大探測距離相同視場角不同的3種導引頭,具體參數(shù)見表8。

表8 不同視場角約束算例Tab.8 Examples of different field of view angle constraints

仿真結(jié)果如圖4所示(結(jié)果與導引頭最大探測距離對方案彈道影響的仿真結(jié)果類似,僅展示部分對視場角約束敏感的曲線,后續(xù)仿真結(jié)果類推,不再重復說明)。

圖4 不同視場角約束優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization results with different field of view angle constraints

由圖4(d)和表8可知,導引頭視場角越小,攻角幅值越大。由圖4(b)、4(c)和表8可知,炮彈目標視線相對導引頭基準軸在高低和方位兩個方向的偏離角都小于視場角,滿足視場角約束。證明本文所提TPM-CS方法對安裝了不同視場角大小導引頭的制導炮彈都有效。

3.3 與傳統(tǒng)TPM對比

本文針對某型號的滑翔增程制導炮彈進行仿真分析,分別采用本文TPM-CS方法和文獻[24]所提TPM方法規(guī)劃方案彈道,以驗證TPM-CS方法的優(yōu)越性。

本文仿真中,導引頭最大探測距離Rs=5 000 m,視場角為ε=5°,目標坐標為(50,0,0) km。

仿真結(jié)果如圖5和表9～11所示。(注:TPM方法未單獨規(guī)劃末制導段,為便于對比分析,采用線性插值的方式取彈目間距RMT=Rs處為其期望末制導起始點。其真實末制導起始點為目標視線相對導引頭基準軸偏離角等于導引頭視場角的點,如圖5(c)中A點。)

表9 末制導起始點彈道傾角、視線高低角及偏差Tab.9 Path angle, line of sight angle and deviation at the starting point of terminal guidance phase (°)

表10 最優(yōu)化末制導起始點Tab.10 Optimization results of the starting point of terminal guidance m

圖5 TPM-CS方法和TPM方法對比仿真結(jié)果Fig.5 Comparison of simulation results between TPM-CS method and TPM method

由圖5(b)和表9可知,TPM方法規(guī)劃的方案彈道,在末制導起始點,導引頭基準軸與彈目視線偏離17.6°,大于導引頭視場角ε,導引頭無法捕獲目標。然而,TPM-CS方法規(guī)劃的方案彈道,在末制導起始點,導引頭基準軸與彈目視線僅偏離5°,偏差角縮小71.590%,目標恰好位于導引頭視場邊緣,且之后的飛行過程中,目標一直位于視場內(nèi)部,即,導引頭在開啟瞬間就能捕獲目標并在整個末制導段保持照射目標的狀態(tài)。

由圖5(c)、5(d)可知,TPM方法規(guī)劃的方案彈道,如果導引頭一直保持開啟狀態(tài)搜索目標,給予足夠時間,導引頭最終亦能捕獲目標,但會減少制導系統(tǒng)修正彈目位置偏差的時間和空間,如圖5(c)和表11中所示,TPM方法規(guī)劃的方案彈道留給制導系統(tǒng)修正偏差的時間僅2.069 s,而TPM-CS方法規(guī)劃的方案彈道長達14.731 s,有效末制導時長增長6.120倍。如果目標的預警系統(tǒng)在導引頭搜索過程中發(fā)現(xiàn)導引頭搜索信號,在未被捕獲前采取規(guī)避逃離動作,制導炮彈按照TPM方法規(guī)劃方案彈道飛行,導引頭可能無法搜索到目標,即導引頭捕獲目標失敗。而制導炮彈按照TPM-CS方法規(guī)劃的方案彈道飛行,可以在導引頭最大探測距離處,在導引頭開啟瞬間捕獲目標,不會給予目標逃離的機會。

表11 時間節(jié)點最優(yōu)解Tab.11 Optimal solution of time nodes s

綜上所述,TPM-CS方法相較于傳統(tǒng)TPM方法有較大優(yōu)勢,對于工程實踐有一定現(xiàn)實意義。

4 結(jié) 論

1)采用本文所提TPM-CS方法規(guī)劃的方案彈道,均滿足導引頭最大探測距離約束和導引頭視場角約束,驗證了TPM-CS方法的有效性。

2)采用本文所提TPM-CS方法規(guī)劃的方案彈道,最大探測距離越大,對縱向控制量要求越高;導引頭視場角越小,對縱向控制量要求也越高。

3)相較于TPM方法,本文提出的TPM-CS方法實現(xiàn)了在導引頭最大探測距離處,導引頭基準軸與彈目視線的偏差角縮小71.590%,并且在末制導段導引頭對目標保持照射的時間增長6.120倍,這為末制導預留了更充裕的時間修正偏差以實現(xiàn)最終的精確打擊。