周施吉,唐 孝,趙容樂,梁艷玲

(1.四川師范大學數(shù)學科學學院,四川 成都 610066;2.四川師范大學智能信息與量子信息研究所,四川 成都 610066)

1 引言

隨著人類認知過程越來越復雜,人們難以用經(jīng)典集合來描述生活中的現(xiàn)象。例如,無法用經(jīng)典集合來清晰地描述長得高的人這個概念。為了解決這個難題,1965年,Zadeh教授[1]提出了模糊集,將對象達到某個概念的程度稱為隸屬度,以此來描述一些模糊概念。在此基礎上,1986年,Atanassov教授[2]提出了直覺模糊集,將對象達不到某個概念的程度稱為非隸屬度。和隸屬度一樣,非隸屬度都是介于0～1的實數(shù),但兩者的和卻不能超過1。假設隸屬度與非隸屬度的和為0.9,那剩下的0.1就被稱為猶豫度,以此來保留信息的不確定性。自直覺模糊集提出以來,受到了許多研究人員的高度關注,由于其表達不確定信息的能力出色,目前已被廣泛應用于決策問題[3-5]以及其它一些領域,如時間序列分析[6]、信息融合[7]等。

2009年,Yao教授[8,9]提出三支決策理論。三支決策將決策域一分為三,給決策者帶來更多決策選擇的同時還利用決策代價最小原則最大程度地為決策者降低決策風險。近年來,由于三支決策為人們做出決策提供了更好的選擇,因此得到了極大的發(fā)展。在模型構(gòu)建方面,Zhang等[10]基于效用理論提出了效用最大的三支決策規(guī)則。隨后,Wang等[11]同時考慮代價和效用,并將前景理論與三支決策理論進行了融合。2018年,Yao[12]認為在三支分類后還應采取相應的行動,最后取得了一定的效果。在直覺模糊環(huán)境中,Liang等[13]從積極和消極觀點討論了三支決策規(guī)則。Yang等[14]結(jié)合陰影集模型,給出了直覺模糊集的陰影集模型構(gòu)造方法,進而得到了一種新的直覺模糊三支決策方法。李小南等[15]分析了直覺模糊集的特點,并提出了一種新的直覺模糊相似度,隨后基于加權信息熵提出一種直覺模糊三支決策模型。Liu等[16]提出了直覺模糊環(huán)境下相對決策代價函數(shù)和條件概率的計算方法。隨后,Wang等[17]認為Liu等給出的條件概率計算方法要求的等價類過于嚴格,提出了基于概率優(yōu)勢關系的條件概率計算方法。然而,概率優(yōu)勢關系通過簡單的比較便將直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為具體的實數(shù),使直覺模糊數(shù)喪失了其描述不確定信息的能力,信息損失較大。Gong等[18]基于排位優(yōu)勢關系得到優(yōu)勢類,并使用直覺模糊數(shù)來表示條件概率,但給出的計算方法過于嚴格,使得決策結(jié)果過于保守。

基于上述研究背景,本文基于直覺模糊數(shù)之間的相互擾動,提出了一種更適合于直覺模糊集的擾動優(yōu)勢關系,并得到相應的擾動優(yōu)勢類,從而解決了現(xiàn)有優(yōu)勢關系要求過嚴和信息損失大的問題;然后,針對現(xiàn)有計算條件概率方法存在的不合理問題,基于擾動優(yōu)勢類提出了一種合理的直覺模糊條件概率的計算方法,并給出了相應的三支決策和多屬性決策規(guī)則;最后,針對本文提出的方法進行案例分析,并對參數(shù)進行靈敏度分析以說明本文方法的合理性。

2 基礎知識

2.1 直覺模糊集理論

定義1[2]設H是一個非空有限對象集,H上的一個直覺模糊集T可以表示為式(1):

(1)

(2)

(3)

其中,S(α)∈[-1,1],A(α)∈[0,1]。

(1) 如果S(α)>S(β),則αβ;反之,如果S(α)

(2) 如果S(α)=S(β),

①若A(α)>A(β),則αβ;

②若A(α)

2.2 三支決策理論

設H={h1,h2,…,hn}為對象集,n表示對象總數(shù),S={ζ,～ζ}為狀態(tài)集,[hi]為對象hi∈H的等價類。Pr(ζ|[hi])和Pr(～ζ|[hi])分別表示對象hi的等價類[hi]屬于狀態(tài)ζ和屬于狀態(tài)～ζ的條件概率,且滿足Pr(ζ|[hi])+Pr(～ζ|[hi])=1。采取接受aP、猶豫aB和拒絕aN行動的代價函數(shù)如表1所示,其中λ*P(*∈{P,B,N})分別表示對象hi的等價類[hi]在狀態(tài)ζ下采取接受aP、猶豫aB和拒絕aN行動的代價函數(shù),且滿足λPP<λBP<λNP,λ*N(*={P,B,N})分別表示對象hi的等價類[hi]在狀態(tài)～ζ下采取接受aP、猶豫aB和拒絕aN行動的代價函數(shù),且滿足λNN<λBN<λPN。

那么期望代價如式(4)所示:

(4)

根據(jù)貝葉斯決策代價最小原則,Yao[8]給出如下決策規(guī)則(P)～(N):

(P)若I(aP|[hi])≤I(aB|[hi]),且I(aP|[hi])≤I(aN|[hi]),那么hi∈Pos(ζ);

(B)若I(aB|[hi])≤I(aP|[hi]),且I(aB|[hi])≤I(aN|[hi]),那么hi∈Bnd(ζ);

(N)若I(aN|[hi])≤I(aP|[hi]),且I(aN|[hi])≤I(aB|[hi]),那么hi∈Neg(ζ)。

Table 1 Loss function matrix表1 代價函數(shù)矩陣

3 直覺模糊擾動優(yōu)勢關系及其應用

本節(jié)提出直覺模糊優(yōu)勢關系,討論相關性質(zhì),然后將其運用于計算三支決策條件概率中,得到三支決策規(guī)則。

3.1 直覺模糊擾動優(yōu)勢關系

稱為α對β的擾動;反之,稱

為β對α的擾動。

定義6[22]設T1和T2為非空有限集H={h1,h2,…,hn}上的2個直覺模糊集,并且α(hi)∈T1,β(hi)∈T2,L:T1×T2→[0,1]是一個二元映射,將L(T1,T2)稱為T1→T2的擾動度,滿足式(5):

(5)

從定義6可以看到,直覺模糊集T1對直覺模糊集T2的擾動度L(T1,T2)為一個區(qū)間數(shù),不失一般性,本文將區(qū)間的中點作為直覺模糊擾動度,如式(6)所示:

(6)

例1設2個直覺模糊數(shù)為α=(0.7,0.1),β=(0.2,0.6),那么α對β的擾動γα→β=(0.6,0.2),擾動度L(α,β)=0.7;反過來,β對α的擾動γβ→α=(0.1,0.7),擾動度L(β,α)=0.2。

從例1可以看到,直覺模糊數(shù)之間的擾動是不對稱的。利用此不對稱性,本文提出如下擾動優(yōu)勢度的定義和擾動劣勢度的定義:

②當

②當

從定義7可以看出,對象hi在屬性子集D下對hj為擾動優(yōu)勢或擾動劣勢的基準為自身對自身的擾動度,如果自我擾動度高于對其他對象的擾動度,則表現(xiàn)為擾動優(yōu)勢;反之,如果自我擾動度低于對其他對象的擾動度,則表現(xiàn)為擾動劣勢。由此,考慮擾動優(yōu)勢,就可以定義擾動優(yōu)勢關系。

(7)

(8)

根據(jù)擾動優(yōu)勢類的定義,可以給出以下幾條性質(zhì):

性質(zhì)1對?hi∈H,當δ=0時,

從性質(zhì)1可以看出,只有當δ=0時對象hi才是自己的擾動優(yōu)勢類;性質(zhì)2說明擾動優(yōu)勢類之間具有傳遞性;性質(zhì)3說明優(yōu)勢程度越大,擾動優(yōu)勢關系和擾動優(yōu)勢類會減小。

3.2 條件概率計算及三支決策規(guī)則

本節(jié)將3.1節(jié)提出的擾動優(yōu)勢關系替換等價關系,并基于優(yōu)勢類提出一種由直覺模糊數(shù)表示的條件概率的計算方法,最后給出相應的決策規(guī)則。

(9)

(10)

從定義10可以看到,本文所定義的條件概率不同于一般條件概率為實數(shù)的情況。對象hi的條件概率

在直覺模糊信息系統(tǒng)中,Gong等[18]認為條件概率應滿足式(11):

(11)

(12)

由定義2知式(13)滿足,

(13)

所以,可以容易得到式(14):

(14)

下面,給出三支決策和多屬性決策規(guī)則。

(15)

根據(jù)貝葉斯決策代價最小原則,給出如下相應的決策規(guī)則(P1)～(N1):

Table 2 Loss function matrix of hi表2 對象hi代價函數(shù)矩陣

對于同一決策域內(nèi)的對象,決策代價小的對象應該優(yōu)于決策代價大的對象?；谶@個思想,結(jié)合Pos(ζ)Bnd(ζ)Neg(ζ),給出的多屬性排序規(guī)則(D1)～(D3)如下所示:

4 實例分析

4.1 模型檢驗

為了說明本文所提方法的有效性和合理性,本節(jié)借助文獻[16]提出的樣本采購案例進行檢驗。

例2一家核心制造企業(yè)為了選擇合適的產(chǎn)品部件供應商,經(jīng)過市場調(diào)查、專家評估等程序確定了10家備選供應商。用hi來表示第i家供應商,則H={h1,h2,…,hn}為論域。專家著重考察了這10家備選供應商的技術水平a1,服務水平a2,業(yè)務能力a3以及企業(yè)環(huán)境a4,即A={a1,a2,a3,a4}為屬性集,其中屬性權重?={0.22,0.22,0.36,0.2}T,在風險規(guī)避系數(shù)θ={0.3,0.1,0.4,0.2}下的評價信息及相對決策代價如表3所示。

根據(jù)定義7,可以得到各個對象之間的擾動度。取定δ=0,根據(jù)定義8確定擾動優(yōu)勢關系,從而得到對象hi在屬性集A下的擾動優(yōu)勢類為:

Table 3 Intuitionistic fuzzy information system and the loss function of hi表3 直覺模糊信息系統(tǒng)與對象hi的相對代價函數(shù)

根據(jù)定義10,結(jié)合評價信息表3,可以計算得到各個對象hi的直覺模糊條件概率如下:

因此,可以得到三支決策結(jié)果Pos(ζ)={h2,h4,h5,h8,h9},Bnd(ζ)={h1,h3,h6,h7,h10}和Neg(ζ)=?;多屬性決策排序結(jié)果:h4h5h8h2h9h7h1h6h3h10。

在得到三支決策結(jié)果后需分別給出正域、邊界域和負域中元素應該采取的方案。因此,對于正域中的對象應按照h4h5h8h2h9的順序采取接受決策;對于邊界域中的對象應按照h7h1h6h3h10的順序采取猶豫決策,專家可繼續(xù)調(diào)查了解或根據(jù)其它指標來進一步對它們進行評估;而對于拒絕域內(nèi)的對象,應采取拒絕決策的策略。

為進一步說明本文所提方法的有效性和合理性,將本文結(jié)果與文獻[16-18]方法的結(jié)果進行了對比,如表5和圖1所示。從三支決策結(jié)果對比可以看出,本文結(jié)果與文獻[16]結(jié)果總體是一致的,由于本文是通過構(gòu)建擾動優(yōu)勢關系從而得到直覺模糊條件概率,因此本文方法更優(yōu);并且本文決策過程中不依賴于其它非全序的排序函數(shù),而文獻[16,17]都依賴于理想正度,事實上,這可能會導致決策結(jié)果違反直覺,進而也說明了本文方法的合理性。文獻[17]也采用了相對于等價關系更弱的概率優(yōu)勢關系,因此,本文結(jié)果與文獻[17]的結(jié)果是非常相似的,這說明了本文所提方法是合理的、有效的,更適合于直覺模糊信息系統(tǒng);由于文獻[18]基于排位優(yōu)勢關系得到的結(jié)果過于保守,并且沒有給出需要采取接受行動的對象,所以本文結(jié)果明顯優(yōu)于文獻[18]的。從多屬性排序結(jié)果來看,除了與文獻[18]結(jié)果差異比較大以外,與文獻[16,17]結(jié)果差異較小,且最優(yōu)對象都為h4。

4.2 靈敏度分析

本節(jié)將討論優(yōu)勢程度δ與文獻[16]中風險規(guī)避系數(shù)θ對三支決策結(jié)果和多屬性排序的影響。

由性質(zhì)3可知,隨著優(yōu)勢程度的增大,優(yōu)勢類會逐漸減小,并且當δ>0時,對象hi本身不再屬于自己的優(yōu)勢類,因此會造成某個最優(yōu)對象優(yōu)勢類為空集,如取定δ=0.2,得到對象hi在屬性集A下的優(yōu)勢類為:

Table 4 Expectation cost and decision results表4 期望代價與決策結(jié)果

Table 5 Results comparison of three-way decision 表5 三支決策結(jié)果對比

Figure 1 Results comparison of multi-attribute decision-making圖1 多屬性決策結(jié)果對比

可以看到,對象h4的優(yōu)勢類為空集,并且所有優(yōu)勢類都滿足性質(zhì)3,即隨著優(yōu)勢程度的增大,各優(yōu)勢類中的優(yōu)勢對象呈現(xiàn)簡單化的趨勢,例如,對比δ=0和δ=0.2時各對象的優(yōu)勢類也正是如此變化。對多屬性決策過程而言,由于優(yōu)勢對象逐漸減少,在條件概率的計算過程中信息損失就會逐漸增大,并且隨著優(yōu)勢關系變得嚴格,各個對象的條件概率會越來越大,因此正域中的對象會增多,相應的邊界域或負域的對象會逐漸減少。

基于上述分析發(fā)現(xiàn),隨著優(yōu)勢程度δ的增大,將對三支決策結(jié)果產(chǎn)生影響。下面將討論優(yōu)勢程度δ對多屬性決策的影響。

從表6可以看出,隨著優(yōu)勢程度δ逐漸增大,對象h4始終都是最優(yōu)選項,h5次之,并且隨著正域、邊界域和負域跟隨δ的變化,多屬性決策結(jié)果也有微弱的變化。當δ=0.7～1時,優(yōu)勢關系趨于固定,各對象的優(yōu)勢類也不再變化,因此三支決策結(jié)果和多屬性排序結(jié)果也不再發(fā)生改變。

Table 6 Influence of degree of dominance δ on multi-attribute decision表6 優(yōu)勢程度δ對多屬性決策的影響

接下來,在優(yōu)勢程度δ=0時考慮風險規(guī)避系數(shù)θ對決策結(jié)果的影響。利用文獻[16]中對決策代價的計算方法,本文考慮了不同風險規(guī)避系數(shù)θj對三支決策結(jié)果的影響,結(jié)果如表7所示。

從表7可以看到,當風險規(guī)避系數(shù)θj∈[0,0.1](j=1,2,3,4)時,所有對象均在邊界域內(nèi)。隨著風險規(guī)避系數(shù)θj逐漸增大到0.45,邊界域在逐漸減小,正域在逐漸增大,而負域一直為空集。對于決策者而言,可以根據(jù)實際情況確定合適的風險規(guī)避系數(shù),從而做出最優(yōu)的決策。

Table 7 Influence of risk avoidance coefficients θj on three-way decision表7 風險規(guī)避系數(shù)θj對三支決策的影響

5 結(jié)束語

目前,越來越多的研究人員致力于三支決策中代價函數(shù)和條件概率的算法研究,他們已不滿足于傳統(tǒng)的嚴格的等價關系,試圖通過更弱一點的優(yōu)勢關系來建立決策粗糙集模型。因此,本文基于直覺模糊擾動度提出了擾動優(yōu)勢關系,并將其用于三支決策過程中。實例驗證分析表明,本文方法能取得較好的決策結(jié)果。此外,擾動優(yōu)勢關系由于能更好地區(qū)分對象間的差異信息,還可應用于屬性約簡等其它領域,也可以基于擾動劣勢度提出擾動劣勢關系,并繼續(xù)探索擾動劣勢關系的應用背景。另外,還可以將擾動優(yōu)勢關系與擾動劣勢關系結(jié)合開展進一步的研究。