馬仕彪

(安徽省濉溪中學(xué) 安徽 淮北 235100)

帶電粒子在電磁場中運動時,適當(dāng)控制電磁場和粒子運動的方向,粒子的軌跡可以形成螺旋線和旋輪線,我們首先研究螺旋線[1].

1 螺旋線

1.1 等螺距螺旋線

如圖1所示,一電荷量為+q、質(zhì)量為m帶電粒子(不計重力)靜置于直角坐標(biāo)系xOy坐標(biāo)原點O處,整個空間處于豎直向下、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場中.現(xiàn)給粒子一與x軸夾角為θ斜向下的初速度v0.

圖1 粒子斜射入勻強磁場

因為粒子的速度與磁場方向不垂直,所以,將初速度v0分別沿水平和豎直方向進行分解.

帶電粒子在水平方向上的分速度大小為

vx=v0cosθ

方向與磁場方向垂直,vx產(chǎn)生洛倫茲力的大小為

F洛=qvxB

該力提供粒子在水平方向上做勻速圓周運動的向心力,即

豎直方向上分速度大小為vy=v0sinθ,方向與磁場方向平行,因此vy不產(chǎn)生洛倫茲力,粒子在豎直方向上以速度vy=v0sinθ向下做勻速直線運動.

從合運動的角度看,粒子的合運動為等螺距的螺旋線運動,如圖2所示,每兩個相鄰螺線之間距離即螺距.

圖2 等螺距螺旋線

1.2 螺距增加的螺旋線

在上述的情形下,若再加一個電場強度大小為E、方向豎直向下的勻強電場,其他條件不變,如圖3所示.此時,帶電粒子將同時受到水平方向的洛倫茲力和豎直向下的電場力作用.

圖3 粒子斜射入相互平行的電場和磁場

下落的高度

其軌跡形狀如圖4所示.

圖4 螺距增加的螺旋線

通過以上分析可以看出,處理有關(guān)螺旋線問題時,可以采取運動的分解和合成的方法,這樣就能化難為易.螺旋線的最大特征就是在時間和空間上具有一定的周期性,理解了周期性的來源和實質(zhì)也就能解釋和解決實際生活中的有關(guān)螺旋線的問題了,實現(xiàn)了理論和實踐相結(jié)合的目的.

若繼續(xù)改變電磁場的方向,使之兩者方向互相垂直,帶電粒子的軌跡將形成旋輪線.

2 旋輪線

2.1 粒子初速度為零的情況

如圖5所示,空間存在相互垂直的勻強電場和勻強磁場,電場強度大小為E、方向沿y軸正方向,磁感應(yīng)強度大小為B、方向沿z軸正方向.現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子(不計重力),從坐標(biāo)原點O處由靜止開始運動.

圖5 粒子射入相互垂直的電磁場

(1)粒子運動的軌跡[2]

粒子的路徑相當(dāng)于動圓上的一個定點在做純滾動運動時留下的軌跡,此軌跡線為周期性重復(fù)的旋輪線,如圖6所示.

圖6 旋輪線

(2)粒子的位移[3]

旋輪線的周期為粒子勻速圓周運動的周期,即

設(shè)粒子圓周運動在t時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為φ,由角速度定義式

粒子的半徑

在x方向上的位移

(1)

在y方向上的位移

(2)

由以上計算結(jié)果并結(jié)合幾何知識可以得到以下幾個結(jié)論:

①旋輪線的高為圓周運動的直徑

④ 由式(1)可知粒子在x方向上的運動為簡諧運動和勻速直線運動的合成.

(3)粒子的速度

粒子在x方向上的速度

在y方向上的速度

合速度

(3)

現(xiàn)討論粒子的最大速度vm.

方法2:因為洛倫茲力永遠(yuǎn)不做功,只有電場力對粒子做功,在頂點處粒子沿電場力方向位移最大,所以粒子在旋輪線頂點時電場力做功最大,粒子的速度最大,由動能定理

方法3:粒子在軌跡的最高點時,兩個分速度同向,合速度最大,最大值為

2.2 粒子以初速度v沿x軸向右運動情況

旋輪線的高為

每一拱旋輪線的寬度為

旋輪線與x軸交點為

現(xiàn)研究粒子以大小不同的初速度v向右運動的粒子軌跡情況.

(1)若速度Δv>0,則Δv方向向右,Δv產(chǎn)生的洛倫茲力使粒子在x軸下方以順時針方向勻速圓周運動,下面分情況討論.

①如果滿足0<Δv=v0,粒子軌跡最低點的合速度為零,軌跡如圖7所示.

圖7 Δv=v0時粒子軌跡

②如果滿足0<Δv

圖8 Δv

③如果滿足Δv>v0,粒子軌跡最低點的合速度向左,軌跡如圖9所示.

圖9 Δv>v0時粒子軌跡

(2)若速度Δv<0,則Δv方向向左,Δv產(chǎn)生的洛倫茲力使粒子在x軸上方以速率Δv順時針方向做勻速圓周運動,軌跡如圖10所示.

圖10 Δv<0時粒子軌跡

【例3】(2011年福建高考題改編)如圖11(a)所示,在x>0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場,電場強度大小為E,磁感應(yīng)強度大小為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子從坐標(biāo)原點O處以初速度v0沿x軸正方向射入,粒子的運動軌跡如圖11(a)所示,不計粒子的重力.現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡不同,但具有相同的空間周期性,如圖11(b)所示.

(a) (b) (c)圖11 初速度大小不同的粒子運動

(1)求粒子在一個周期T內(nèi)沿x軸方向前進的距離S;

(2)當(dāng)入射粒子的初速度大小為v0時,其y-t圖像如圖11(c)所示,寫出y-t的函數(shù)表達式.

(2)在y方向上,由圖11(c)可以看出旋輪線向上偏,說明Δv=v0-v1>0.

y-t函數(shù)表達式為

其中

為y方向上的簡諧運動的振幅.

3 結(jié)束語

凡事只要能從原理和本質(zhì)出發(fā),就能做到大道至簡,對問題的認(rèn)知不僅能知其然更能知其所以然.“螺旋線”和“旋輪線”規(guī)律性很強,向我們展現(xiàn)了曲線的美感,解決方法歸根結(jié)底就是運動的合成與分解.抓住螺旋線和旋輪線這兩根線,讓它逐漸延伸,打通物理的任督二脈,我們會發(fā)現(xiàn)“物理真是迷人”.