馬林園 曾長興

(深圳市龍崗區(qū)華中師范大學(xué)龍崗附屬中學(xué) 廣東 深圳 518172)

湖南省2022年普通高中學(xué)業(yè)水平選擇性考試物理卷第14題,是一道以籃球運動為背景的無限次碰撞問題,屬于生產(chǎn)實踐情境類的原始問題.在解題時,學(xué)生往往困難重重,特別是對第(3)小問,學(xué)生普遍感覺難度較大,部分教師對此也很難正確判斷.本文以該題為例,對無限次碰撞問題做深入分析,探討出有用的解題思路和方法,以期對高三備考有所幫助.

1 原題呈現(xiàn)

圖1 原題題圖

(1)求籃球與地面碰撞的碰后速率與碰前速率之比;

(2)若籃球反彈至最高處h時,運動員對籃球施加一個向下的壓力F,使得籃球與地面碰撞一次后恰好反彈至h的高度處,力F隨高度y的變化如圖1(b)所示,其中h0已知,求F0的大小;

(3)籃球從H高度處由靜止下落后,每次反彈至最高點時,運動員拍擊一次籃球(拍擊時間極短),瞬間給其一個豎直向下、大小相等的沖量I,經(jīng)過n次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處,求沖量I的大小.

2 對前兩問的分析與解答

(1)設(shè)籃球與地面碰撞的碰后速率為v2,碰前速率為v1,則由題意得

籃球在下落過程中,根據(jù)動能定理得

籃球反彈至最高點,根據(jù)動能定理得

聯(lián)立解得

(2)籃球反彈至最高點時,運動員對籃球施加一個向下的力,根據(jù)動能定理得

根據(jù)第(1)問的描述可知,籃球落地反彈的速率為

v4=kv3

籃球反彈至最高點,根據(jù)動能定理得

聯(lián)立解得

3 關(guān)于第(3)問的基本思路分析

3.1 試題情境分析與轉(zhuǎn)化實施路徑

在物理教學(xué)中,應(yīng)讓學(xué)生獲得在實際情境中解決物理問題的大量經(jīng)驗,形成把情境與知識相關(guān)聯(lián)的意識和能力[1].在實際的問題解決中,把問題中的實際情境轉(zhuǎn)化成解決問題的物理情境,建立相應(yīng)的物理模型,是解決問題的關(guān)鍵.由此,我們建立了基于問題解決的試題情境分析與轉(zhuǎn)化實施路徑,如圖2所示.

圖2 試題情境分析與轉(zhuǎn)化實施路徑

該實施路徑要求學(xué)生能夠從復(fù)雜的實際情境問題中提取關(guān)鍵物理信息,將研究對象和過程轉(zhuǎn)化成物理模型,實現(xiàn)情境問題轉(zhuǎn)化成物理問題;然后運用科學(xué)思維對物理過程綜合分析,利用物理概念和規(guī)律對物理問題推理論證,獲得正確規(guī)律和結(jié)論;最后運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題,利用運算結(jié)果解釋問題情境,通過判斷是否符合物理意義,檢查結(jié)果是否科學(xué).

3.2 無限次碰撞問題解題思路框架

碰撞問題是學(xué)習(xí)的重點和難點,也是歷年高考?？伎键c.本題以拍籃球真實情境為背景,考查力與運動、功和能量、動量等物理核心知識.籃球豎直下落,在與地面發(fā)生非彈性碰撞前做勻加速運動,碰撞后做勻減速直線運動.雖然碰撞前后的速度不連續(xù),但每次碰撞均滿足相同規(guī)律,我們稱之為無限次碰撞問題.基于問題解決的試題情境分析與轉(zhuǎn)化實施路徑,我們提出了無限次碰撞問題解題思路框架,如圖3所示.

圖3 無限次碰撞問題解題思路框架

該框架以情境分析、模型建構(gòu)、推理論證、探究規(guī)律、數(shù)學(xué)應(yīng)用為主要階段進行該題的問題解決.其中,模型建構(gòu)是解決該題的核心,而探究規(guī)律是解決該題的關(guān)鍵.析元運動,就是在重復(fù)運動過程中,選取一段運動為元運動,根據(jù)碰撞規(guī)律得出第n次碰撞后的速率與第n-1次碰撞后的速率關(guān)系(或者位移關(guān)系等),構(gòu)建等差或等比數(shù)列,從而實現(xiàn)問題的解決.

4 關(guān)于第(3)問的進一步探析

按照物體間無限次碰撞問題解題思路框架,利用析元運動的解題思路,我們將第(3)問的分析過程分成4個步驟,即:情境分析,模型建構(gòu);析元運動,推理論證;探究規(guī)律,數(shù)學(xué)處理;搭架簡化,解釋檢驗.

4.1 情境分析 模型建構(gòu)

籃球從高處下落做勻加速直線運動,與地面發(fā)生非彈性碰撞(速率前后比一定),反彈后向上做勻減速運動,運動員在最高點瞬間給籃球一個沖量,使籃球獲得一定初速度.此后,籃球重復(fù)前次相同的運動規(guī)律,直至原來的高度.每一個階段,籃球都經(jīng)歷四個過程:最高點獲得相同速度、勻加速下落、碰撞及勻減速上升,運動過程如圖4所示.

圖4 籃球運動過程示意圖

4.2 析元運動 推理論證

由于籃球每次都重復(fù)相同的運動規(guī)律,我們可以取第n-1次碰撞后到第n次碰撞前為一個元運動,分析籃球在這個階段的運動規(guī)律.設(shè)每次拍球時,籃球獲得速度為v,第n次拍球后,籃球與地面相碰前速率為vn,反彈后速率為v′n,碰撞后與碰前速率之比為k,籃球與地面碰撞反彈后上升到最高點距離為hn,則

籃球第n-1次與地面碰撞反彈至最高點,根據(jù)動能定理得

(1)

因為拍打的時間極短,重力的沖量可忽略不計,則根據(jù)動量定理可知

I=mv

(2)

拍打第n次下降過程中,根據(jù)動能定理得

(3)

籃球與地面第n次碰撞前后速率關(guān)系為

v′n=kvn

(4)

由第(1)問可知

聯(lián)立式(1)～(4),解得

(5)

4.3 探究規(guī)律 數(shù)學(xué)處理

通過析元運動,得到了籃球與地面第n次碰撞后速率v′n與第n-1次碰撞后速率v′n-1之間的關(guān)系,可以進一步探究第n次碰撞后上升高度hn與第n-1次碰撞后上升高度hn-1之間的規(guī)律,分析過程如下.

籃球第n次與地面碰撞反彈至最高點,根據(jù)動能定理得

(6)

聯(lián)立式(1)、(5)、(6),解得

(7)

由式(7)構(gòu)造等比數(shù)列,可得

(8)

其中n=1時,h0=h,故等比數(shù)列首項為

其通項表達式為

由題意知,n次拍擊后籃球恰好反彈至H高度處,即hn=H,解得

4.4 搭架簡化 解釋檢驗

通過數(shù)學(xué)深入研究物理本質(zhì),才能揭示出數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間強烈的概念關(guān)系[2].鑒于此,我們有必要對運算結(jié)果進行整理與分析,讓學(xué)生深入挖掘無限次碰撞問題的物理本質(zhì),以此提升習(xí)題教學(xué)的效果.題目3問都求解完成了,我們可以追問一個問題:如果在最高點時不給籃球沖量,那么籃球由靜止下落到最終停止時經(jīng)過的總路程是多少?下面來分析一下.

根據(jù)題設(shè)條件,不給籃球沖量,則I=0,由式(7)得

(9)

籃球運動總路程等于H加上與地面每次碰撞反彈后上升高度之和的2倍,即

在上述問題求解的過程中,我們發(fā)現(xiàn)籃球與地面無限次碰撞的物理本質(zhì),即

所以在最高點時不給籃球沖量,前面的分析依然有效.不過,當在最高點時給籃球瞬間沖量時,即有

(10)

式中b為常量.

將式(10)化簡,可以得到

這正是式(8)所要得到的物理規(guī)律,體現(xiàn)了一般性無限次碰撞的物理本質(zhì).

5 總結(jié)及啟示

通過逐步求解完這道題目,回過頭來想想我們在分析第(3)問時存在困難,主要表現(xiàn)為以下兩點:一是學(xué)生存在心理恐懼感,覺得壓軸題前面兩問都這么復(fù)雜,那么第三問就更沒戲了;二是在面對問題情境時,試圖一次性想明白籃球的運動狀態(tài),但大都是經(jīng)驗性判斷,最終無法得到正確結(jié)論.作為物理學(xué)科的壓軸題,其實該題第(3)問計算量并不太大,重在考查學(xué)生思考問題的能力.對于困難一,我們建立情境分析與轉(zhuǎn)化的實施路徑,對實際問題情境進行抽象、概括提取關(guān)鍵信息、建構(gòu)物理模型.對于困難二,我們提出析元運動解題思路,把元運動的狀態(tài)和經(jīng)歷的過程及其物理規(guī)律數(shù)學(xué)化,挖掘問題情境的物理本質(zhì).基于以上認識,結(jié)合近幾年高考試題特點,我們對高三復(fù)習(xí)提出以下幾點教學(xué)建議與啟示.

首先,創(chuàng)設(shè)變式情境,引導(dǎo)思維教學(xué).高考物理試題注重把常規(guī)模型賦予新的物理情境,融合多個知識點,考查學(xué)生的知識遷移能力,檢驗學(xué)生分析物理模型的能力.這啟示我們,在日常教學(xué)中,教師要把基本物理模型融入到新情境中,不斷進行情境變式,搭建思考的腳手架,引導(dǎo)學(xué)生在新情境中建構(gòu)模型,應(yīng)用老模型解決新問題.

其次,夯實必備知識,提升關(guān)鍵能力.新高考的命題已由知識立意轉(zhuǎn)向能力和素養(yǎng)立意,關(guān)注點是必備知識和關(guān)鍵能力.在這種情況下,有效培養(yǎng)學(xué)生的能力、發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)才是教學(xué)的最終目標.在高三復(fù)習(xí)中,教師要強調(diào)對核心概念理解,掌握物理規(guī)律的形成過程,善于對規(guī)律與方法的應(yīng)用進行拓展與延伸,以提高解決綜合問題的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

最后,規(guī)范科學(xué)表述,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).物理學(xué)科的一個突出的特點是“數(shù)學(xué)是物理學(xué)習(xí)的語言和工具”,不會利用數(shù)學(xué)工具是無法解決復(fù)雜的物理問題的.在高中物理教學(xué)中,教師需培養(yǎng)學(xué)生運用物理規(guī)律把各物理間的關(guān)系列出,利用函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)知識求解,把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,要把數(shù)學(xué)的思維方法遷移到物理的學(xué)習(xí)中,不斷訓(xùn)練和強化學(xué)生的數(shù)學(xué)與物理思維有機融合能力[3].