張 銳 周 伊

(北京市十一學(xué)校 北京 100039)

1 原題呈現(xiàn)

人教版教材高中物理選擇性必修第一冊(cè)《機(jī)械振動(dòng)》“復(fù)習(xí)與提高”B組中有這樣一個(gè)問(wèn)題(60頁(yè)第5題)[1]:

如圖1(a)所示,O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn),將力傳感器接在擺球和O點(diǎn)之間.現(xiàn)將擺球拉到A點(diǎn),釋放擺球,擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來(lái)回?cái)[動(dòng),其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低位置.圖1(b)表示細(xì)線對(duì)擺球的拉力大小F隨時(shí)間t的變化曲線,圖中t=0為擺球從A點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻,重力加速度g取10 m/s2.求:

圖1 原題題圖

(1)單擺的振動(dòng)周期和擺長(zhǎng);

(2)擺球的質(zhì)量;

(3)擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度.

通過(guò)分析圖像,將圖像中特殊值與振動(dòng)過(guò)程中的狀態(tài)一一對(duì)應(yīng),就可以求解這個(gè)問(wèn)題.當(dāng)t=0、0.4π、0.8π、…時(shí),此時(shí)細(xì)線對(duì)擺球的拉力最小,說(shuō)明此時(shí)擺球處于振動(dòng)過(guò)程中的最高點(diǎn),即可能是A、C兩點(diǎn)處.根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性,當(dāng)t=0.2π、0.6π、…時(shí),此時(shí)細(xì)線對(duì)擺球的拉力最大,擺球處于振動(dòng)過(guò)程的最低點(diǎn),即B處.

要分析擺球的質(zhì)量m和運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度vm,我們需要具體研究擺球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力特點(diǎn).根據(jù)機(jī)械能守恒定律,擺球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)速度最大.假設(shè)擺球振動(dòng)過(guò)程中的最大擺角為θ0,則在最高點(diǎn),即A或C處時(shí),沿繩方向受力平衡,可知F1=mgcosθ0,其中F1=0.498 N.

由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)過(guò)程中,根據(jù)動(dòng)能定理

將上述方程聯(lián)立,可以解得擺球質(zhì)量m=0.05 kg,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中最大擺角滿足cosθ0=0.996,最大速度

由此可知,圖像問(wèn)題的處理,學(xué)生需要具備基本的力與運(yùn)動(dòng)的物理觀念、讀圖與分析圖像的能力、模型建構(gòu)的能力和運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的能力,這都是教學(xué)過(guò)程中重點(diǎn)落實(shí)的相關(guān)內(nèi)容.但仔細(xì)觀察上述圖片,學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生一個(gè)疑問(wèn):擺球在振動(dòng)過(guò)程中,受到外界的約束條件并沒(méi)有發(fā)生變化,描述運(yùn)動(dòng)的物理量,如位移、速度、加速度均發(fā)生順延性變化,即隨時(shí)間的變化規(guī)律均為連續(xù)性函數(shù),為什么擺球提供的拉力F隨時(shí)間t的變化函數(shù)會(huì)呈現(xiàn)出不連續(xù)、不可導(dǎo)的突變點(diǎn)呢?

這與學(xué)生在高中階段接觸的經(jīng)典力學(xué)相關(guān)的觀念是不相符的,當(dāng)約束條件不變或者連續(xù)變化時(shí),物理量的變化也應(yīng)是漸變的[2].以運(yùn)動(dòng)學(xué)中常見(jiàn)的上拋運(yùn)動(dòng)的圖像問(wèn)題為例,物體以一定的初速度向上拋出,以豎直向上為正方向.若不考慮空氣阻力的影響,則物體速度v隨時(shí)間t的變化曲線如圖2(a)所示,為連續(xù)曲線;若物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到大小不變的空氣阻力的影響,則物體速度v隨時(shí)間t的變化曲線如圖2((b)所示,由于上升過(guò)程和下降過(guò)程的阻力在最高點(diǎn)處發(fā)生突變(方向突變),圖像曲線出現(xiàn)不連續(xù)的突變點(diǎn);再進(jìn)一步,若考慮物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比,則物體速度v隨時(shí)間t的變化曲線如圖2(c)所示,由于阻力的變化是連續(xù)的,因此v-t關(guān)系曲線仍為連續(xù)曲線.

圖2 豎直上拋運(yùn)動(dòng)v-t圖像

根據(jù)上述分析可知,在經(jīng)典力學(xué)階段,在約束條件不變或者連續(xù)變化的情況下,狀態(tài)參量的變化應(yīng)為連續(xù)性的.基于這一想法,我們對(duì)人教版教材中的上述問(wèn)題進(jìn)一步進(jìn)行分析,方法與上述討論完全相同.

假設(shè)細(xì)線偏離豎直方向的夾角為θ,根據(jù)題設(shè)條件可知,單擺振動(dòng)的周期T=0.8π s,則角度θ隨時(shí)間t的變化關(guān)系為θ=θ0cos(2.5t),其中,θ0滿足

cosθ0=0.996

在某角度θ時(shí),沿繩方向擺球受力分析

根據(jù)動(dòng)能定理有

聯(lián)立上述兩式可得

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

將數(shù)據(jù)m=0.05 kg、cosθ0=0.996、g=10 m/s2代入可得

F=1.5cosθ-0.996

即拉力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系為

F=1.5cos[θ0cos(2.5t)]-0.996

為連續(xù)函數(shù).通過(guò)數(shù)學(xué)軟件可以畫出F-t圖像如圖3所示,與圖1(b)所畫圖像有很大的差別.

圖3 F-t圖像

綜合上述可知,對(duì)于多過(guò)程的物理問(wèn)題,由于約束條件差異,會(huì)使得狀態(tài)參量的變化規(guī)律有所不同,但在經(jīng)典力學(xué)的框架下,若約束條件不變或者連續(xù)變化,各物理量也應(yīng)為連續(xù)變化.在物理過(guò)程的圖像中,不連續(xù)或不可導(dǎo)的突變點(diǎn)一定對(duì)應(yīng)著物理過(guò)程中約束條件的突變.因此,學(xué)生在處理圖像相關(guān)問(wèn)題時(shí),應(yīng)慎重對(duì)待圖像中的不連續(xù)或不可導(dǎo)的突變點(diǎn).圖像的信息,不僅僅包括變化趨勢(shì)、斜率、截距等,更包含著與運(yùn)動(dòng)過(guò)程的對(duì)應(yīng)關(guān)系、約束條件的影響,而我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中也應(yīng)有所關(guān)注.