黃瀚林，周仕明，李道奎，彭少駒

（1.國防科技大學空天科學學院，長沙 410073；2.空天任務智能規(guī)劃與仿真湖南省重點實驗室，長沙 410073；3.中國人民解放軍 77680部隊，西藏 山南 856000）

0 引言

波紋管是用于補償管路或設備因溫差或溫度波動造成的軸向、橫向和角位移的管路元件，在航空航天、水力、電力、石化、船舶、供熱網方面都有廣泛的運用[1]。

波紋管主要有U形、V形、S形、Ω形等波形；按其層數劃分可劃分為單層波紋管（層數為1）和多層波紋管（層數不小于2）。波紋管軸向剛度是評價波紋管軸向位移補償的重要指標，由于波紋管軸向剛度理論公式大多來源于力學模型的簡化，與實際值存在一定誤差，因此，結合有限元等數值方法和試驗方法來修正波紋管軸向剛度理論公式，并提升計算效率，是波紋管軸向剛度研究的重要方向之一。

近年來，不少研究者針對波紋管軸向剛度有限元分析方面做了較多的研究工作。談卓君等[1]提出了用單層等效厚度來計算波紋管的軸向剛度的思路，并以2層波紋管軸向剛度為例，驗證了方法的可行性，但該文沒有給出2層以上等效厚度的計算方法；萬宏強等[2]基于U形波紋管軸向剛度經驗公式進行了低溫環(huán)境下的修正，并結合有限元和試驗進行了驗證；修筑等[3]根據曲桿模型推導了基于厚度變化的軸向剛度經驗公式，并利用有限元和試驗進行了驗證；占豐朝等[4]基于有限元方法和試驗對不等壁厚的U形波紋管軸向剛度進行了非線性分析；羅炳亮等[5]基于有限元方法發(fā)現(xiàn)了波紋管膨脹節(jié)強度及軸向剛度隨加強件間隙值變化的規(guī)律；劉達列等[6]利用ANSYS軟件的Matrix27剛度單元對金屬波紋管進行模擬，通過建立簡化有限元模型分析了金屬波紋管的軸向剛度。這些研究在提升軸向剛度計算精度方面做了較多工作，但工程適用性存在不足，計算效率較低。

本文將U形波紋管簡化為曲桿模型，推導了波峰、波谷半徑不相等情況下的軸向剛度經驗公式。波紋管軸向剛度有限元值經驗證可與其試驗值等價后，通過經驗公式法與有限元方法計算多層波紋管結構的軸向剛度，分析兩者誤差規(guī)律，推導出了一種基于經驗公式法的多層波紋管等效厚度計算方法，并在此基礎上提出了一種基于等效厚度單層U形波紋管有限元模型進行多層U形波紋管軸向剛度分析的方法。

1 U形波紋管軸向剛度理論計算方法

1.1 U形波紋管軸向剛度表達式

波紋管的軸向剛度表達式為

1.2 基于曲桿模型波峰、波谷半徑不同的單層U形波紋管軸向剛度經驗公式推導

式中：K為波紋管的整體軸向剛度，N/mm；F為波紋管所受軸向力，N；e為波紋管軸向位移（包括拉伸和壓縮位移），mm。

單層U形波紋管結構參數（如圖1）有：Dw為波紋管外徑，mm；Db為單層波紋管內徑，mm；t為波紋管單層壁厚（成型后），mm；h為波高，mm；q為波距，mm；N為波峰數；r1為波峰曲率半徑，mm；r2為波谷曲率半徑，mm；Dm為波紋管平均直徑，mm；a為波峰波谷連接直邊長度，mm；E為設計溫度下波紋管材料的彈性模量，MPa。

圖1 波紋管參數對照圖

進一步將半個波峰、半個波谷和連接直邊簡化為曲桿模型，邊界條件為一端施加軸向力和彎矩，一端固支，如圖2所示。實際的工程應用中大多采用該曲桿模型計算波紋管的軸向剛度，但對波峰波谷半徑不同的情況研究較少。國際接受使用的EJMA[7]（美國膨脹節(jié)制造商協(xié)會標準，我國國標部分內容以此標準為基礎）的軸向剛度計算公式，也是基于此模型建立并修正后得出的。

圖2 波紋管半波曲桿模型

圖3 波紋管有限元模型

此處利用截面法、能量法和卡氏第二定理，推導波峰、波谷半徑不同的單層U形波紋管剛度經驗公式[3]。

確定AB、BC和CD段的彎矩分別為：

系統(tǒng)應變能為

式中：M為AB、BC和CD段的彎矩，J為截面慣性矩，歐拉梁忽略剪切應變能。

由卡氏第二定理，將式（3）代入，可得位移A點的角位移為

即

聯(lián)立式（6）與式（2）可求得

再次運用卡氏第二定理，分別將AB、BC和CD段的彎矩代入，則A點沿F方向位移為

可得

波紋管單個完整波峰（谷）的位移量為

根據式（1）定義，聯(lián)立式（9）、式（10）可得波紋管單波軸向剛度為

又因為曲桿平均截面慣性矩為

式中，

則

聯(lián)立式（11）、式（14）可得單波軸向剛度為

從而得到波紋管的整體軸向剛度為

2 多層U形波紋管軸向剛度計算模型

取一典型U形波紋管結構進行分析，其材料為鋼，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，密度為7800 kg/m3。波紋管外徑Dw=31.2 mm，內徑Db0=21.5 mm，單層壁厚（成型后）為t=0.2 mm，波高h=4.85 mm，波距q=4.4 mm。波紋管軸向未受力時，自由長度為34 mm。本文分析了波數N=8、層數n=1～6的U形波紋管軸向剛度。

2.1 多層U形波紋管軸向剛度有限元建模

基于ABAQUS有限元軟件，參考文獻[8]的建模方法，在保證計算精度的同時減少計算量，建模時采用軸對稱模型；網格選擇CAX4R單元（4節(jié)點雙線性軸對稱四邊形縮減積分實體單元），該單元具有4個節(jié)點，每個節(jié)點具有2個自由度，即沿著X、Y方向的平動，并且具有模擬塑性、大變形、大應變、蠕變和應力強化等的能力，網格存在扭曲變形時，分析精度不會受到大的影響，在波峰和波谷位置進行網格加密；層間關系設置為接觸，當波紋管層數為2～6時，波紋管各層之間接觸設置為硬接觸和有限滑移；邊界條件為波紋管一端設置為固支，另一端加載沿軸向4 mm的拉伸位移，通過軸向力-軸向位移曲線獲得不同層數波紋管的軸向剛度。對文獻[8]建模方法進行復現(xiàn)，基于該方法進行有限元建模得到的軸向剛度與試驗結果的平均誤差僅為1.92%。因此，可以認為通過該建模方法所得到的軸向剛度為真實值，在缺乏可利用的試驗數據時可將其作為修正經驗公式的依據。

2.2 多層U形波紋管軸向剛度有限元數值與理論數值對比分析

通過有限元仿真計算，得到1～6層U形波紋管的軸向力-軸向位移曲線和軸向剛度數值分別如圖4和表1所示。

表1 多層U形波紋管軸向剛度有限元數值 N/mm

圖4 1至6層U形波紋管軸向力-軸向位移曲線

取t=td，利用式（16）可求得等效厚度td為

將上述U形波紋管結構參數和表1所得的2～6層U形波紋管軸向剛度數值代入式（17），經四舍五入后可得到2～6層U形波紋管軸向剛度等效厚度分別為結構參數中單層壁厚的1.3倍、1.5倍、1.7倍、1.8倍和2.0倍；其中，2層U形波紋管軸向剛度計算模型厚度也和文獻[1]的等效厚度倍數一致。

2.3 等效厚度單層U形波紋管有限元模型驗證

將2.2節(jié)所求的等效厚度代入單層U形波紋管有限元模型中，同時利用式（16）求解單層U形波紋管的軸向剛度，得到計算結果如表2所示。從表2中可看出，單層U形波紋管剛度理論值與有限元值誤差為14.89%；6層時理論值與有限元值誤差為10.67%，說明等效厚度計算公式不夠準確。原因分析如下：一是為了簡化慣性矩的計算，引入了平均直徑Dm的概念，與實際截面的慣性矩存在差異。二是在軸向剛度公式推導過程中，忽略了厚度t的的影響。

表2 軸向剛度理論值與有限元數值對照表

進一步觀察表2也可以發(fā)現(xiàn)，在不同的層數情況下，有限元值與理論值的比值在1.0～1.3之間波動，呈現(xiàn)一定的倍數關系。為此本文基于有限元計算值對等效厚度進行修正，并引入剛度修正系數λ[9]：

式中：λ1為有限元模擬剛度，λ2為公式計算剛度。

修正后的單層U形波紋管整體軸向剛度計算公式為

因此，可以在引入λ的基礎上，引入單層壁厚倍數因子b（2.2節(jié)所求等效厚度td除以單層壁厚t所得的倍數）為

對包括表2數據在內td為t的0.75～2倍，不等間隔的11組b和λ進行多項式擬合，從而得到：

將2.2節(jié)所求倍數因子b，代入式（19）～式（21）聯(lián)立求解，可得修正后軸向剛度理論值與有限元值對照結果，如表3所示。

表3 修正后軸向剛度理論值與有限元數值對照表

通過表3可以看出，與式（16）相比，基于有限元模型修正后的式（19）計算單層U形波紋管軸向剛度時，理論值與有限元值的誤差由14.89%減小至0.02%；通過壁厚倍數關系求解2層以上U形波紋管軸向剛度時，理論值與有限元值的平均誤差由13.48%減小至0.60%。

取t=td，式（19）經變化可得修正后的軸向剛度等效厚度為

將表1所得多層U形波紋管軸向剛度有限元數值和上述U形波紋管結構參數代入式（22）中可得，在相同軸向剛度情況下2～6層U形波紋管對應修正后的單層U形波紋管厚度分別為單層壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍。

3 算例驗證

保持主要結構參數不變，令多層U形波紋管單層壁厚t為0.18 mm、0.21 mm和0.24 mm，將2.3節(jié)所計算的倍數關系分別代入式（19）和多層U形波紋管有限元模型，結果如表4～表6所示。

表4 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數值對照表（t=0.18 mm）

表5 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數值對照表（t=0.21 mm）

表6 軸向剛度理論值與多層U形波紋管軸向剛度有限元數值對照表（t=0.24 mm）

通過表4～表6三個算例的數據可以看出，將2.3節(jié)所得單層壁厚倍數關系，代入修正后的單層U形波紋管軸向剛度計算公式（19）中，可以較為精確地計算1～6層U形波紋管軸向剛度。理論值和有限元值擬合程度較好，如圖5所示。

圖5 算例理論值與有限元值對比圖

可以認為，在主要結構參數相同情況下，上述壁厚倍數的單層U形波紋管可分別和2～6層的U形波紋管進行軸向剛度的精確等效，工程上可以通過建立軸向剛度-管壁厚度曲線[2]根據上述倍數對應的厚度快速獲取多層U形波紋管軸向剛度值。經過進一步計算發(fā)現(xiàn)，多層波紋管單層壁厚為0～0.3 mm時，理論計算的結果與多層U形波紋管軸向剛度的誤差均在10%以內，而壁厚大于0.3 mm時，同樣可以依據該方法求解不同壁厚多層U形波紋管的等效厚度，但倍數因子將發(fā)生變化。

4 結論

1）提出了一種基于單層U波紋管有限元模型計算多層U形波紋管軸向剛度分析的方法。

2）修正了單層U形波紋管軸向剛度計算方法，與有限元法結果的擬合程度較高。

3）計算了主要結構參數相同時，當多層U形波紋管單層壁厚為0～0.3 mm時，2～6層U形波紋管對應的軸向剛度等效厚度分別為多層U形波紋管單層壁厚的1.250倍、1.425倍、1.587倍、1.712倍和1.852倍時；此時，單層U形波紋管軸向剛度可以與對應的多層U形波紋管軸向剛度進行等效。

4）當多層U形波紋管單層壁厚大于0.3 mm時，同樣可以基于本文方法求解軸向剛度等效厚度，但壁厚倍數因子將發(fā)生改變。