陳中高，高 贏，吉國華，馬 寧

引言

隨著建筑數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，自由曲面形體已成為當代建筑創(chuàng)作的的重要組成部分，被廣泛應用于大跨體育建筑、觀演建筑和博覽建筑等實踐項目中[1]。面對我國建筑業(yè)的節(jié)能減排、轉(zhuǎn)型升級、創(chuàng)新發(fā)展等重大需求，此類建筑仍存在費用高、修改多和效率低的現(xiàn)實問題。其中，設計結(jié)果與建造系統(tǒng)的脫節(jié)成為其實踐失控的關(guān)鍵原因[2，3]。對此，曲面重構(gòu)（surface reconstruction）目前是建筑設計中最直接、也是最主要的解決方式[4]，它指將初步設計的原始曲面劃分成連續(xù)、無縫、易生產(chǎn)的若干小塊單元，再對由這些單元組成的新曲面進行生產(chǎn)加工。它一方面解決“怎么造”的問題，即通過滿足材料、工具、構(gòu)造等現(xiàn)有約束條件來降低建造難度和成本，另一方面解決“造的好”的問題，即在方便加工的基礎上得到完成度更高的建筑形體。因此，建筑曲面重構(gòu)能夠建立設計結(jié)果與建造系統(tǒng)的準確映射，成為尋求“設計-建造”一體化的關(guān)鍵方法與有效途徑。

然而，當下曲面重構(gòu)工作卻與建筑師是完全割裂的，即先由建筑師初步創(chuàng)作符合概念的自由形體，再交由幕墻、結(jié)構(gòu)等其他專業(yè)進行曲面重構(gòu)。在該流程下，一方面，建筑師在方案階段并不深諳曲面重構(gòu)技術(shù)，不會預先考慮材料、工藝等信息，容易影響后期重構(gòu)準確性、甚至是無法重構(gòu)；另一方面，其他專業(yè)由于介入滯后和目標不同，在重構(gòu)中容易忽略方案創(chuàng)作意圖，往往導致設計變更而預期效果失控。基于此，本文立足建筑形體方案需求，針對現(xiàn)有方法的針對性差、適用范圍窄、效率低等問題，引入并整合其他領(lǐng)域的離散建模與幾何迭代技術(shù)，結(jié)合多目標優(yōu)化算法，探索方案階段面向自由曲面建造的建筑曲面重構(gòu)形體設計方法，提升得到兼具良好形體效果和建造性能的方案可能性，減少設計與建造的脫節(jié)。

1 應用于建筑設計的曲面重構(gòu)

曲面重構(gòu)本身指面向某一需求，基于原始曲面的數(shù)據(jù)信息重建一新曲面的過程，在逆向工程、動畫制作等應用中需求廣泛[5]。在建筑學語境中，根據(jù)適用材料的不同幾何特征，現(xiàn)有研究主要包括三類曲面重構(gòu)目標形體（表1）：平面化重構(gòu)、直紋化重構(gòu)和可展化重構(gòu)。

表1 建筑曲面重構(gòu)形體分類及特征

建筑曲面重構(gòu)問題與幾何學密不可分，而受到幾何學者的廣泛關(guān)注，推動了“建筑幾何學”（Architectural Geometry）研究領(lǐng)域的產(chǎn)生[6]。其中，波特曼（Helmut Pottmann）團隊的研究最具代表性，他們從離散微分幾何（Discrete Differential Geometry）角度，開發(fā)了一系列面向建筑曲面重構(gòu)形體的幾何建模技術(shù),包含曲面的四邊形平面化重構(gòu)[7]、可展化重構(gòu)[8]、組合重構(gòu)[9]等內(nèi)容。王文平、波利（Mark Pauly）等團隊[10，11]針對六邊形平面化重構(gòu)、直板重構(gòu)等需求研發(fā)了一系列幾何重構(gòu)算法。還有學者[12-14]從仿射變換、形狀優(yōu)化、幾何約束等角度展開了曲面重構(gòu)研究。

建筑領(lǐng)域針對幾何成果目前已經(jīng)展開初步應用，如門格斯（Achim Menges）應用切平面相交（tangent plane intersection）幾何技術(shù)，將雙曲面重構(gòu)為若干平面六邊形單元[15]。布蘭德（David Brander）基于曲面直紋化重構(gòu)算法，開發(fā)出大尺度雙曲面的模板預制裝配技術(shù)[16]。孫澄宇提出一種基于遺傳算法的平面四邊形面板重構(gòu)技術(shù)[17]。袁烽基于UV 網(wǎng)格成功將雙曲面薄殼重構(gòu)為互承支撐結(jié)構(gòu)[18]。此外，布洛克（Phillippe Block）、黃蔚欣等學者研究了基于結(jié)構(gòu)性能的曲面重構(gòu)，包括力流重構(gòu)曲面[19]、編織網(wǎng)殼[20]等技術(shù)。

根據(jù)輸入的曲面模型不同，已有曲面重構(gòu)技術(shù)包括針對NURBS 曲面的直接劃分和針對網(wǎng)格曲面的重劃分（remesh）兩類方式。有限元領(lǐng)域提出了多種劃分方法，如劃分三角形網(wǎng)格的Delaunay 法，劃分四邊形網(wǎng)格的映射法、引導線法等，這些方法大都屬于網(wǎng)格直接劃分，并在建筑設計中應用廣泛[21]，但無法實現(xiàn)對復雜曲面的三類目標重構(gòu)。計算圖形學領(lǐng)域中原始模型通常是三角形網(wǎng)格這一離散曲面，從而對網(wǎng)格重劃分方式進行了深入研究，提出了對偶法、網(wǎng)格面合并法、曲面片稀疏法和方向場引導法等技術(shù)[22]。

縱觀上述研究，一方面，盡管幾何學、圖形學等領(lǐng)域提出了一系列經(jīng)過數(shù)學證明的曲面重構(gòu)幾何技術(shù)，但仍屬于原型范疇，其操作規(guī)律尚未在建筑設計中得到充分驗證，適用范圍也有待揭示。另一方面，由于建筑師對曲面幾何較為陌生，導致現(xiàn)有少數(shù)立足設計角度的技術(shù)應用較為基礎，并具有分散性和單一性，尤其是缺乏曲面重構(gòu)特定幾何原理的深入解析與有效整合，成為當前限制建筑師成功開展曲面重構(gòu)工作的瓶頸問題。

2 建筑曲面重構(gòu)方法組成

本研究將曲面重構(gòu)問題定位于方案階段，所以不包括節(jié)點連接、構(gòu)造方式等細節(jié)設計。究其原因，方案設計對于建筑形體效果和最終成本的影響最大[23]，該階段中曲面重構(gòu)不僅可最大程度提升建造合理性，還能基于設計效果實現(xiàn)方案比選。具體地，本文的建筑曲面重構(gòu)方法由曲面性質(zhì)分析、曲面離散、目標單元生成、評價與優(yōu)化四個環(huán)節(jié)組成（圖1）。其中，曲面離散和目標單元生成兩者是對重構(gòu)形體的直接建模，決定了整個結(jié)果的精度與效率。

圖1 本文的建筑曲面重構(gòu)方法組成

（1）曲面性質(zhì)分析：本方法以NURBS 連續(xù)曲面為輸入，分析性質(zhì)包括曲率和特征兩方面，前者包含主曲率、高斯曲率、平均曲率等曲率要素，后者為曲面邊界、虧格等拓撲特征。該環(huán)節(jié)不僅能為后續(xù)操作提供基礎條件，也便于評判最終重構(gòu)形體質(zhì)量。

（2）曲面離散：曲面離散指依據(jù)原始曲面的幾何性質(zhì)，將其劃分成網(wǎng)格曲面（mesh）或分片曲面（piecewise surface），從而將連續(xù)曲面轉(zhuǎn)換成由若干小塊單元組成的離散曲面（discrete surface）。曲面離散環(huán)節(jié)對重構(gòu)質(zhì)量的影響最大，也最具難度。它的核心任務是確保離散模型不僅精確刻畫原始曲面的幾何性質(zhì)，還要適用于后續(xù)的目標單元生成。

（3）目標單元生成：目標單元生成指基于離散模型得到符合建造目標的單元類型，如平面、直紋曲面或可展曲面。該環(huán)節(jié)是建筑曲面重構(gòu)形體實現(xiàn)的關(guān)鍵，其成功與否完全取決于與離散模型的幾何匹配度。目標類型不同，則對曲面離散環(huán)節(jié)中幾何性質(zhì)的提取有著特定要求。

（4）評價與優(yōu)化：評價是對操作結(jié)果的好壞進行衡量，應用領(lǐng)域不同，衡量標準也不同，比如圖形學領(lǐng)域更關(guān)注是否光滑和逼近原始曲面，有限元領(lǐng)域更關(guān)注是否方便數(shù)值計算。因此，有必要建立面向建筑曲面重構(gòu)形體的合理評價指標，為建筑師決策提供設計依據(jù)。優(yōu)化則是對重構(gòu)建模結(jié)果的進一步調(diào)整，也就是基于評價好壞，針對性地提升重構(gòu)形體質(zhì)量。在本研究中，曲面離散和目標單元生成兩環(huán)節(jié)的技術(shù)好壞，很大程度上已經(jīng)決定了重構(gòu)質(zhì)量，因此只將重構(gòu)優(yōu)化作為一種可能性選擇，而不是必然環(huán)節(jié)。

相比“后合理化”且為“唯一最優(yōu)解”的現(xiàn)有曲面重構(gòu)工作，本文聚焦建筑方案設計需求，所提方法具有以下優(yōu)勢：（1）引入基于離散微分的曲面重構(gòu)建模技術(shù)，有效提升建筑曲面重構(gòu)建模的針對性；（2）提出面向建筑曲面重構(gòu)形體的若干評價指標，有助于指導建筑師實時修改重構(gòu)方案；（3）引入多目標優(yōu)化機制，便于建筑師快速調(diào)整的同時，生成符合預期設計目標的多種優(yōu)化形體。

3 以曲面平面化重構(gòu)形體為例的方法實現(xiàn)

曲面平面化重構(gòu)形體具有加工便宜、設備要求低、材料普適性廣等優(yōu)勢，但實現(xiàn)難度也最大。幾何研究發(fā)現(xiàn)[24]，曲面平面化重構(gòu)的關(guān)鍵在于提取原始曲面的主曲率方向，并以其為依據(jù)離散得到主曲率網(wǎng)格。對此，本文以建立曲面的四邊形平面化重構(gòu)形體為例，即重構(gòu)單元為平面四邊形（表2），具體闡述所提方法的各階段技術(shù)，包括離散網(wǎng)格生成、平面單元生成、幾何評價與優(yōu)化這三個環(huán)節(jié)的算法開發(fā)。

表2 不同單元形狀的曲面平面化重構(gòu)形體比較

3.1 基于參數(shù)化技術(shù)的離散網(wǎng)格生成

在曲面離散環(huán)節(jié)中，本研究以網(wǎng)格參數(shù)化技術(shù)（mesh parameterization）為核心，通過整合具有魯棒性的一系列幾何技術(shù)，形成一套有效性、針對性強的主曲率網(wǎng)格離散算法，具體步驟如下（圖2）：（1）采用增量重網(wǎng)格化（incremental remeshing）算法，建立逼近原始NURBS 曲面的離散三角形網(wǎng)格；（2）計算上述三角形網(wǎng)格的主方向場，即網(wǎng)格各頂點處的主曲率方向；（3）平滑主方向場并生成4-Rosy 方向場[25]；（4）通過MIQ網(wǎng)格參數(shù)化技術(shù)生成平面參數(shù)域[25]；（5）采用libQEX網(wǎng)格提取算法處理參數(shù)域結(jié)果[26]，所得即為基于主曲率方向離散生成的四邊形網(wǎng)格曲面。

圖2 基于網(wǎng)格參數(shù)化技術(shù)的四邊形網(wǎng)格離散生成

3.2 基于幾何迭代的平面單元生成

在目標單元生成環(huán)節(jié)中，本研究借助幾何迭代技術(shù)實現(xiàn)網(wǎng)格平面化，這不僅保持原始網(wǎng)格的拓撲關(guān)系，還能自定義迭代次數(shù)實現(xiàn)靈活控制。具體而言，該技術(shù)包括局部迭代和全局近似兩個步驟（圖3）：（1）局部迭代對象是網(wǎng)格曲面的各個單元，目的是將翹曲面轉(zhuǎn)為平面，即獲取網(wǎng)格面對角線的公垂線段，再迭代移動頂點得到平面單元。（2）全局近似對象是整個網(wǎng)格曲面，目的是提取最終的平面四邊形網(wǎng)格，即以局部迭代后單元頂點的平均值作為新頂點，再根據(jù)原始拓撲關(guān)系獲取平面網(wǎng)格曲面。

圖3 基于幾何迭代的平面四邊形網(wǎng)格生成

3.3 幾何評價與優(yōu)化

根據(jù)圖形學[27]和有限元分析[28]領(lǐng)域中已有的離散網(wǎng)格評價指標，本研究對其分析并歸納背后影響的形體質(zhì)量，由此提出面向建筑曲面平面化重構(gòu)形體的評價指標（表3），包括平面度、擬合度、光滑度和規(guī)則度。

表3 本文提出的建筑曲面平面化重構(gòu)形體評價指標

以上述評價指標為基礎，本方法依托插件Kangaroo和Octopus，實現(xiàn)計算機對重構(gòu)形體的多目標自動尋優(yōu)（圖4）。該尋優(yōu)本質(zhì)上是對網(wǎng)格曲面的幾何優(yōu)化，由于無需改變曲面拓撲關(guān)系，避免了因?qū)?yōu)范圍過大而導致效率低、收斂慢等困難，不僅與方案階段要求的快速性和靈活性相匹配，也為重構(gòu)形體提供進一步的操作可能。

圖4 建筑曲面重構(gòu)形體的多目標優(yōu)化流程搭建

4 與常用方法的對比實驗

4.1 實驗設置

本實驗選取兩個建筑實例為算例曲面（圖5），算例1 是瑞士索洛圖恩州合作配送中心薄殼，形態(tài)為包含三種高斯曲率且變化對稱的NURBS 曲面，同時正高斯曲率區(qū)域占據(jù)主要。算例2 是法國盧浮宮伊斯蘭藝術(shù)新館，形態(tài)為包含三種高斯曲率且變化無規(guī)律的復雜NURBS 曲面，同時非正高斯曲率區(qū)域占據(jù)主要。

圖5 對比實驗的算例曲面（上：算例1；下：算例2）

實驗首先采用三種不同方法離散算例曲面，具體為本文方法（下文稱為參數(shù)化法）和常用的映射法、引導線法，然后在生成平面單元的過程中，對不同迭代次數(shù)下的重構(gòu)形體評價指標進行分析，歸納本文重構(gòu)方法的優(yōu)缺點及適用范圍（表4）。

表4 實驗設置

映射法指將NURBS 曲面整體映射至其UV 參數(shù)域后，在該參數(shù)域上劃分均勻、規(guī)則的網(wǎng)格，再映射回原始曲面得到網(wǎng)格模型。它具有算法簡單、計算效率快、單元可控等優(yōu)點，而成為目前NURBS 曲面的網(wǎng)格劃分主流方法。

引導線法指給定一條引導網(wǎng)格邊走向的曲線，并在NURBS 曲面上按照一定間距推進該曲線，最后劃分引導線生成網(wǎng)格曲面。它的劃分方向和尺寸大小均可控，常用來得到邊等長的切比雪夫網(wǎng)（Chebyshev net）。

4.2 算例1 的實驗分析與結(jié)論

4.2.1 實驗結(jié)果

采用三種方法提取算例1 離散的網(wǎng)格曲面，并按照從0 次開始，步長為50 次，終止值為500 次的11 組迭代次數(shù)生成平面單元，其不同次數(shù)下的迭代形體如表5 所示。

表5 算例1 的重構(gòu)形體迭代

4.2.2 實驗分析

首先是平面度指標對比（圖6a）。（1）在網(wǎng)格平面化前，本文方法獲取的形體平面度質(zhì)量最優(yōu)，映射法最差。（2）經(jīng)過500 次平面化迭代后，上述關(guān)系未變，各自提升幅度依次為95.49%、64.08%、63.48%，表明參數(shù)化法的重構(gòu)效率遠優(yōu)于常用方法。

圖6 算例1 不同方法的重構(gòu)形體評價指標對比

其次是光滑度指標對比（圖6b）。（1）在網(wǎng)格平面化前，參數(shù)化法大于常用方法，表明本文方法的光滑度質(zhì)量不佳。（2）在平面單元生成過程中，上述關(guān)系沒有改變。值得注意的是，此時映射法的光滑度質(zhì)量反而提高，究其原因，是由于算例1 的曲面輪廓接近為四邊形域的UV 映射網(wǎng)格，從而使得映射法有著最好的光滑度質(zhì)量。

然后是規(guī)則度指標對比（圖6c）。（1）無論是在平面網(wǎng)格生成前還是過程中，參數(shù)化法均大于兩種常用方法。（2）在平面網(wǎng)格生成過程中，三種方法的規(guī)則度增大幅度依次為0.595%、4.841%、60.281%，表明就惡化趨勢而言，參數(shù)化法小于常用方法。

最后是擬合度指標對比（圖6d）。（1）在生成平面網(wǎng)格前，映射法最佳，而參數(shù)化法又較好于引導線法。（2）經(jīng)過500 次平面化迭代后，此時參數(shù)化法遠優(yōu)于常用方法，表明本文方法的重構(gòu)形體不僅更為接近原始曲面，且惡化趨勢也更小。

4.2.3 實驗結(jié)論

針對為對稱NURBS 曲面且正高斯曲率主導的算例1，以生成完全平面的網(wǎng)格曲面為條件，對比分析三種方法的最終重構(gòu)形體（圖7），結(jié)論如下：（1）本文方法具有最佳的視覺質(zhì)量，能夠保持原始曲面的對稱特征，但在邊界處存在部分不規(guī)則的網(wǎng)格單元形狀；（2）映射法的視覺質(zhì)量較好，但在曲率變化較大處（如邊界角點）明顯變形；（3）引導線法的視覺質(zhì)量最差，不僅對曲面邊界的適應性較差，且內(nèi)部也變形明顯。總的來說，相比常用方法，本文方法在平面度及網(wǎng)格平面化效率方面具有顯著優(yōu)勢，也能更好的保持原始曲面的形狀特征，但在光滑度和規(guī)則度方面則大于常用方法，不過惡化趨勢更小。

圖7 算例1 不同重構(gòu)方法的平面網(wǎng)格生成結(jié)果（從左至右：原始曲面；映射法；引導線法；本文方法）

4.3 算例2 的實驗分析與結(jié)論

4.3.1 實驗結(jié)果

采用三種方法提取算例2 離散的網(wǎng)格曲面，并按照從0 次開始，步長為100 次，終止值為1000 次的11 組迭代次數(shù)進行網(wǎng)格平面化操作，其不同次數(shù)下的迭代形體如表6 所示。

表6 算例2 的重構(gòu)形體迭代

4.3.2 實驗分析

首先是平面度指標對比（圖8a）。無論是在網(wǎng)格平面化的前后，參數(shù)化法均為最佳，引導線法則最差。三種方法的平面度提升幅度依次為68.388%、59.224%、52.846%，表明本文方法的重構(gòu)效率較優(yōu)于常用方法。其次是光滑度指標對比（圖8b）。（1）在網(wǎng)格平面化前，本文方法大于常用方法，表明光滑度質(zhì)量不佳。（2）在平面網(wǎng)格生成過程中，上述關(guān)系發(fā)生了明顯改變。其中，映射法仍然為最優(yōu)，但參數(shù)化法已優(yōu)于引導線法，且惡化趨勢最小。

圖8 算例2 不同方法的重構(gòu)形體評價指標對比

然后是規(guī)則度指標對比（圖8c）。無論是在平面網(wǎng)格生成前還是過程中，本文方法大于常用方法，表明規(guī)則度質(zhì)量不佳。在平面網(wǎng)格生成過程中，三種方法的規(guī)則度增大幅度依次為5.630%、31.573%、37.291%，表明就惡化趨勢而言，本文方法小于常用方法。

最后是擬合度指標對比（圖8d）。（1）在生成平面網(wǎng)格前，常用方法優(yōu)于本文方法。（2）經(jīng)過1000次平面化迭代后，上述關(guān)系發(fā)生根本性轉(zhuǎn)變，本文方法遠優(yōu)于常用方法，表明本文方法的惡化趨勢最小。

4.3.3 實驗結(jié)論

針對為非對稱NURBS 曲面且負高斯曲率主導的算例2，以生成完全平面的網(wǎng)格曲面為條件，對比分析三種方法的最終重構(gòu)形體（圖9），有著如下結(jié)論：（1）參數(shù)化法具有最佳的視覺質(zhì)量，單元分布均勻；（2）映射法的光滑度表現(xiàn)最佳，但在曲率變化較大處有著明顯變形；（3）引導線的視覺質(zhì)量最差，不僅對曲面邊界的適應性較差，而且網(wǎng)格內(nèi)部也變形明顯。綜上所述，相比常用方法，本文方法在平面度及平面化效率方面具有顯著優(yōu)勢，但在規(guī)則度上表現(xiàn)不佳。此外，本文方法可在實現(xiàn)較優(yōu)的表觀效果上，獲取與原始曲面形狀誤差更小的重構(gòu)曲面。

圖9 算例2 不同重構(gòu)方法的平面網(wǎng)格生成結(jié)果（從左至右：原始曲面；映射法；引導線法；本文方法）

5 方法適用性歸納

本研究以微分幾何為理論基礎，整合離散建模與幾何迭代而開發(fā)的建筑曲面重構(gòu)方法，具有以下設計優(yōu)勢：（1）重構(gòu)效率高，可快速獲取連續(xù)、無縫的平面網(wǎng)格模型，且與原始曲面的偏差較??；（2）綜合質(zhì)量佳，重構(gòu)形體在任一階段都具有良好的平面度質(zhì)量，并能在確保完全平面的前提下，具有光滑度、擬合度和規(guī)則度的綜合上佳表現(xiàn)；（3）方法具有通用性，不僅適用于為單一高斯曲率的曲面，而且也對包含高斯曲率為零區(qū)域的復雜曲面有效。

然而，本文方法盡管可在損失部分精度的條件下，提升離散網(wǎng)格走向的設計自由度，但因其核心是提取曲面主方向場，導致重構(gòu)形體很大程度上會被這一幾何特性所限制。因此，相比常用方法，本文方法更適合解決以平面化建造為目標的自由曲面建筑問題，尤其是對包含正負零三種高斯曲率的復雜NURBS 曲面有效（表7）。對于部分UV 線為主曲率線的特殊曲面，如球面、橢圓面、旋轉(zhuǎn)曲面等，映射法則更為簡便。

表7 不同重構(gòu)方法的建筑適用性歸納

結(jié)語

本文立足建筑師視角，將離散建模與幾何迭代算法融入到建筑曲面重構(gòu)過程中，提出面向自由曲面建造的方案階段建筑曲面重構(gòu)形體設計方法。實驗證明，上述方法能夠解決常用方法中存在的重構(gòu)質(zhì)量差、計算效率低、不能提供質(zhì)量評價等不足，輔助建筑師在重構(gòu)操作中獲得形體更準確、實時性更好的方案反饋，進而提升方案合理性和設計效率。

未來有以下三方面工作有待開展：其一是有必要在真實建造的復雜條件下，以足尺建筑物及多重曲面為重構(gòu)對象，對本文方法進行應用與完善。其二是重構(gòu)評價指標需要進一步完善，目前集中在形體美學的幾何控制方面，缺乏耗材成本、加工時間等建造指標，因此無法全面反映重構(gòu)方案形體的性能水平。其三是建筑曲面重構(gòu)問題與結(jié)構(gòu)性能也密切相關(guān)，后續(xù)研究有必要統(tǒng)籌空間形態(tài)、結(jié)構(gòu)形態(tài)與建造效率進行協(xié)同設計。

圖、表來源

圖5：圖中案例照片來源于www.archdaily.com；其余圖、表均由作者繪制。