摘要：基于兒童深度學習的小學數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學通過知識地圖推動思維結(jié)構(gòu)發(fā)展，通過核心統(tǒng)整突破思維進階節(jié)點，通過活動建模提升學生關(guān)鍵能力。學生經(jīng)歷從元素關(guān)聯(lián)到方法融通，再到系統(tǒng)塑“魂”的學習過程，實現(xiàn)對學習內(nèi)容的整體性、層次性把握，以及自身認知結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)的重組、進階與發(fā)展，最終形成結(jié)構(gòu)意識和建構(gòu)能力，達到思維自能、深度學習的境界。

關(guān)鍵詞：深度學習；小學數(shù)學；結(jié)構(gòu)化教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）20-0070-05

*本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度課題“基于兒童深度學習的小學數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學的實踐研究”（C-c/2021/02/106）的研究成果。

收稿日期：2023-09-08

作者簡介：胡嫻，蘇州工業(yè)園區(qū)文景實驗學校，主要研究方向為小學數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)：“數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學?！盵1]鄭毓信教授認為：“數(shù)學基礎(chǔ)知識的教學不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián)?！盵2]數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學，是指基于知識整體的生長與發(fā)展，凸顯元素及其之間關(guān)系的整體關(guān)聯(lián)，在知識、方法和過程上進行多重意義的建構(gòu)，突出兒童的主動自為，強化高階思維品質(zhì)的培養(yǎng)，最終達成深度學習知識、提升數(shù)學核心素養(yǎng)的目標。小學數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學，將著重凸顯以下三點：通過知識地圖，推動學生思維結(jié)構(gòu)發(fā)展；通過核心統(tǒng)整，突破學生思維進階節(jié)點；通過活動建模，提升學生關(guān)鍵能力。

一、知識地圖，推動思維結(jié)構(gòu)發(fā)展

知識地圖，關(guān)鍵在于將邏輯前后關(guān)聯(lián)的知識串聯(lián)成線，形成立體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。數(shù)學知識存在嚴密的邏輯結(jié)構(gòu)，教學只有從全局視角統(tǒng)攝知識系統(tǒng)，才能讓學生獲得通透的認知。下文以小數(shù)大單元教學為例進行闡釋。

（一）構(gòu)建大單元知識地圖

筆者在研讀教材的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了以下小數(shù)大單元知識地圖：“小數(shù)的初步認識”以“分數(shù)的認識”為基礎(chǔ)，產(chǎn)生于“把一十分”的分數(shù)。學生在初步理解“十進制”的基礎(chǔ)上，學習、感受一位小數(shù)和十分之幾分數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，接著學習小數(shù)的意義和讀寫。教師指導學生通過探究活動，體會分母是十、一百、一千這樣的分數(shù)可以用零點幾、零點零幾和零點零零幾這樣的小數(shù)來表示，感悟到若干個小數(shù)計數(shù)單位的累加形成小數(shù)，并能正確地讀寫小數(shù)。學生建立了小數(shù)概念，就有了后續(xù)學習的基石。小數(shù)的性質(zhì)、用小數(shù)的性質(zhì)化簡和改寫、小數(shù)的大小比較、將整數(shù)改寫成用“萬”或“億”為單位的小數(shù)、小數(shù)的近似數(shù)的學習都以此為基礎(chǔ)。學生在系統(tǒng)掌握有關(guān)概念后，再聯(lián)系小數(shù)的加法和減法、小數(shù)的乘法和除法進行實際應(yīng)用。

（二）理清核心概念間的關(guān)聯(lián)

基于小數(shù)大單元知識地圖，教師引導學生構(gòu)建整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)一體化的十進制計數(shù)法法則。核心概念“計數(shù)單位”在十進和十分的過程中，會產(chǎn)生不斷的累加和細分。整數(shù)學習時，數(shù)的概念從低位向高位生長，學生認識了個、十、百、千等計數(shù)單位，知道了這些計數(shù)單位之間的十進制關(guān)系。分數(shù)、小數(shù)學習時，數(shù)的概念從高位到低位反向擴展，把計數(shù)單位“1”不斷平均分成10份就產(chǎn)生了更小的分數(shù)和小數(shù)，從而構(gòu)成核心概念“十進制”計數(shù)法的整體結(jié)構(gòu)（如圖1）。整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都具有“滿十進一”和“位值計數(shù)”規(guī)則。不僅如此，教師還要引導學生通過探索體會小數(shù)概念（包含小數(shù)的意義和讀寫、小數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)的大小比較、小數(shù)的改寫）的建立，與核心概念“計數(shù)單位”以及計數(shù)單位的個數(shù)息息相關(guān)，認識到在這一點上小數(shù)概念的建立與整數(shù)、分數(shù)概念的建立是一致的。教學以核心概念為本，關(guān)聯(lián)了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的一致性，幫助學生整體建構(gòu)整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的符號表征系統(tǒng)。后續(xù)知識都會基于大單元核心概念生長和延展。

（三）分析思維結(jié)構(gòu)發(fā)展的邏輯機理

兒童思維結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是同生共長、相互融合的?！靶?shù)的意義和讀寫”一課是小數(shù)大單元教學中最重要、也是最基礎(chǔ)的一課。以這一課的教學為例，可以從直觀思維、程序思維、抽象思維、形式思維四方面推動兒童結(jié)構(gòu)性思維的動態(tài)發(fā)展。

1.直觀思維——問題情境引發(fā)思考

直觀思維是學生的基礎(chǔ)性思維。學生依靠生活經(jīng)驗、已有知識結(jié)構(gòu)和體驗，從對生活情境的直觀感悟中抽象出數(shù)學問題。教學中，教師借助學生熟悉的米尺和人民幣等具體實物，通過在米尺中尋找，并用分數(shù)和小數(shù)表示以分米、厘米、毫米為單位的長度數(shù)量，在1元中用小數(shù)表示同樣數(shù)值、不同貨幣單位的貨幣數(shù)量等活動，解釋小數(shù)的具體含義。學生基于生活經(jīng)驗和知識儲備，在真實、感性的問題情境中思考、學習。

2.程序思維——數(shù)形關(guān)聯(lián)促進建構(gòu)

程序思維是學生通過操作和語言表述，建立對數(shù)學概念的豐富表象，概括其共同屬性。教師請學生把正方形看作整體“1”，表示出正方形涂色部分代表的小數(shù)。把一個正方形平均分成10份，這樣的一份是0.1。當0.1的小長方形無法表示涂色部分時，認知沖突就會產(chǎn)生，學生會主動反思，繼續(xù)分下去，就會出現(xiàn)位數(shù)更多、更加精確的小數(shù)。學生經(jīng)歷比較、操作、描述、反思等一系列程序性探究，形成對數(shù)學概念的抽象表達和意義建構(gòu)。

3.抽象思維——多元表征形成結(jié)構(gòu)

抽象思維是學生在思考、提升過程中，剔除數(shù)學概念的非本質(zhì)屬性，將本質(zhì)屬性組合或進行符號表達，將概念以結(jié)構(gòu)的方式穩(wěn)定下來的思維方式。從用小數(shù)表征長度、貨幣受到的位數(shù)局限，到用小數(shù)表示正方形、數(shù)軸、正方體的涂色部分，學生經(jīng)歷動作表征、圖示表征、語言表征、綜合表征等，從用“數(shù)”表示到用“形”理解，表征小數(shù)的抽象程度在逐步提高。在把計數(shù)單位不斷“十分”的過程中，小數(shù)表達得也越來越精確。學生在明晰各要素關(guān)系的基礎(chǔ)上，經(jīng)過歸納提煉，上升到概念建構(gòu)的抽象思維階段。

4.形式思維——整體關(guān)聯(lián)融通認知

形式思維是學生通過建構(gòu)數(shù)學概念的模型結(jié)構(gòu)，回歸生活實踐，不斷反思、完善，循環(huán)演繹、拓展數(shù)學知識，實現(xiàn)思維從“局部零碎”向“整體關(guān)聯(lián)”躍升。教師在教學中，應(yīng)幫助學生理解小數(shù)的意義和讀寫與整數(shù)、分數(shù)一樣，表達的是計數(shù)單位和計數(shù)單位的個數(shù)，并引導學生建立整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)一體化的十進制計數(shù)法法則。從1開始向左不斷乘10，所表示的整數(shù)越來越大，計數(shù)單位也不斷擴大；向右一直延伸下去除以10，表示的小數(shù)和對應(yīng)的分數(shù)不斷變小，計數(shù)單位也會無限?。ㄈ鐖D1）。學生從統(tǒng)整視角融通對整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的認識，從而發(fā)現(xiàn)知識的整體脈絡(luò)，使認知立體化。

二、核心統(tǒng)整，突破思維進階節(jié)點

在教學中，學生的思維經(jīng)歷著從直觀思維、程序思維、抽象思維到形式思維的動態(tài)發(fā)展過程。思維進階是學生的認知不斷建立、打破、重組、建構(gòu)、深度建構(gòu)的螺旋上升過程。筆者認為學生思考的重要“節(jié)點”主要出現(xiàn)在：“接”已知經(jīng)驗認識未知、“越”認知沖突建構(gòu)新知、“破”認識迷思重組認知、“勾”知識關(guān)聯(lián)完善結(jié)構(gòu)、“拓”思維空間提升張力。以核心問題統(tǒng)整的課堂教學，聚焦教學的重難點，以結(jié)構(gòu)嚴密的問題群幫助學生理解知識體系內(nèi)在的意義和價值，從整體上揭示知識的形成和發(fā)展過程，突破學生的思維進階節(jié)點。下文結(jié)合“分數(shù)的意義”一課的核心問題來闡釋。

（一）統(tǒng)攝性問題——在思維方向未明時理“序”

統(tǒng)攝性問題，即研究知識本質(zhì)內(nèi)涵的問題，能挖掘?qū)W生的深層潛能，引發(fā)學生的深度探究，從而使學生從整體上把握知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。統(tǒng)攝性問題能幫助學生跨越認知沖突、建構(gòu)新知，打破認識迷思、重組認知，逐步提高學生的理解水平，獲得有價值的體驗。

“分數(shù)的意義”教學中，統(tǒng)攝性問題為：“分數(shù)的意義是什么？”教師出示問題：“將8個餅、4個餅平均分給4人，每人分到的餅為整數(shù)，而將1個餅平均分給4人，還能不能得到整數(shù)呢？”當平均分的結(jié)果不能用整數(shù)表示時，就產(chǎn)生了分數(shù)。“你能通過畫一畫、說一說表示出你理解的? ? 嗎？”學生概括出多種表征方法間的聯(lián)系，對分數(shù)意義的理解較為表面。教師隨即發(fā)問：“粉筆盒中放了5支紅粉筆和2支藍粉筆，5+2=？你還能找到哪些分數(shù)呢？”學生覺得此時的結(jié)果應(yīng)表示成1個整體，但5和2的和為7。學生跨越了認知沖突，單位“1”不是具體的某個數(shù)，而是一個集合。把單位“1”平均分成7份，5支粉筆就占了整體的? ?、2支粉筆就占了整體的? ?，而如果把5支粉筆作為單位“1”，那么7支粉筆就是5支粉筆的? ?。學生需要打破原有的認識迷思，重組認知，認識到分數(shù)表示的不僅是部分與整體的關(guān)系，而且是任意兩個數(shù)量間的倍比關(guān)系，進而抽象出分數(shù)的意義。課尾，教師進一步為學生創(chuàng)造了統(tǒng)攝性問題“思考閉環(huán)”的機會：“如果單位‘1分別為1個圓、2個圓、4個圓，那1個、2個、4個圓應(yīng)為單位‘1的幾分之幾呢？”在變換單位“1”時，份數(shù)關(guān)系順應(yīng)改變，體現(xiàn)出不同的分數(shù)；換個角度，同一個分數(shù)應(yīng)用的場景各不相同，卻體現(xiàn)不變的兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系。這正是分數(shù)大單元知識關(guān)聯(lián)的最核心之處，也是學生結(jié)構(gòu)化學習和后續(xù)深度探究的“命脈”。

（二）遞進性問題——在思考策略水平上進“階”

遞進性問題，指在核心問題揭示后，基于學生學習的“最近發(fā)展區(qū)”，促進學生反思自己的初始想法，幫助他們理解自己觀點背后的指導思想，推動學生思維向高階水平躍進的問題。遞進性問題可以幫助學生拓寬思維空間，提升思維張力，達到對知識的深度理解。

教師提問：“有2個紅圓、4個黃圓、6個白圓，里面有倍數(shù)關(guān)系嗎？”請學生盡可能多地寫出倍數(shù)關(guān)系。學生在前面問題的基礎(chǔ)上，綜合以前所學倍數(shù)關(guān)系的認知，串“知”成“網(wǎng)”，如：2個紅圓是12個圓形的6份中的1份，即

；反之，12個圓是2個圓的6倍。從低年級的具體事物用數(shù)表示，前進到中年級兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，擴展到高年級兩數(shù)之間的倍比關(guān)系，分數(shù)意義的實質(zhì)深刻明了。延展到分數(shù)與除法的關(guān)系、約分與通分及日后所學的百分數(shù)及比，皆以此為根基。

（三）關(guān)聯(lián)性問題——在思想方法一致處尋“根”

關(guān)聯(lián)性問題，指串聯(lián)起大單元知識的縱橫關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，幫助學生深度建構(gòu)并內(nèi)化知識體系的問題。關(guān)聯(lián)性問題可以幫助學生勾連知識、完善關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)，深度發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)知識體系。

“分數(shù)的意義”教學中，分數(shù)既然表示的是兩個數(shù)量之間的倍比關(guān)系，那么若干份中的一份即分數(shù)單位，分數(shù)單位的累加自然形成了分數(shù)。幾個幾分之一就是幾分之幾，份數(shù)取得多了，就有了整數(shù)和假分數(shù)。教師提問：“在累加的過程中你認為哪個分數(shù)最重要？”這一問題將分數(shù)學習與整數(shù)學習結(jié)合在一起，展現(xiàn)“數(shù)是數(shù)出來的”這一思想。課尾，教師提問：“兩張不同長度的紙條露出同樣長的部分，所占總長的比例（幾分之幾）卻不相同。哪根紙條更長呢？”學生需要通過分數(shù)的意義去反觀單位“1”的大小。部分量相同，但整體和部分的倍比關(guān)系差異導致單位“1”的變化。至此，原本困擾學生的“痛點”得到“疏通”，思維實現(xiàn)“結(jié)網(wǎng)”。

三、活動建模，提升學生關(guān)鍵能力

結(jié)構(gòu)化教學以兒童的主動性為根本，啟發(fā)學生在解決或完成指向明確、激發(fā)思辨、引發(fā)探究的問題或任務(wù)中，洞察數(shù)學知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，抓住核心問題進行系統(tǒng)性拓展，培養(yǎng)思維的邏輯性、深刻性、靈活性和創(chuàng)造性，有效提升關(guān)鍵能力的發(fā)展。

（一）元素關(guān)聯(lián)，融通知識結(jié)構(gòu)

在結(jié)構(gòu)化教學中，教師可以以核心知識為原點，通過活動建模，促進學生建立知識元素的有效關(guān)聯(lián)，使知識結(jié)構(gòu)趨于完善。“三角形的認識”教學中，教師為了讓學生更好地理解“高”的內(nèi)涵，設(shè)計了“請學生畫底為5厘米、高為3厘米的三角形”活動。學生畫出的三角形符合要求，而且形態(tài)豐富。教師隨即設(shè)疑：“如果把這些三角形底邊重合在一起，頂點再向右平移，底邊上的高會在哪里？”學生經(jīng)過數(shù)學事實的觀察、比較、分析、歸納、概括等，將數(shù)學材料進行“邏輯化組織”，挖掘三角形的高與形態(tài)的關(guān)聯(lián)，探索并構(gòu)建同底等高模型，厘清模型性質(zhì)并拓展抽象。學生將等積變形模型和平行線的知識有效重構(gòu)，探索發(fā)現(xiàn)了圖形與幾何領(lǐng)域核心概念底、高、面積、平行、垂直、角等內(nèi)部元素的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)。這也是未來進一步探索與研究面積差異與變化的理論基礎(chǔ)。這一過程有效地幫助學生理解圖形的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，發(fā)展了學生的空間觀念和抽象能力。學生能想象、感知并描述圖形的運動變化規(guī)律，抽象得到圖形的性質(zhì)，構(gòu)建出數(shù)學問題的直觀模型。

（二）實驗審辨，內(nèi)隱方法構(gòu)建

現(xiàn)實問題是學習的實驗場，學生應(yīng)成為實驗主體，基于核心知識內(nèi)容自身的邏輯性、結(jié)構(gòu)性，建立橫向與縱向的數(shù)學化過程?！敖堑亩攘俊币徽n的教學目標是正確使用量角器量角，需要從計量的本質(zhì)入手。創(chuàng)造量角器是讓學生建立計量學習的“規(guī)則性”與“整體性”的重要實驗。1°角的誕生與累加才能組成若干角度的角。量角器從需求到要素的集合，都需要學生根據(jù)經(jīng)驗，不斷克服困難、“漸進”設(shè)計和創(chuàng)造，這樣才能幫助學生讀準兩圈刻度。學生圍繞“如何量90°角”找尋1°角的大小，設(shè)計了90°量角器；圍繞“如何量鈍角”，設(shè)計了180°量角器；圍繞“如何快速讀出角度”，設(shè)計了兩圈刻度量角器，通過探尋任意角包含1°角的個數(shù)來快速正確地讀出角度，提升自我的審辨和反省水平。更為重要的是，本課將角的度量置于體系化的計量活動過程中，把角的度量和長度的度量、面積的度量并列安排，展現(xiàn)了定度量單位、創(chuàng)度量工具、用工具度量的過程，凸顯了度量實質(zhì)——若干計量單位的累加。通過進行聯(lián)想、類比和推理，學生的認知結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)有了整體的構(gòu)建，有效提升了量感和幾何直觀意識。

（三）系統(tǒng)塑“魂”，促成思維自能

把握核心，讓學生站在更上位、更統(tǒng)整的高度進行思考、辨析，培養(yǎng)學生用代數(shù)和幾何研究的基本思路進行思考，是結(jié)構(gòu)化教學的“魂”。轉(zhuǎn)化思想是小學數(shù)學中極其重要的思想，它把未知的問題轉(zhuǎn)化成已知的問題，把復雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，具有普遍的運用價值。教師應(yīng)引導學生運用轉(zhuǎn)化的思想進行學習，形成系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)，促成思維自能?！敖鉀Q問題的策略——轉(zhuǎn)化”教學中，教師引導學生經(jīng)歷等面積變形、等周長變形的過程，通過平移、旋轉(zhuǎn)把復雜、不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成簡單、規(guī)則的圖形，感受轉(zhuǎn)化策略的實際運用。教師還可以讓學生回憶平行四邊形、三角形、梯形面積計算公式的推導，發(fā)現(xiàn)“剪、移、拼”轉(zhuǎn)化方法在幾何圖形面積求解中的重要作用。這樣的教學不僅讓學生看到知識生長的本源，還預(yù)見到知識發(fā)展的樣態(tài)。在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提出問題“數(shù)的計算和表示也可以用轉(zhuǎn)化策略嗎”，讓學生通過轉(zhuǎn)化策略來解決代數(shù)和幾何領(lǐng)域的多種問題，并通過提煉建立起轉(zhuǎn)化的思維模型。這一過程有效提升了學生的模型意識和創(chuàng)新意識，使學生能運用思維模型探索數(shù)學問題，養(yǎng)成獨立思考的理性精神，深度發(fā)展數(shù)學思維。

知識地圖推動思維結(jié)構(gòu)發(fā)展，核心統(tǒng)整突破思維進階節(jié)點，活動建模提升學生關(guān)鍵能力。學生經(jīng)歷從元素關(guān)聯(lián)到方法融通，再到系統(tǒng)塑“魂”，實現(xiàn)對學習內(nèi)容的整體性、層次性把握以及自身認知結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)的重組、進階與發(fā)展，最終形成結(jié)構(gòu)意識和建構(gòu)能力，達到思維自能、深度學習的境界。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：1.

[2]鄭毓信.數(shù)學深度教學十講之五[J].小學數(shù)學教師，2019（12）：32.

責任編輯：丁偉紅