付景怡，秦天翔，黃蘊涵，劉智穎

（長春理工大學 光電工程學院，吉林 長春 130022）

1 引言

星模擬器是重要的地面標定設備[1]，可在地面模擬星體的排布、姿態(tài)，標定并檢測星敏感器的探測能力[2-3]。近年來，星模擬器要求視場更大、精度更高[4-7]。為了增大視場，獲得更廣的視野范圍，陳啟夢等人通過拼接硅基液晶顯示器件(Liquid Crystal on Silicon, LCoS)顯示器件的方式，解決了大視場下星圖顯示器件分辨率不足的問題，將準直系統(tǒng)的視場增大到22°[8]；劉歡等人提出了一種算法，能夠很好地校正畸變，減少了像差對視場的約束，并且采用特殊的光學材料來優(yōu)化光學系統(tǒng)，使光學系統(tǒng)的視場達到20°[9]；代雨等人利用二次成像方法，設計了一款雙光組結合的投影系統(tǒng)，并使用DMD芯片作為星圖顯示器件，使視場達到28.6°[10-11]。

單一星模擬器受到自身像質和顯示芯片大小的限制，繼續(xù)增大視場的實現(xiàn)度和性價比都很低，而且光學系統(tǒng)的設計會變得異常復雜與困難。

本文提出一種通過拼接視場增大星模擬器視場的方法。為了在增大視場的同時降低重量、簡化組合方式、降低成本，本文根據(jù)平面幾何關系得到不同拼接方式，計算并分析了各方式下的視場利用率，利用編程軟件計算了每個單一視場中心坐標和相鄰視場交點坐標，進而確定了所需的精準拼接數(shù)目。對比視場利用率與拼接數(shù)目，得到了最佳拼接方式，實現(xiàn)了視場的增大。

2 視場拼接原理

在視場拼接中，用一個圓錐體來模擬單一小視場的范圍，張角的中心軸模擬小視場光學系統(tǒng)的光軸，圓錐體的頂角就是光學系統(tǒng)視場的張角。相同的視場要用相同大小的圓錐體表示；視場大小不同，圓錐體的底面積大小則不同。將處在不同角度、相同大小的小圓錐體拼接起來，可以近似形成更大的圓錐體。通過這樣的原理將在不同方位的單一小視場拼接起來，從而形成更大的視場[12]。如圖1所示，ω 為單一視場角，W為拼接后形成的視場角。

圖1 拼接前后視場角對比圖Fig.1 Contrast of the FOV angle before and after splicing

能否實現(xiàn)視場完全拼接，則取決于單一視場間的軸間夾角 θA，即兩個小圓錐軸線的夾角(見圖2)。當軸間夾角小于圓錐錐角時，相鄰的兩個單一小視場范圍之間有重疊，才能保證視場信息不丟失。若軸間夾角大于視場角，則兩個單一小視場之間會出現(xiàn)間隙，從而導致得到的視場不連續(xù)。拼接完成后，顯示部分將通過算法處理重疊問題，利用算法對每個單一星模擬器的星圖進行修剪，剪裁掉多余的重復像素，再拼接成一個完整的星圖。

圖2 圓錐軸間夾角示意圖Fig.2 Schematic diagram of the angle between shafts

3 平面拼接簡化模型

針對小視場系統(tǒng)難以繼續(xù)擴大視場的局限性，為了簡化大視場模型并實現(xiàn)無縫拼接，提出了一種基于平面的拼接方式。以單一的小視場為主體，當單一視場投影圓的內接正多邊形能夠無縫銜接起來時，就可以使各個小圓無空隙地拼接在一個面上，從而完成無縫拼接。以平面為模型的無縫拼接的前提是若平面產生微小弧度變化，相鄰兩單一視場間仍能保證沒有空隙；而若平面拼接時有重疊部分，則拼接后的視場角度越大，重疊比例就越大。并且，這種拼接方式在拼接過程中對軸間夾角角度無特殊要求，適用于視場為任何大小的光學系統(tǒng)拼接。

若想使內接正多邊形在平面上無縫拼接，則要滿足以下條件：

其中，n為 正多邊形的邊數(shù)，N為使用的多邊形個數(shù)。

計算得到n分別為3，4，6。也就是說，在平面上只有相同的正三角形、正四邊形或正六邊形能夠不重疊地無縫拼接成一個平面，如圖3所示。

圖3 無縫拼接示意圖Fig.3 Schematic diagram of three types of seamless splicings

由此得到3種視場拼接方式，分別為正三角形、正四邊形和正六邊形拼接，示意圖如圖4所示。

圖4 3種拼接方式拼接效果Fig.4 Splicing effects of three splicing methods

平面簡化模型是為了更直觀地獲得視場拼接后的效果。但在實際應用中，各單一星模擬器分布在一個球面上。因此要通過后期算法實現(xiàn)平面向三維立體結構的轉化。通過單一視場間的軸間夾角 θA能夠確定相鄰星模擬器之間的固有關系，從而對圖像進行剪切和拼接，使圖像映射在球面上[13]。

4 視場利用率的計算方法

相鄰的單一小視場之間要有一定的重疊部分，這樣可以避免視場信息丟失，重疊區(qū)域大小直接影響可利用的視場大小。因此借鑒填充率概念[14]提出了視場利用率的概念。視場利用率是指除去重疊部分，拼接后大視場覆蓋的范圍和拼接過程中使用的所有單一小視場覆蓋范圍的比值。根據(jù)各拼接方式下的幾何關系，能夠近似確定重疊部分。視場利用率為ηn的計算方式為：

重疊部分所占比例kn為

其中，Nn為正n邊 形拼接方式下所需的n邊形個數(shù)；SL為 拼接后大視場覆蓋面積；SS為單一小視場覆蓋面積。

根據(jù)平面幾何關系，得到視場利用率與重疊部分的關系為

5 拼接數(shù)目的計算模型

5.1 軸間夾角計算

軸間夾角是兩個單一小視場中心軸線的夾角，也可以說是單一視場之間的夾角。前文提到，當軸間夾角小于單一視場角時，相鄰的兩個單一小視場之間才會發(fā)生重疊，保證視場信息不丟失。通過單一小視場的軸間夾角能夠計算出各個小視場的準確位置，進而精準地確定拼接數(shù)目，因此軸間夾角的數(shù)值在拼接過程中具有重要作用。3種拼接方式的軸間夾角如圖5所示。

圖5 3種拼接方式的軸間夾角Fig.5 The angle between the axes of the three splicing methods

圖5展示出軸間夾角大小和單一小視場之間存在一定的幾何關系，得到以下關系式：

其中θAn為 正n邊形拼接的軸間夾角。

5.2 拼接數(shù)目計算

在平面拼接中，3種方式拼接后大視場的投影圖如圖6所示，可以明顯看到3種方式都是以環(huán)形陣列的方式向外排布，最終形成的視場形狀也不是圓形，而是正多邊形，因此利用該模型求出的解只能大致計算出每種方式的拼接數(shù)目。圖6中展示了3種拼接方式下拼接兩圈之后各自與圓形視場投影的關系。

圖6 3種拼接方式下視場投影情況Fig.6 Field of view projection results in three splicing modes

5.2.1 拼接圈數(shù)C

對于拼接后大視場投影形成的圓形來說，拼接的圈數(shù)位置定義在圓形的直徑位置，而對于拼接后形成的正多邊形視場來說，拼接圈數(shù)位置是正多邊形的穿過重心平行底邊的直線位置，因此要在拼接過程中使兩個位置統(tǒng)一。除正三角形拼接方式以外的其他兩種方式單一視場的圓心都在同一直線上，而正三角形拼接方式不同，因此正三角形拼接方式要進行單獨計算。定義除中心視場外，向外排布的第一環(huán)為第一圈，以此類推，如圖7所示。

圖7 正三角形拼接方式夾角計算示意圖Fig.7 Schematic diagram of the calculation of the included angle of the regular triangle splicing method

正四邊形拼接圈數(shù)與正六邊形拼接圈數(shù)C的計算方式相同，即：

取整，其中n= 4或6。

對于正三角形拼接法，設在水平方向相鄰兩圈的夾角為β，則有

則得到三角形拼接圈數(shù)C3為

5.2.2 拼接數(shù)目Sn

在計算了3種拼接方式的圈數(shù)后，就要對整體拼接數(shù)目進行求解，由圖4可以看出每種方式的排布都是有規(guī)律的，找到每一圈排布個數(shù)的規(guī)律就能確定整體的排布個數(shù)。以6圈為例，就足以推導出3種方式的拼接數(shù)目。

5.2.2.1 正三角形拼接方式

對于正三角形拼接方式，其每一圈的個數(shù)如表1所示。

表1 正三角形拼接方式的圈數(shù)與個數(shù)關系Tab.1 Relationship between the number of circles and the number of regular triangle splicing method

由表1能夠推導出每一圈的個數(shù)公式為

則得到三角形拼接方式所需拼接數(shù)目為

5.2.2.2 正四邊形拼接方式

正四邊形拼接方式，其每一圈的個數(shù)如表2所示。

表2 正四邊形拼接方式的圈數(shù)與個數(shù)關系Tab.2 Relationship between the number of circles and the number of square splicing method

由表2推導出每一圈的個數(shù)公式為

得到正四邊形拼接方式所需拼接數(shù)目為

5.2.2.3 正六邊形拼接方式

正六邊形拼接方式，是以6的倍數(shù)向外排列，其每一圈的個數(shù)如表3所示。

表3 正六邊形拼接方式的圈數(shù)與個數(shù)關系Tab.3 Relationship between the number of circles and the number of regular hexagon splicing method

由表3推導出每一圈的個數(shù)公式為

最終推導出正六邊形拼接方式所需的拼接數(shù)目為

以上能夠得到3種拼接方式大致的拼接數(shù)目，但是由于拼接的實質是圓形小視場的內接正多邊形無縫銜接，因此拼接過程中肯定會有視場部分缺失或冗余的情況，由圖6也可以看出。要解決這個問題則需要計算每個視場所在的準確位置。

6 拼接數(shù)目的計算與分析

在大致了解各拼接方式需要的單一小視場數(shù)目之后，就要對單一小視場進行更精準的定位和詳細計算，以確定各個方式所需要的準確拼接數(shù)目，從而決定采用哪種拼接方式。確定坐標時，選擇將所有的坐標做歸一化處理，以保證坐標位置只和單一視場角的大小有關。以正六邊形拼接方式為例，建立坐標系如圖8(彩圖見期刊電子版)所示。

圖8 坐標系的建立Fig.8 Establishment of the coordinate system

計算坐標時，要找到各點間能夠成立的幾何關系。而不同位置的求解方法不同，需要求解的點分為3類：內部單一小視場中心坐標、對角線位置單一小視場中心坐標和相鄰小視場交點坐標。

內部單一視場的中心坐標如圖9中O1?1、O1?2、O1?3、O1?4、O1?5、O1?6所示，這6個位 置與O的夾角都相等，均為軸間夾角，放到圖9下點O1?1與 點A1、A2的角度和直線距離都相等，得到式（15），并據(jù)此得到其坐標位置。坐標邊界位置計算示意圖如圖10所示。

圖9 中心坐標與交點坐標位置排列Fig.9 Arrangement of the center coordinates and intersection coordinates

圖10 坐標邊界位置計算示意圖Fig.10 Schematic diagram of calculation of the coordinate boundary position

對于相鄰單一視場之間的交點坐標B、C等，根據(jù)B1與O1?1、O1?6的夾角都是單一小視場的半視場角，有如下等式：

對 角 線 位 置 單 一 視 場中 心 坐 標O2?2、O2?4、O2?6、O2?8、O2?10、O2?12等，O2?2與O1?1的夾角為軸間夾角，其到點O2?1、 點O2?3的直線距離相同，得到式(17)。而O2?1、O2?3皆可由式(15)求得。

根據(jù)式(17)，利用編程軟件編寫程序可得到每個單一視場中心坐標與交點坐標。

根據(jù)式(5)能夠計算出各個方式下的軸間夾角大小，在編程軟件中即可以得到每個單一視場中心坐標與交點坐標位置。為了確定精準的拼接數(shù)目，需計算出拼接到所需大視場的邊界坐標位置，也就是最外圈所在的坐標位置，將邊界坐標點與編程軟件中得出的坐標點進行對比，在該邊界坐標點以外的點都不在需求范圍內。由于坐標是環(huán)狀分布，則無法給定x、y軸的邊界位置，但z軸方向的高度邊界位置可求，即

其中，z0為邊界位置的坐標高度。

7 3種拼接方式對比分析

針對以上3種拼接方式，為了對他們的視場利用率以及相同視場所需要的單一小視場數(shù)目分別進行討論，以 ω=5°的單一視場向外拼接成為W=90°、W=120°、W=150°、W=180°為例，對3種方式進行對比分析。

7.1 視場利用率對比

根據(jù)式(2)～式(4)可知，視場利用率只與單一小視場內接正多邊形的邊數(shù)有關，即與拼接方式有關，因此3種拼接方式下的視場利用率為定值。而根據(jù)式(5)，各拼接方式下的軸間夾角的大小與單一小視場的視場角有關，當給定單一小視場為 ω=5°時，則可計算3種方式下的軸間夾角，分別將n= 3、4、6與ω =5°代入相應公式。得到結果 如表4所示。

表4 3種方式的視場利用率對比Tab.4 Comparison of FOV utilization of three methods

對比結果顯示：正六邊形拼接方式的視場利用率是3種方式中最大的，重復部分最少。

7.2 拼接數(shù)目對比

由式(6)～式(14)能夠得到，拼接數(shù)目與單一小視場角和拼接后的大視場角都有關，拼接成不同的大視場，所需的精確拼接數(shù)目會有所變化，因此要討論拼接成不同大視場的情況并做對比。用編程軟件計算由 ω=5°的單一小視場拼接成W=90°、W=120°、W=150°、W=180°情況下的拼接數(shù)目，見表5。

表5 3種方式的拼接數(shù)目對比Tab.5 Comparison of the number of splices for three methods

由圖11可以看出：正三角形拼接的增長率很大，拼接的視場越大，增加的拼接數(shù)目越多；而正四邊形與正六邊形拼接變化相對平緩，并且無論拼接為任何數(shù)值的大視場，正六邊形拼接的拼接數(shù)目始終最少。

圖11 3種方式的拼接數(shù)目趨勢圖Fig.11 Trends in the number of splices in three ways

8 結論

本文針對星模擬器光學系統(tǒng)視場難以增大的問題，提出了對星模擬器單一小視場進行拼接的方法，以此達到增大視場的目的。以平面拼接模型為基礎，得到有效的拼接方式，為正三角形、正四邊形與正六邊形3種，并計算了各種方式的視場利用率。利用編程軟件確定3種拼接方式的單一小視場坐標位置，從而得到3種方式下的拼接數(shù)目。結果表明，正六邊形拼接方式的視場利用率最高，可達到三角形拼接方式的1.4倍，并且其拼接數(shù)目最少，可以減少系統(tǒng)重量、降低成本。本次研究結果不僅可以應用在星模擬器準直光學系統(tǒng)視場增大中，還可以應用于其他光學系統(tǒng)的視場增大，對今后光學設計中模擬大視場具有一定意義。