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        把握特征 正確列舉
        ——蘇科版數(shù)學(xué)九(上)第四章“等可能條件下的概率”整體解讀

        2023-12-03 09:37:56丁建生
        初中生世界 2023年43期
        關(guān)鍵詞:數(shù)是樹狀傳球

        文/丁建生

        概率是描述不確定現(xiàn)象的一種基本數(shù)學(xué)模型,“等可能條件下的概率”研究的是一類特殊的隨機(jī)事件的概率。我們要想學(xué)好本章,關(guān)鍵在于正確理解概念,準(zhǔn)確求出概率。

        一、把握特征,理解概念

        教材在“摸球試驗(yàn)”“拋擲硬幣試驗(yàn)”的基礎(chǔ)上給出了等可能性的概念。在此概念中,事件的隨機(jī)性、排斥性(有且只有其中的一個結(jié)果)是前提,而可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個、結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等,即有限性、均衡性是兩個基本特征。依據(jù)這樣的特征,我們就可以判斷一些事件的結(jié)果是不是等可能的。如在問題“一個質(zhì)地均勻的正十二面體,12 個面上分別有1—12 這12 個整數(shù),拋擲這個正十二面體一次”中,朝上一面的數(shù)是1—12 這12個整數(shù)中的任何1 個數(shù),這些結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的;“出現(xiàn)朝上一面的數(shù)是奇數(shù)(1、3、5、7、9、11)”與“朝上一面的數(shù)是偶數(shù)(2、4、6、8、10、12)”這兩個事件的發(fā)生是等可能的;而“出現(xiàn)朝上一面的數(shù)是4 的倍數(shù)(4、8、12)”與“出現(xiàn)朝上一面的數(shù)是6 的倍數(shù)(6、12)”這兩個事件是不等可能的。

        在八(下)“認(rèn)識概率”一章中,我們通過大量重復(fù)試驗(yàn),得到某個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率,用頻率的穩(wěn)定值估計(jì)其發(fā)生的概率。如在“拋擲圖釘試驗(yàn)”中,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí),“釘尖不著地”的頻率在0.61 附近擺動,由此就估計(jì)“釘尖不著地”的概率為0.61。這一章我們研究的是等可能條件下的概率,其定義中有兩個顯著特征,就是試驗(yàn)結(jié)果的有限性和等可能性。故我們要求一個事件發(fā)生的概率時(shí),首先要判斷它是否滿足“有限性、等可能性”。教材4.3“等可能條件下的概率(二)”中,將轉(zhuǎn)盤等分、涂色,使無限個指針位置轉(zhuǎn)化成有限個,且每種結(jié)果都是等可能的,這樣就可求概率了。

        二、正確列舉,求解概率

        要求等可能條件下某個事件發(fā)生的概率大小,首先要把所有可能出現(xiàn)的結(jié)果一一列舉出來,列舉時(shí)要做到不重復(fù)、不遺漏。教材中介紹了兩種列舉方法:畫樹狀圖、列表格。當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為兩步,并且所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較少時(shí),運(yùn)用這兩種方法都快速有效;當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為兩步,但所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較大時(shí),運(yùn)用“表格”就更清晰、簡捷;當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果分為三步或更多時(shí),一般用“樹狀圖”更簡便。

        例1在一個隨機(jī)試驗(yàn)中,有2個小球依次沿軌道滑落,分別隨機(jī)掉入軌道下方的甲、乙、丙這3 個盒子中的某一個。求:(1)第一個小球掉入甲盒的概率;(2)甲盒至少接到1個小球的概率。

        【解析】第(1)問的概率為;第(2)問是兩步試驗(yàn),我們通過畫樹狀圖或列表(略),可以知道共有9 種等可能的結(jié)果,其中符合題意的結(jié)果有5 種,所以甲盒至少接到1個小球的概率為。

        概率的問題中,有的有“放回”“不放回”“至少”等表述,有的沒有,這就需要我們做好識別與判斷,將其“顯化”,否則容易出現(xiàn)差錯。

        例2現(xiàn)有甲、乙、丙三人組成的籃球訓(xùn)練小組,他們?nèi)酥g進(jìn)行互相傳球練習(xí),籃球從一個人手中隨機(jī)傳到另一個人記作傳球一次,共連續(xù)傳球三次。若開始時(shí)籃球在甲手中,求經(jīng)過連續(xù)三次傳球后,籃球傳回甲手中的概率。

        【解析】此題本質(zhì)上是“不放回”且有“三次”的問題,故應(yīng)用畫樹狀圖的方法(略),可知共有8 種等可能的結(jié)果,其中符合題意的結(jié)果有2 種,因此所求概率為。

        數(shù)學(xué)概念都有其獨(dú)有的內(nèi)涵和特征。我們要體會每句話的含義,并學(xué)會提煉概括。只有這樣,我們才能正確理解和靈活運(yùn)用。在用公式求概率時(shí),我們首先要分析問題的本質(zhì),運(yùn)用分類思想列舉出所有等可能的結(jié)果,有時(shí)還需將表面上的“不等可能事件”轉(zhuǎn)化為“等可能事件”,唯此,才能逐步形成嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等思維品質(zhì)。

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