劉海杰

? 黑龍江省伊春市第一中學(xué)

在解決一些數(shù)學(xué)問題時,經(jīng)常借助構(gòu)建適當(dāng)?shù)奶厥鈹?shù)學(xué)模型,有效實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的基本化、模型化、熟知化,實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的合理遷移與轉(zhuǎn)化,通過熟知數(shù)學(xué)模型問題的分析、處理與破解,實現(xiàn)特殊思維化處理數(shù)學(xué)問題的目的.

1 巧構(gòu)函數(shù)模型妙解題

熟知的基本函數(shù)模型是數(shù)學(xué)中最常見的數(shù)學(xué)模型之一,借助一些基本的初等函數(shù)模型的構(gòu)建與應(yīng)用,有效聯(lián)系函數(shù)與方程、不等式等的問題,是解決與之有關(guān)的問題中比較常用的技巧方法,在此類問題的應(yīng)用中經(jīng)常有數(shù)學(xué)構(gòu)造法的影子.

例1(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( ).

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x=0為f(x)的極小值點

分析：綜合題干與選項,通過特殊值的賦值與應(yīng)用,并利用特殊函數(shù)的構(gòu)建來分析與判斷.

解析：令x=y=0,代入可得f(0)=0;令x=y=1,代入可得f(1)=0.故選項A,B正確.

令x=y=-1,代入可得f(-1)=0.單令y=-1,則有f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),可知f(x)是偶函數(shù).故選項C正確.

故選擇:ABC.

點評：在解決一些抽象函數(shù)及其相關(guān)的應(yīng)用問題時,經(jīng)常借助抽象函數(shù)所滿足的基本性質(zhì)加以具體化,通過熟知的函數(shù)模型的構(gòu)建,以具體函數(shù)來解決抽象函數(shù)問題,實現(xiàn)問題的破解與應(yīng)用.

2 巧構(gòu)方程模型妙解題

二次方程等熟知模型與對應(yīng)函數(shù)緊密相關(guān),借助方程模型的構(gòu)建,可以很好地破解一些和代數(shù)式、函數(shù)與方程有關(guān)的問題,通過方程的應(yīng)用,特別是利用構(gòu)造法來轉(zhuǎn)化與處理一些問題.

分析：根據(jù)所求代數(shù)式進(jìn)行待定系數(shù)法處理,將問題方程化,結(jié)合關(guān)于參數(shù)a的二次方程有正數(shù)解,建立對應(yīng)的不等式,分離系數(shù),利用基本不等式來確定t的最小值,從而得以求解代數(shù)式最值問題.

點評：引入?yún)?shù)進(jìn)行待定系數(shù)法處理,結(jié)合方程模型進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)造,借助方程思維,利用不等式的求解以及基本不等式的應(yīng)用來巧妙破解.

3 巧構(gòu)數(shù)列模型妙解題

數(shù)列模型是函數(shù)模型的一個特例,借助數(shù)列模型的構(gòu)建,通過新數(shù)列的通項公式、基本性質(zhì)等來巧妙解決數(shù)學(xué)問題.借助新數(shù)列的構(gòu)建,有效轉(zhuǎn)化一些陌生的數(shù)列問題,變形為常見的數(shù)列問題,利用構(gòu)造法來處理.

例3若ai∈N*(i=1,2,……,9),對關(guān)系式ak=ak-1+1或ak=ak+1-1(2≤k≤8)中有且僅有一個成立,且滿足a1=6,a9=9,則a1+a2+……+a9的最小值為______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,數(shù)列相鄰兩項的差值是1或-1,進(jìn)而借助數(shù)學(xué)構(gòu)造法,構(gòu)建新數(shù)列bk=ak+1-ak,結(jié)合新數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征加以分類討論,從奇數(shù)項與偶數(shù)項兩個不同層面來分析,通過比較即可確定相應(yīng)的最值問題.

解析：設(shè)bk=ak+1-ak(k≥1),由題意可得bk,bk-1恰有一個為1.

(1)如果b1=b3=b5=b7=b9=1,那么a1=6,a2=7,a3≥1,a4=a3+1≥2,同樣也有a5≥1,a6=a5+1≥2,a7≥1,a8=a7+1≥2,則a1+a2+……+a9≥6+7+1+2+1+2+1+2+9=31;

(2)如果b2=b4=b6=b8=1,那么a8=8,a2≥1,a3=a2+1≥2,同樣也有a4≥1,a5≥2,a6≥1,a7≥2,則a1+a2+……+a9≥6+1+2+1+2+1+2+8+9=32.

綜上可知所求的最小值是31.故填:31.

點評：通過作差換元處理,合理構(gòu)建數(shù)列模型,進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)造,可操作性強,破解起來自然流暢,是一種不錯的解題方法.借助數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建,合理“翻譯”題意來分析與應(yīng)用.

4 巧構(gòu)平面幾何模型妙解題

熟知的平面幾何圖形與相應(yīng)模型是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是用來解決一些與之相關(guān)的高中數(shù)學(xué)問題的常見模型,特別是與三角函數(shù)、平面向量以及解三角形等問題相關(guān)時,通過合理構(gòu)建,直接有效.

例4已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,則a·b+b·c+c·a=______.

分析：根據(jù)平面幾何作圖處理,合理構(gòu)造,利用圖形的對稱性,結(jié)合平面幾何中特殊圖形的幾何性質(zhì)來分析并確定對應(yīng)的線段長度,通過平面向量的投影確定對應(yīng)三個向量兩兩之間的數(shù)量積.

圖1

點評：借助平面幾何圖形的構(gòu)建,幾何直觀對稱,垂直投影運算.特別在解決一些解三角形、平面向量等問題中,合理利用構(gòu)造法,結(jié)合三角形、四邊形、圓等幾何模型確定邊、角等元素,直觀形象,實現(xiàn)問題的破解.

5 巧構(gòu)解析幾何模型妙解題

熟知的平面解析幾何模型可用于解決與三角函數(shù)、解三角形、代數(shù)與創(chuàng)新等相關(guān)的問題.借助解析幾何模型,引入坐標(biāo),通過代數(shù)運算加以邏輯推理,快捷處理.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,抓住已知條件中三角關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征加以合理構(gòu)造,借助平面直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為平面坐標(biāo)系中相關(guān)直線的位置關(guān)系問題,化“數(shù)”為“形”,利用平面解析幾何知識來分析與處理.

圖2

解析：如圖2,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A(0,2),點P在單位圓x2+y2=1上,且點B在直線AP上.令∠POC=α,則P(cosα,sinα).

點評：利用平面解析幾何模型,從直觀圖形層面來解決一些特殊的三角函數(shù)問題,有效回避了復(fù)雜的三角函數(shù)公式與應(yīng)用.特別,利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法,結(jié)合解析幾何模型的構(gòu)建,有奇效.

巧妙構(gòu)建特殊且熟知的數(shù)學(xué)模型來解決問題,特別是借助函數(shù)與方程、不等式與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量與解三角形,以及解析幾何與立體幾何等基本數(shù)學(xué)模型的特征與性質(zhì),解題時才能無形中將問題與這些熟知的基本數(shù)學(xué)模型加以巧妙融合,“化生為熟”“化繁為簡”“化難為易”,開拓思路,柳暗花明,迎刃而解.Z