李海燕
[摘 要]核心問題是促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有力抓手,以“代入法解二元一次方程組”的教學(xué)為例,全面分析教學(xué)內(nèi)容,并針對教學(xué)的重難點(diǎn)提煉核心問題,驅(qū)動學(xué)生深入思考,促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。
[關(guān)鍵詞]核心問題;深度學(xué)習(xí);代入法;二元一次方程組
[中圖分類號]? ?G633.6? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ?A? ? ? ? ? [文章編號]? ?1674-6058(2023)24-0004-03
深度學(xué)習(xí)是指學(xué)生全身心投入到學(xué)習(xí)中,完成具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù),體驗(yàn)成功的快樂,從而獲得知識、提升能力。深度學(xué)習(xí)往往需要挑戰(zhàn)性任務(wù)作為支撐,而挑戰(zhàn)性任務(wù)離不開核心問題,這就需要教師全面分析一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,針對教學(xué)的重難點(diǎn)提煉核心問題,驅(qū)動學(xué)生深入思考,促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。下面以“代入法解二元一次方程組”的教學(xué)為例,展示如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中聚焦核心問題,促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。
一、教學(xué)分析
(一)教情與學(xué)情
在前一節(jié)課的教學(xué)中,筆者嘗試引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)知識,再運(yùn)用類比的方法切入二元一次方程、二元一次方程組的學(xué)習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)中體會到了方程思想及方程在解決實(shí)際問題中的價值,對于如何解二元一次方程組有了期待。
(二)教學(xué)目標(biāo)
(1)掌握解二元一次方程組的基本思想(消元)、基本思路(化二元為一元)和基本方法(代入消元法)。
(2)會用代入消元法解二元一次方程組。
(3)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展邏輯推理能力。
(三)教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):用代入消元法解二元一次方程組。
教學(xué)難點(diǎn):代入消元法本質(zhì)的理解與運(yùn)用。
二、教學(xué)過程
(一)設(shè)計(jì)核心問題,建立知識聯(lián)系
聯(lián)想與結(jié)構(gòu)是深度學(xué)習(xí)的重要特征,只有將已有的知識與新知識建立聯(lián)系,才能促進(jìn)知識的再生長,建立知識的系統(tǒng)化結(jié)構(gòu)。為此,筆者提出本節(jié)課的第一組核心問題:怎樣解一元一次方程?解一元一次方程的依據(jù)是什么?一元一次方程有何價值?對于這組核心問題,筆者將其進(jìn)行細(xì)化,以實(shí)現(xiàn)新課的導(dǎo)入。
問題1:我們學(xué)習(xí)了哪些關(guān)于一元一次方程的知識?解一元一次方程的基本步驟是什么?體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想?
學(xué)生1:我們學(xué)習(xí)并掌握了什么是一元一次方程,如何解一元一次方程,并學(xué)會運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題。解一元一次方程主要包括以下步驟:去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、將系數(shù)化為1。體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想包括轉(zhuǎn)化思想、方程思想、建模思想等。
評析:引導(dǎo)學(xué)生回顧、復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)知識,讓學(xué)生體悟“化難為易”轉(zhuǎn)化思想的作用,為感知解二元一次方程組的根本路徑是轉(zhuǎn)化、化二元為一元奠定基礎(chǔ)。
問題2:某公司主要對外銷售A、B兩種教學(xué)多媒體設(shè)備,表格1反映了這兩種多媒體設(shè)備的進(jìn)價、售價情況。如果該公司計(jì)劃購進(jìn)這兩種多媒體設(shè)備共計(jì)50套,一共需要資金132萬元。那么,該公司計(jì)劃購進(jìn)A、B兩種多媒體設(shè)備各多少套?
(1)回顧小學(xué)學(xué)習(xí)的算術(shù)解法與一元一次方程的求解方法,這兩種方法各有什么優(yōu)點(diǎn)?
學(xué)生2:算術(shù)解法計(jì)算簡單,但列式比較難,而方程解法列方程比較容易,但解答過程比較煩瑣。
(2)上述問題能用二元一次方程組來解決嗎?若可以,請?jiān)O(shè)未知數(shù),列出方程組。
(3)結(jié)合解一元一次方程的經(jīng)驗(yàn),你認(rèn)為應(yīng)該如何解二元一次方程組?其關(guān)鍵是什么?
學(xué)生4:因?yàn)橐獙⒍淮畏匠探M轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解,所以解二元一次方程組最關(guān)鍵的步驟是消元。
評析:通過解決上述問題,引出三種思路:算術(shù)解法,一元一次方程解法,二元一次方程組解法。通過對這三種解法的對比和分析,凸顯方程組的優(yōu)點(diǎn),從而讓學(xué)生體會運(yùn)用二元一次方程組解決問題的價值,認(rèn)識學(xué)習(xí)二元一次方程組的意義,實(shí)現(xiàn)向新課的自然過渡。
(二)設(shè)計(jì)核心問題,促進(jìn)新知生成
對于探究二元一次方程組的解法,最重要的是激活學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和消元思想,即將二元轉(zhuǎn)化為一元。為此,筆者設(shè)計(jì)第二組核心問題:你是如何想到消元的?為什么說只有經(jīng)過消元才能解二元一次方程組?消元的方法是什么?在核心問題的引領(lǐng)下,筆者設(shè)計(jì)了以下幾個問題,并基于學(xué)生的回答進(jìn)行追問。
學(xué)生5:設(shè)購進(jìn)A種多媒體設(shè)備[x]套,則購進(jìn)B種多媒體設(shè)備(50-[x])套,根據(jù)題意,得3[x]+2.4(50-[x])=132,3[x]+120-2.4[x]=132,0.6[x]=12,[x]=20,所以50-[x]=30,即購進(jìn)A種多媒體設(shè)備20套,購進(jìn)B種多媒體設(shè)備30套。
學(xué)生6:在求解二元一次方程組的過程中,會遇到如何消去其中一個未知數(shù)的問題;在求解一元一次方程的過程中,運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想,這種思想對于解二元一次方程組仍然有用。
評析:在核心問題的引領(lǐng)下,學(xué)生分別經(jīng)歷了獨(dú)立思考、小組交流、展示評價、質(zhì)疑問難等過程,最后學(xué)生給出的一致意見是:由于問題2中的兩個未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系是明確的,因此只要能夠解出其中一個未知數(shù)的值,那么解這個方程組就變得非常容易。在這個探究的過程中,以學(xué)生自主思考為主,教師適當(dāng)追問為輔,充分彰顯學(xué)生的課堂主體地位。在核心問題的引領(lǐng)下,學(xué)生深刻理解了消元思想的價值,鍛煉了數(shù)學(xué)思維能力,也為下一步學(xué)習(xí)“消元”奠定了知識基礎(chǔ),做好思想上的準(zhǔn)備。
評析:學(xué)生觀察一元一次方程與二元一次方程組之后發(fā)現(xiàn),原來一元一次方程可以由二元一次方程組變形得到,方法就是將方程組中的第一個方程變形后代入第二個方程,這樣解方程組就獲得了突破。
在解答過程中,學(xué)生出現(xiàn)了解答步驟不嚴(yán)謹(jǐn)情況,使得解得的x代回方程出錯。筆者把學(xué)生出現(xiàn)的這些錯誤拍照后進(jìn)行投屏,引導(dǎo)學(xué)生對解題過程進(jìn)行回顧和反思,進(jìn)一步感悟消元思想,歸納出運(yùn)用代入法解二元一次方程組的思路和方法。
追問1:在解二元一次方程組時,你認(rèn)為難點(diǎn)是什么?如何突破這個難點(diǎn)?解答過程體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想?
學(xué)生8:解二元一次方程組的難點(diǎn)在于方程組中含有兩個未知數(shù);如何把方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程是突破難點(diǎn)的關(guān)鍵;在解答過程中用到的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想。
教師:解一元一次方程的轉(zhuǎn)化思想是化繁為簡,而解二元一次方程組的轉(zhuǎn)化思想是消元思想,即把其中一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示,通過代換消元,從而達(dá)到化二元為一元的目的。
追問2:上述解二元一次方程組的基本思路和步驟是什么?
學(xué)生9:解二元一次方程組的基本步驟是:1.將方程組中的一個方程變形,即用其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù),標(biāo)作方程(3);2.將這個代數(shù)式代入另一個方程中,替換掉其中的一個未知數(shù),建立一元一次方程;3.解這個一元一次方程;4.把求出的一個未知數(shù)的值代入方程(3),求出另一個未知數(shù)的值;5.寫出方程組的解。解二元一次方程組的步驟可以簡記為“變、代、解、回、寫”五步。
追問3:除了學(xué)生7的解答方法,還有其他方法嗎?
學(xué)生10:還可以將第一個方程變形為[x]=50-[y],然后代入第二個方程,可以得到另一個一元一次方程3(50-[y])+2.4[y]=132。
教師:像這樣,利用方程組中的一個方程,先將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來,然后再代入另一個方程,從而轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的過程,我們稱之為代入消元法,簡稱代入法。
評析:通過追問引導(dǎo)學(xué)生回答,使學(xué)生明白其中的未知數(shù)[x]、[y]的地位是平等的,既可以消去[y],也可以消去[x]。通過核心問題的引導(dǎo),讓學(xué)生深入地思考,理解消元法的來源及其步驟,實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識。
(三)設(shè)計(jì)核心問題,培養(yǎng)高階思維
深度學(xué)習(xí)要求培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力,即識記、理解、應(yīng)用、分析、評價、創(chuàng)造等能力。為此,筆者在這一階段設(shè)計(jì)了如下幾個核心問題:怎樣解決?還可以怎樣解決?哪種方法更好?最優(yōu)方法是否仍有局限性?在核心問題的引領(lǐng)下,出示以下方程組,讓學(xué)生通過解答培養(yǎng)高階思維。
追問4:對上述方程組的解答,你有何感想?
學(xué)生13:將其中一個方程變形時,優(yōu)先選擇將系數(shù)為1的未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示。
追問5:當(dāng)求得一個未知數(shù)的值后,是否將這個未知數(shù)的值代入任何一個方程都可以求得另一個未知數(shù)的值呢?
學(xué)生14:是的。
追問6:還有沒有其他的解題思路?
學(xué)生17:先去括號將方程整合后再求解。
學(xué)生18:也可以把(5x-y)看作一個整體進(jìn)行求解,由第二個方程得到5x-y=3x-3,然后代入第一個方程,消去5x-y,化為關(guān)于x的一元一次方程。
評價:通過上述的教學(xué)過程,引導(dǎo)學(xué)生對各種解法進(jìn)行對比分析,從而尋求解決問題的最優(yōu)路徑。一方面鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,另一方面發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)批判思維。尤其是對代入哪個方程求另一個未知數(shù)的探討,進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生對解方程組本質(zhì)的認(rèn)識,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新性思維。
(四)設(shè)計(jì)核心問題,促進(jìn)回顧與反思
深度學(xué)習(xí)不僅關(guān)注獲取知識的過程,更注重回顧和反思學(xué)習(xí)過程。課堂小結(jié)是一節(jié)課的重要環(huán)節(jié),因此,筆者在小結(jié)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了如下核心問題:本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識與技能是什么?本節(jié)課的核心思想是什么?如何幫助學(xué)生舉一反三,獲得更廣闊的成長空間?在核心問題的引領(lǐng)下,筆者設(shè)計(jì)了如下問題。
問題7:回顧與梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)和探究過程,嘗試解決如下問題。1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你在知識、方法和經(jīng)驗(yàn)上有什么收獲,將你的收獲用思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)出來。2.本節(jié)課讓你體會最深刻的數(shù)學(xué)思想是什么?以前是否運(yùn)用過它?3.能否通過兩個方程相加或相減的方法消去其中一個未知數(shù)?你的思路是什么?
總之,要實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),提煉核心問題是關(guān)鍵。只有提煉出每一個環(huán)節(jié)的核心問題,才能為學(xué)生的課堂探究提供方向,才能為學(xué)生的思維成長提供契機(jī)。筆者在本課教學(xué)中立足整體知識的建構(gòu),聚焦數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系,提煉出核心問題,促發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí),發(fā)展了學(xué)生的核心素養(yǎng)。