李海燕

［摘 要］核心問題是促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有力抓手，以“代入法解二元一次方程組”的教學(xué)為例，全面分析教學(xué)內(nèi)容，并針對教學(xué)的重難點(diǎn)提煉核心問題，驅(qū)動學(xué)生深入思考，促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

［關(guān)鍵詞］核心問題；深度學(xué)習(xí)；代入法；二元一次方程組

［中圖分類號］? ?G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ?A? ? ? ? ? ［文章編號］? ?1674-6058（2023）24-0004-03

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中，完成具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，體驗(yàn)成功的快樂，從而獲得知識、提升能力。深度學(xué)習(xí)往往需要挑戰(zhàn)性任務(wù)作為支撐，而挑戰(zhàn)性任務(wù)離不開核心問題，這就需要教師全面分析一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，針對教學(xué)的重難點(diǎn)提煉核心問題，驅(qū)動學(xué)生深入思考，促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。下面以“代入法解二元一次方程組”的教學(xué)為例，展示如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中聚焦核心問題，促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

一、教學(xué)分析

（一）教情與學(xué)情

在前一節(jié)課的教學(xué)中，筆者嘗試引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)知識，再運(yùn)用類比的方法切入二元一次方程、二元一次方程組的學(xué)習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會到了方程思想及方程在解決實(shí)際問題中的價值，對于如何解二元一次方程組有了期待。

（二）教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握解二元一次方程組的基本思想（消元）、基本思路（化二元為一元）和基本方法（代入消元法）。

（2）會用代入消元法解二元一次方程組。

（3）感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展邏輯推理能力。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：用代入消元法解二元一次方程組。

教學(xué)難點(diǎn)：代入消元法本質(zhì)的理解與運(yùn)用。

二、教學(xué)過程

（一）設(shè)計(jì)核心問題，建立知識聯(lián)系

聯(lián)想與結(jié)構(gòu)是深度學(xué)習(xí)的重要特征，只有將已有的知識與新知識建立聯(lián)系，才能促進(jìn)知識的再生長，建立知識的系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)。為此，筆者提出本節(jié)課的第一組核心問題：怎樣解一元一次方程？解一元一次方程的依據(jù)是什么？一元一次方程有何價值？對于這組核心問題，筆者將其進(jìn)行細(xì)化，以實(shí)現(xiàn)新課的導(dǎo)入。

問題1：我們學(xué)習(xí)了哪些關(guān)于一元一次方程的知識？解一元一次方程的基本步驟是什么？體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生1：我們學(xué)習(xí)并掌握了什么是一元一次方程，如何解一元一次方程，并學(xué)會運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題。解一元一次方程主要包括以下步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、將系數(shù)化為1。體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想包括轉(zhuǎn)化思想、方程思想、建模思想等。

評析：引導(dǎo)學(xué)生回顧、復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)知識，讓學(xué)生體悟“化難為易”轉(zhuǎn)化思想的作用，為感知解二元一次方程組的根本路徑是轉(zhuǎn)化、化二元為一元奠定基礎(chǔ)。

問題2：某公司主要對外銷售A、B兩種教學(xué)多媒體設(shè)備，表格1反映了這兩種多媒體設(shè)備的進(jìn)價、售價情況。如果該公司計(jì)劃購進(jìn)這兩種多媒體設(shè)備共計(jì)50套，一共需要資金132萬元。那么，該公司計(jì)劃購進(jìn)A、B兩種多媒體設(shè)備各多少套？

（1）回顧小學(xué)學(xué)習(xí)的算術(shù)解法與一元一次方程的求解方法，這兩種方法各有什么優(yōu)點(diǎn)？

學(xué)生2：算術(shù)解法計(jì)算簡單，但列式比較難，而方程解法列方程比較容易，但解答過程比較煩瑣。

（2）上述問題能用二元一次方程組來解決嗎？若可以，請?jiān)O(shè)未知數(shù)，列出方程組。

（3）結(jié)合解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該如何解二元一次方程組？其關(guān)鍵是什么？

學(xué)生4：因?yàn)橐獙⒍淮畏匠探M轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，所以解二元一次方程組最關(guān)鍵的步驟是消元。

評析：通過解決上述問題，引出三種思路：算術(shù)解法，一元一次方程解法，二元一次方程組解法。通過對這三種解法的對比和分析，凸顯方程組的優(yōu)點(diǎn)，從而讓學(xué)生體會運(yùn)用二元一次方程組解決問題的價值，認(rèn)識學(xué)習(xí)二元一次方程組的意義，實(shí)現(xiàn)向新課的自然過渡。

（二）設(shè)計(jì)核心問題，促進(jìn)新知生成

對于探究二元一次方程組的解法，最重要的是激活學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和消元思想，即將二元轉(zhuǎn)化為一元。為此，筆者設(shè)計(jì)第二組核心問題：你是如何想到消元的？為什么說只有經(jīng)過消元才能解二元一次方程組？消元的方法是什么？在核心問題的引領(lǐng)下，筆者設(shè)計(jì)了以下幾個問題，并基于學(xué)生的回答進(jìn)行追問。

學(xué)生5：設(shè)購進(jìn)A種多媒體設(shè)備[x]套，則購進(jìn)B種多媒體設(shè)備（50-[x]）套，根據(jù)題意，得3[x]+2.4（50-[x]）=132，3[x]+120-2.4[x]=132，0.6[x]=12，[x]=20，所以50-[x]=30，即購進(jìn)A種多媒體設(shè)備20套，購進(jìn)B種多媒體設(shè)備30套。

學(xué)生6：在求解二元一次方程組的過程中，會遇到如何消去其中一個未知數(shù)的問題；在求解一元一次方程的過程中，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，這種思想對于解二元一次方程組仍然有用。

評析：在核心問題的引領(lǐng)下，學(xué)生分別經(jīng)歷了獨(dú)立思考、小組交流、展示評價、質(zhì)疑問難等過程，最后學(xué)生給出的一致意見是：由于問題2中的兩個未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系是明確的，因此只要能夠解出其中一個未知數(shù)的值，那么解這個方程組就變得非常容易。在這個探究的過程中，以學(xué)生自主思考為主，教師適當(dāng)追問為輔，充分彰顯學(xué)生的課堂主體地位。在核心問題的引領(lǐng)下，學(xué)生深刻理解了消元思想的價值，鍛煉了數(shù)學(xué)思維能力，也為下一步學(xué)習(xí)“消元”奠定了知識基礎(chǔ)，做好思想上的準(zhǔn)備。

評析：學(xué)生觀察一元一次方程與二元一次方程組之后發(fā)現(xiàn)，原來一元一次方程可以由二元一次方程組變形得到，方法就是將方程組中的第一個方程變形后代入第二個方程，這樣解方程組就獲得了突破。

在解答過程中，學(xué)生出現(xiàn)了解答步驟不嚴(yán)謹(jǐn)情況，使得解得的x代回方程出錯。筆者把學(xué)生出現(xiàn)的這些錯誤拍照后進(jìn)行投屏，引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行回顧和反思，進(jìn)一步感悟消元思想，歸納出運(yùn)用代入法解二元一次方程組的思路和方法。

追問1：在解二元一次方程組時，你認(rèn)為難點(diǎn)是什么？如何突破這個難點(diǎn)？解答過程體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

學(xué)生8：解二元一次方程組的難點(diǎn)在于方程組中含有兩個未知數(shù)；如何把方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵；在解答過程中用到的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想。

教師：解一元一次方程的轉(zhuǎn)化思想是化繁為簡，而解二元一次方程組的轉(zhuǎn)化思想是消元思想，即把其中一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，通過代換消元，從而達(dá)到化二元為一元的目的。

追問2：上述解二元一次方程組的基本思路和步驟是什么？

學(xué)生9：解二元一次方程組的基本步驟是：1.將方程組中的一個方程變形，即用其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)，標(biāo)作方程（3）；2.將這個代數(shù)式代入另一個方程中，替換掉其中的一個未知數(shù)，建立一元一次方程；3.解這個一元一次方程；4.把求出的一個未知數(shù)的值代入方程（3），求出另一個未知數(shù)的值；5.寫出方程組的解。解二元一次方程組的步驟可以簡記為“變、代、解、回、寫”五步。

追問3：除了學(xué)生7的解答方法，還有其他方法嗎？

學(xué)生10：還可以將第一個方程變形為[x]=50-[y]，然后代入第二個方程，可以得到另一個一元一次方程3（50-[y]）+2.4[y]=132。

教師：像這樣，利用方程組中的一個方程，先將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，然后再代入另一個方程，從而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的過程，我們稱之為代入消元法，簡稱代入法。

評析：通過追問引導(dǎo)學(xué)生回答，使學(xué)生明白其中的未知數(shù)[x]、[y]的地位是平等的，既可以消去[y]，也可以消去[x]。通過核心問題的引導(dǎo)，讓學(xué)生深入地思考，理解消元法的來源及其步驟，實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。

（三）設(shè)計(jì)核心問題，培養(yǎng)高階思維

深度學(xué)習(xí)要求培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力，即識記、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造等能力。為此，筆者在這一階段設(shè)計(jì)了如下幾個核心問題：怎樣解決？還可以怎樣解決？哪種方法更好？最優(yōu)方法是否仍有局限性？在核心問題的引領(lǐng)下，出示以下方程組，讓學(xué)生通過解答培養(yǎng)高階思維。

追問4：對上述方程組的解答，你有何感想？

學(xué)生13：將其中一個方程變形時，優(yōu)先選擇將系數(shù)為1的未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示。

追問5：當(dāng)求得一個未知數(shù)的值后，是否將這個未知數(shù)的值代入任何一個方程都可以求得另一個未知數(shù)的值呢？

學(xué)生14：是的。

追問6：還有沒有其他的解題思路？

學(xué)生17：先去括號將方程整合后再求解。

學(xué)生18：也可以把（5x-y）看作一個整體進(jìn)行求解，由第二個方程得到5x-y=3x-3，然后代入第一個方程，消去5x-y，化為關(guān)于x的一元一次方程。

評價：通過上述的教學(xué)過程，引導(dǎo)學(xué)生對各種解法進(jìn)行對比分析，從而尋求解決問題的最優(yōu)路徑。一方面鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，另一方面發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)批判思維。尤其是對代入哪個方程求另一個未知數(shù)的探討，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對解方程組本質(zhì)的認(rèn)識，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新性思維。

（四）設(shè)計(jì)核心問題，促進(jìn)回顧與反思

深度學(xué)習(xí)不僅關(guān)注獲取知識的過程，更注重回顧和反思學(xué)習(xí)過程。課堂小結(jié)是一節(jié)課的重要環(huán)節(jié)，因此，筆者在小結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了如下核心問題：本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識與技能是什么？本節(jié)課的核心思想是什么？如何幫助學(xué)生舉一反三，獲得更廣闊的成長空間？在核心問題的引領(lǐng)下，筆者設(shè)計(jì)了如下問題。

問題7：回顧與梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)和探究過程，嘗試解決如下問題。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在知識、方法和經(jīng)驗(yàn)上有什么收獲，將你的收獲用思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)出來。2.本節(jié)課讓你體會最深刻的數(shù)學(xué)思想是什么？以前是否運(yùn)用過它？3.能否通過兩個方程相加或相減的方法消去其中一個未知數(shù)？你的思路是什么？

總之，要實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，提煉核心問題是關(guān)鍵。只有提煉出每一個環(huán)節(jié)的核心問題，才能為學(xué)生的課堂探究提供方向，才能為學(xué)生的思維成長提供契機(jī)。筆者在本課教學(xué)中立足整體知識的建構(gòu)，聚焦數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系，提煉出核心問題，促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。