文|陳 娜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，要幫助學(xué)生建立空間觀念，其中一方面就是要讓學(xué)生能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化。教材安排了圖形的運(yùn)動(dòng)這類學(xué)習(xí)內(nèi)容，也強(qiáng)調(diào)幾何圖形的學(xué)習(xí)可以用“運(yùn)動(dòng)變化”的角度來(lái)組織學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生探究和分析圖形之間的關(guān)系，理解和掌握?qǐng)D形與幾何的本質(zhì)，形成“運(yùn)動(dòng)變化”的觀念。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)的《圖形與幾何》教學(xué)可以把“運(yùn)動(dòng)變化”作為“支點(diǎn)”，將它作為圖形與幾何教學(xué)的一條主線展開教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，放飛學(xué)生的思維。

那么，如何根據(jù)圖形的特征和性質(zhì)，在《圖形與幾何》內(nèi)容學(xué)習(xí)中通過“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)展開教學(xué)，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力和空間觀念，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣呢？筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、立足“運(yùn)動(dòng)變化”，加深對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)

1．聯(lián)系“生活”，觀察對(duì)比，感知特征

心理學(xué)表明，小學(xué)階段兒童的抽象思維發(fā)展需要具體形象思維與生活經(jīng)驗(yàn)來(lái)支撐，這就要求教學(xué)內(nèi)容要貼近學(xué)生實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)、思考與探索。教材中將圖形的運(yùn)動(dòng)——平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、圖形的放大縮小的特征認(rèn)識(shí)，只定位在積累感性體驗(yàn)，形成初步認(rèn)識(shí)。因此，在教學(xué)中要多收集一些這樣的生活素材，可以按照運(yùn)動(dòng)的特征選擇運(yùn)動(dòng)或靜止的方式進(jìn)行呈現(xiàn)。通過對(duì)大量“運(yùn)動(dòng)”現(xiàn)象的觀察、比較、分析、概括和提煉，引導(dǎo)學(xué)生探究其中的“變”與“不變”，感知“運(yùn)動(dòng)”的特征。

2．整合“運(yùn)動(dòng)”，增加趣味，教活特征

幾何圖形的種種性質(zhì)，只不過是各種幾何變換下的不變性和不變量。因此，通過對(duì)運(yùn)動(dòng)圖形中不變性的研究，整合運(yùn)動(dòng)形式，可以增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性，找到事物的本質(zhì)特征，有利于教活數(shù)學(xué)概念。

在教學(xué)《旋轉(zhuǎn)》時(shí)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)三要素即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，教材中的例題提供了鐘面的指針旋轉(zhuǎn)和風(fēng)車旋轉(zhuǎn)過程的圖片，學(xué)生不會(huì)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)指針旋轉(zhuǎn)的中心，很難看清風(fēng)車旋轉(zhuǎn)的方向。有的教師教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)從線段的旋轉(zhuǎn)到圖形的旋轉(zhuǎn)一層一層地揭示旋轉(zhuǎn)的要素，學(xué)生雖然能掌握，但是不利于整體感知，也不利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)。為了讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的特征，激發(fā)他們的興趣，筆者在教學(xué)實(shí)踐中讓學(xué)生通過動(dòng)態(tài)想象、整體感知、分類比較來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)過程。

師：今天老師給大家?guī)?lái)了一幅精美的圖案。

課件出示：

師：你知道這個(gè)圖案是由什么圖形變換而來(lái)的嗎？（學(xué)生大膽猜想）

師：它是由這個(gè)直角三角形用什么方式變換得到的呢？（學(xué)生自由表達(dá)）

課件顯示圖案變換形成的過程，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)是怎么變換得到的？

師：你覺得這個(gè)直角三角形還可以怎么旋轉(zhuǎn)呢？

課件依次出示同一個(gè)三角形的6 個(gè)旋轉(zhuǎn)，并且一直保持動(dòng)態(tài)演示。

師：用同一個(gè)三角形，出現(xiàn)了6 個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)。你能按照一定的標(biāo)準(zhǔn)給它們分分類嗎？

學(xué)生按旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)角度分類，得出旋轉(zhuǎn)的三要素和旋轉(zhuǎn)的特征。

在上述教學(xué)過程中，教師改變了學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式。在課的引入部分設(shè)計(jì)了圖形旋轉(zhuǎn)變換形成的美麗圖案。追問：這個(gè)圖案是由什么圖形變換而來(lái)的？它是由這個(gè)直角三角形用什么方式變換得到的？接連的追問，讓學(xué)生發(fā)揮自己的想象，在腦海中積極思考。再對(duì)同一個(gè)三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)引出6 個(gè)不同的旋轉(zhuǎn)，根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。讓學(xué)生在復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程中通過分類找到旋轉(zhuǎn)中的不變性，找出本質(zhì)特征。像這樣富有趣味性的環(huán)節(jié)，不但提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，增強(qiáng)了學(xué)生的動(dòng)態(tài)想象能力，提升了學(xué)生的審美能力，更教活了數(shù)學(xué)概念。

3．創(chuàng)造“運(yùn)動(dòng)”，刻畫屬性，掌握特征

小學(xué)階段認(rèn)識(shí)圖形的特征是教學(xué)的重點(diǎn)。要掌握?qǐng)D形的本質(zhì)特征，勢(shì)必要利用直觀的教學(xué)手段，形象地進(jìn)行教學(xué)。通過圖形的整體或部分的運(yùn)動(dòng)，借助動(dòng)態(tài)直觀刻畫圖形的屬性，有利于學(xué)生掌握和理解圖形的特征。

特級(jí)教師王建良在執(zhí)教《圓柱的認(rèn)識(shí)》中就用了“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)。在教學(xué)圓柱側(cè)面的過程中，他讓學(xué)生從“滾”一周畫出側(cè)面；量出底面周長(zhǎng)和高就能畫；用一張長(zhǎng)方形紙作為側(cè)面，通過“卷”的方法做出圓柱。通過“旋轉(zhuǎn)”長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)邊、短邊或?qū)ΨQ軸形成圓柱，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形紙與圓柱側(cè)面、底面半徑和高之間的關(guān)系。

上述教學(xué)過程改變了從生活中的具體實(shí)物去認(rèn)識(shí)圓柱的這種靜態(tài)的教學(xué)觀，非常具有智慧地從運(yùn)動(dòng)變化的角度去認(rèn)識(shí)圓柱。從圓柱的“滾”到一張長(zhǎng)方形紙的“卷”“旋轉(zhuǎn)”等運(yùn)動(dòng)的方式，充分運(yùn)用多媒體來(lái)認(rèn)識(shí)圓柱的特征。這一過程不但讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了圓柱，而且深入地溝通了立體圖形圓柱與平面圖形之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到圓柱側(cè)面展開圖與圓柱的關(guān)系，圓柱縱截面與圓柱體之間的關(guān)系，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

二、運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)變化”，溝通幾何圖形的聯(lián)系

辯證唯物主義方法論認(rèn)為，事物是不會(huì)孤立存在的，一定與周圍其他事物有一定的聯(lián)系。用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)幾何圖形可以溝通它們之間的聯(lián)系，滲透辯證唯物主義“普遍聯(lián)系”的方法論。因?yàn)樵趲缀螆D形知識(shí)體系中，其前后聯(lián)系緊密，邏輯性強(qiáng)。所以運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)，能溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有利于學(xué)生把“散裝”的知識(shí)納入到知識(shí)系統(tǒng)中去，從而完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1．構(gòu)建“運(yùn)動(dòng)”，整體認(rèn)知，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)可以幫助學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和建構(gòu)。在復(fù)習(xí)圖形和幾何內(nèi)容時(shí)，可以從運(yùn)動(dòng)變化的角度，幫助學(xué)生牢固建構(gòu)知識(shí)體系。筆者在教學(xué)圖形的認(rèn)識(shí)總復(fù)習(xí)時(shí)，嘗試通過運(yùn)動(dòng)的角度，幫助學(xué)生形成點(diǎn)、線、面、體之間的聯(lián)系網(wǎng)絡(luò)。

師：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們一起來(lái)復(fù)習(xí)有關(guān)圖形的知識(shí)。

師：請(qǐng)同學(xué)們看大屏幕，仔細(xì)觀察。

演示：一個(gè)點(diǎn)——平移成線——再平移成面——再平移成體。

師：通過剛才的觀察，你知道了什么？

引導(dǎo)：點(diǎn)通過平移形成線，線的平移形成面，面的平移可以形成體。

板書：點(diǎn)→線→面→體

師：是的，點(diǎn)和線是構(gòu)成圖形的基本元素，今天這節(jié)課我們就重點(diǎn)來(lái)復(fù)習(xí)有關(guān)線和平面圖形的知識(shí)。

上述片段是教學(xué)的引入部分，筆者采用點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體的觀點(diǎn)，讓本堂課的知識(shí)點(diǎn)能有一個(gè)更好的串聯(lián)，將點(diǎn)、線、面、體作為一個(gè)相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容加以統(tǒng)一，找到本節(jié)課在整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中的位置，幫助學(xué)生建立完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2．利用“運(yùn)動(dòng)”，抓住本質(zhì)，推導(dǎo)面積公式

小學(xué)階段，在平面幾何和立體幾何的面積和體積公式的推導(dǎo)過程中，時(shí)刻都能感受到圖形運(yùn)動(dòng)變化的重要作用。在平行四邊形、三角形、梯形等面積推導(dǎo)過程中，通過平移、旋轉(zhuǎn)的方式，拼湊、割補(bǔ)成熟悉的圖形，進(jìn)行面積公式的推導(dǎo)，這些方法的實(shí)質(zhì)是從圖形的運(yùn)動(dòng)變化角度展開教學(xué)的。如果在類似的概念教學(xué)中，抓住了它們的本質(zhì)特征，就能有效地從“運(yùn)動(dòng)變化”的角度建立起內(nèi)在的聯(lián)系，推導(dǎo)面積公式。

【案例一】可以從梯形的面積公式出發(fā)，推導(dǎo)出三角形和平行四邊形的面積公式。以梯形的面積公式S＝（a＋b）h÷2 為基礎(chǔ)，通過上底頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察，從整體的角度，聯(lián)系三者之間的關(guān)系。

出示：

師：將梯形上底c、d 兩點(diǎn)通過移動(dòng)重合在一起，圖形變成了什么形狀？

生：三角形。

師：這時(shí)，梯形的上底的長(zhǎng)度變成了多少？現(xiàn)在的梯形公式變成了什么？

生：S＝（a＋0）h÷2，也就是三角形的面積公式是S＝ah÷2。

師：如果將梯形上底c、d 兩點(diǎn)通過移動(dòng)變成與ab 線段相等，圖形變成了什么形狀？

生：平行四邊形。

師：這時(shí)，梯形的上底的長(zhǎng)度變成了多少？現(xiàn)在的梯形公式變成了什么？

生：S＝（a＋a）h÷2，也就是平行四邊形的面積公式是S＝2ah÷2=ah。

【案例二】我們也可以把平面圖形看成是定長(zhǎng)線段沿著一個(gè)確定的方向平移一定距離后留下的軌跡，其面積等于線段（可能定長(zhǎng)，可能均勻變化）長(zhǎng)度與移動(dòng)距離的乘積。

上述四種圖形移動(dòng)的距離都是它們的高，其中圖①、圖②中的移動(dòng)線段從始至終沒有變化，因此它們的面積是AB×h。圖③、圖④中的移動(dòng)線段從始至終是均勻變化的，可以把起始位置和終止位置線段長(zhǎng)度的平均值作為長(zhǎng)度，即線段AB 加線段CD 的和除以2，或線段AB 加0 的和除以2，推導(dǎo)出梯形面積公式（AB+CD）×h÷2 和三角形面積公式AB×h÷2。像這樣從運(yùn)動(dòng)的角度還可以推導(dǎo)圓的面積，長(zhǎng)、正方體和圓柱、圓錐的體積等。

按照上述的角度使用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，經(jīng)歷面積計(jì)算公式的形成過程，有利于理解平面圖形面積公式之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，有利于認(rèn)識(shí)圖形面積的本質(zhì)，真正構(gòu)建起面積公式的推導(dǎo)過程。

3．化“靜”為“動(dòng)”，溝通屬性，深刻理解概念

通過運(yùn)用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)，可以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻性，溝通知識(shí)間的聯(lián)結(jié)，提升對(duì)概念的深刻理解。

有一位教師在上《平行四邊形和梯形的認(rèn)識(shí)》時(shí)，用運(yùn)動(dòng)變化的方式對(duì)平行四邊形概念進(jìn)行梳理、溝通。根據(jù)“只要兩組對(duì)邊分別平行的四邊形就是平行四邊形”這個(gè)概念，出示兩組平行線，問：“當(dāng)一組平行線旋轉(zhuǎn)和另一組平行線交叉，中間形成的四邊形是什么圖形？”然后教師演示（見下圖），讓學(xué)生觀察：什么變了，什么沒變？在這個(gè)過程中，你還發(fā)現(xiàn)了哪一種情況比較特殊？特殊在哪里？通過這樣的運(yùn)動(dòng)變化，使學(xué)生深刻理解長(zhǎng)方形是特殊平行四邊形。通過平行線的運(yùn)動(dòng)變化的演示，抓住了平行四邊形的本質(zhì)屬性，有效理解了長(zhǎng)方形、正方形和平行四邊形之間的包含關(guān)系，從而對(duì)平行四邊形的概念理解更加深刻。

三、通過“運(yùn)動(dòng)變化”，發(fā)展空間觀念和思維能力

1．想象“運(yùn)動(dòng)”，展現(xiàn)過程，促進(jìn)空間觀念形成

利用“運(yùn)動(dòng)變化”可以直觀地展現(xiàn)出圖形變化和形成的過程。在教學(xué)中可以組織學(xué)生動(dòng)手操作，動(dòng)態(tài)想象，再利用媒體展現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化的過程，有效促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成。

筆者在教學(xué)《旋轉(zhuǎn)》一課時(shí)，在教學(xué)的最后環(huán)節(jié)讓學(xué)生欣賞美麗的圖案，發(fā)現(xiàn)哪些圖形可以通過旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方式得到，是由哪個(gè)基本圖形旋轉(zhuǎn)得到的（見下圖）。學(xué)生通過觀察、描述、動(dòng)態(tài)想象，觀看媒體演示，從而鞏固和完善了旋轉(zhuǎn)的特征，發(fā)現(xiàn)了各種運(yùn)動(dòng)方式之間的區(qū)別與聯(lián)系。

在本課拓展環(huán)節(jié)中，筆者又拋出一個(gè)正方形，讓學(xué)生想像旋轉(zhuǎn)后還可以得到怎樣的圖形。引出正方形的旋轉(zhuǎn)中心不同，形成的圖案也各不相同（如下圖）。由于學(xué)生動(dòng)態(tài)想象能力的不足，大部分學(xué)生一開始都是胡亂猜測(cè)。部分空間想象能力好的學(xué)生會(huì)得出近似的結(jié)論，覺得會(huì)出現(xiàn)一朵近似的小花……通過學(xué)生的描述、動(dòng)態(tài)想象之后，再進(jìn)行媒體的直觀演示，學(xué)生恍然大悟，驚詫不已。能想象的同學(xué)顯得得意洋洋，原來(lái)猜錯(cuò)的學(xué)生則有了想象旋轉(zhuǎn)的“支點(diǎn)”，豐富了基本想象經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)也發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力，促進(jìn)了空間觀念的形成。

由一個(gè)正方形通過旋轉(zhuǎn)形成的美麗圖案

2.聯(lián)系“運(yùn)動(dòng)”，化繁為簡(jiǎn)，提升解決問題能力

教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用具有運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)去解題，通過改變題目的結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化問題形式，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)和變化中尋求不變，明確數(shù)量關(guān)系，從而簡(jiǎn)化解題過程，達(dá)到靈活解題的目的。

在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體、正方體表面積之后，在五年級(jí)下冊(cè)第36 頁(yè)練習(xí)六中有這樣一道練習(xí)題（如圖）。

初次拿到題目后，在解決紅油漆的面積時(shí)大多數(shù)學(xué)生會(huì)感到束手無(wú)策。部分聰明的學(xué)生會(huì)分塊計(jì)算，算式如下圖：

在這題中如果能讓學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)，由不規(guī)則平面圖形周長(zhǎng)中的平移法想到立體圖形的平移法。從圖形“運(yùn)動(dòng)變化”的角度去分析，將紅色的面進(jìn)行平移，剛好合并成3 個(gè)面（如下圖）。

從這樣的角度分析后，此練習(xí)還可以這樣來(lái)計(jì)算面積：

這時(shí)，紅色油漆部分的面積就轉(zhuǎn)化為求三個(gè)面的面積，相比原來(lái)的計(jì)算方法解答起來(lái)就比較容易。

像這樣的解決問題在圖形教學(xué)中還存在很多，如果能經(jīng)常性地運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)變化的解題方法指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，久而久之，學(xué)生遇見此類問題時(shí)就會(huì)用“運(yùn)動(dòng)變化”將原題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的圖形再計(jì)算，從而大大提高此類問題的解答速度和正確率，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生的空間觀念和思維能力也得到了發(fā)展。

綜上所述，在小學(xué)階段的《圖形與幾何》教學(xué)中，受學(xué)生的思維水平和知識(shí)技能的限制，用“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)開展有關(guān)圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、解決問題等內(nèi)容的教學(xué)，是一個(gè)循序漸進(jìn)、漫長(zhǎng)的過程。教師只要在平時(shí)的課堂教學(xué)中能注重從“運(yùn)動(dòng)變化”的觀點(diǎn)組織教學(xué)，滲透“運(yùn)動(dòng)變化”的數(shù)學(xué)思想，定能促進(jìn)學(xué)生整體把握知識(shí)，理解和掌握知識(shí)間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念，讓“運(yùn)動(dòng)”真正成為放飛學(xué)生思維的“支點(diǎn)”。