楊懷君, 周永衛(wèi), 劉 林

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,鄭州 450046)

0 引 言

三重積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重點和難點,特別是球面坐標(biāo)系下的三重積分的計算,球坐標(biāo)系在地理學(xué)、天文學(xué)中有著廣泛應(yīng)用.球面坐標(biāo)系下計算三重積分的一個關(guān)鍵點是講解清楚該坐標(biāo)系下的體積微元公式.熟練掌握三重積分特別是球面坐標(biāo)系下三重積分的計算是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個重要目標(biāo)[1-3],對學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)和邏輯思維能力的訓(xùn)練都有很大的幫助.文獻[4-5]從Jacobi變換的角度給出球面坐標(biāo)系下三重積分的體積微元公式,從而給出球面坐標(biāo)系下的三重積分的計算方法,這種方式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)容^抽象.現(xiàn)有的高等數(shù)學(xué)類教材都是從近似的角度出發(fā)[6],將體積的增量在不計高階無窮小的情況下將這個六面體看成長方體給出球面坐標(biāo)系下的體積微元公式.該方式盡管直觀但似乎又缺少一些嚴(yán)謹(jǐn).結(jié)合近幾年的教學(xué)實踐,從體積增量的角度出發(fā),給出一種既具體直觀而又不缺失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞絹斫o出球面坐標(biāo)系下三重積分的體積微元公式的研究成果還不多見.盡管在文獻[7]中給出了球面坐標(biāo)系中三重積分的體積元素的無窮小分析,但分析過程較為抽象,不易于學(xué)生的理解,本文以一種不僅具體直觀易于學(xué)生理解而又不缺失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治龅姆绞浇o出球面坐標(biāo)系中三重積分的體積元素的無窮小分析,這里所謂的具體直觀是通過MATLAB[8]繪圖讓體積增量直觀具體且形象,所謂的不失嚴(yán)謹(jǐn)是給出不計高階無窮小的理論分析.本文的結(jié)果將為球面坐標(biāo)系下的三重積分這個教學(xué)重點和難點提供一種簡單易教的教學(xué)思路和方式,具有一定的參考價值.

1 坐標(biāo)變換的方式

球面坐標(biāo)是以坐標(biāo)原點為參考點,由方位角θ、仰角φ和距離r構(gòu)成[4-6].這里,參數(shù)r,φ,θ的取值范圍為

從圖1中可以看出,當(dāng)r,φ,θ分別取常數(shù)時,其表示如下的特殊曲面,即r=常數(shù)表示以原點為球心的球面,φ=常數(shù)表示以原點為頂點且與z軸的夾角為φ的圓錐面,θ=常數(shù)表示過z軸的半平面.從圖1中不難看出,球面坐標(biāo)系(r,φ,θ)與直角坐標(biāo)系(x,y,z)之間有如下的變換關(guān)系:

圖1 球面坐標(biāo)系示意圖

從而,從球面坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的Jacobi變換矩陣為

Jacobi變換矩陣的行列式為

|J(r,φ,θ)|=cosφ(r2sinφcosφcos2θ+r2sinφcosφsin2θ)

+rsinφ(rsin2φcos2θ+rsin2φsin2θ)

=r2sinφcos2φ+r2sinφsin2φ=r2sinφ.

那么,在球面坐標(biāo)系下的體積微元公式[4-5]為

dV=dxdydz=r2sinφdrdφdθ.

(1)

2 體積增量的方式

上述方式從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治鰧用娼o出了球面坐標(biāo)系下的體積微元公式,但這種方式在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中學(xué)生并不容易理解,盡管上述過程簡潔,但不是很直觀.下面將從體積增量的角度,并結(jié)合具體圖形,形象直觀地來給出球面坐標(biāo)系下的體積微元公式 (1).

圖2 距離為r仰角為φ所圍的區(qū)域

由三重積分的幾何意義和柱面坐標(biāo)系的計算方法可以得出此閉區(qū)域Ω的體積為

先看當(dāng)距離r不變,仰角φ變化到φ+dφ,方位角θ的變化范圍為[0,2π]時,這時的體積改變量如圖3中的陰影部分.

從前面的推導(dǎo)過程,可以得出陰影部分的體積為

現(xiàn)在讓距離r變化到r+dr,方位角θ的變化范圍為[0,2π].此時當(dāng)仰角φ變化到φ+dφ時,又有一個類似于圖3中陰影部分的體積,這時的體積為

那么,當(dāng)距離r→r+dr,仰角φ→φ+dφ,方向角θ∈[0,2π]時,體積的改變量如圖4中的除去網(wǎng)格線的陰影部分所示,這部分的體積記為V增,則有

圖4 距離為r→r+dr仰角為φ→φ+dφ所圍區(qū)域

V增=[V(r+dr,φ+dφ)-V(r+dr,φ)]

-[V(r,φ+dφ)-V(r,φ)]

此時再考慮方位角θ→θ+dθ,如圖5深色陰影部分所示,這時的體積增量記為ΔV,這個體積的增量ΔV可看成垂直于xoy的平面截圖4深色陰影部分所得截面繞z軸旋轉(zhuǎn)了一個dθ的角度生成,而V增可看成截面繞z軸旋轉(zhuǎn)了一個2π的角度生成,根據(jù)角度的比例關(guān)系來確定切割[7],即

圖5 體積增量ΔV的示意圖

那么,可以得出

由和差化積公式,上式可化簡為

若記

接下來,需要證明α(dr,dφ,dθ)是dr→0,dφ→0,dθ→0時的高階無窮小[7].為此,記

α(dr,dφ,dθ)=α1(dr,dφ,dθ)+α2(dr,dφ,dθ)+α3(dr,dφ,dθ),

其中

從而可以得出

綜上,得到

因此,ΔV=r2sinφdrdφdθ+o(drdφdθ),進而如文獻[6]中所述,將這個增加的空間區(qū)域近似看為長方體是合理的,其體積微元公式為dV=r2sinφdrdφdθ.

3 結(jié) 論

文中以一種既直觀而又不失嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆绞浇o出球面坐標(biāo)系下三重積分的體積微元公式,一方面可以幫助學(xué)生更為深刻地理解球面坐標(biāo)系下的三重積分的計算,另一方面可以激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和動手實踐能力,通過動手進行MATLAB繪圖加深對球面坐標(biāo)系下三重積分體積微元公式的理解.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.