單小燕

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)教學(xué)既要關(guān)注學(xué)生知識(shí)與技能的培養(yǎng)，又要重視學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力的提高. 要想培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力，教師切勿大包大攬，應(yīng)從學(xué)生已有認(rèn)知水平出發(fā)，通過(guò)有效“留白”為學(xué)生提供一個(gè)開(kāi)放的、平等的學(xué)習(xí)空間，以此讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考和合作探究獲得更為廣泛的、深刻的數(shù)學(xué)理解，從而有效地提升“教”與“學(xué)”的品質(zhì)，打造別樣精彩課堂.

［關(guān)鍵詞］ 留白；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)思考；探究

中國(guó)書畫作品中通過(guò)“留白”盡顯美之韻味，給觀賞者留下一個(gè)無(wú)限遐想的空間. 數(shù)學(xué)教學(xué)亦是如此，在教學(xué)中給學(xué)生留一些遐想的空間，讓學(xué)生通過(guò)思考、探索、感悟來(lái)體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美，有助于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 不過(guò)，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，為了趕時(shí)間、趕進(jìn)度，課堂教學(xué)大多以教師講授為主，留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間較少，從而使得數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)機(jī)械、消極. 要知道，數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，只有思維參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)才是有價(jià)值的. 當(dāng)然，“留白”并不是放任自流，若在教學(xué)中頻繁地“留白”，容易限制學(xué)生思維的發(fā)展，影響學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，可見(jiàn)“留白”需要教師深思熟慮. 教師要結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際精心設(shè)計(jì)“留白”，從而使課堂教學(xué)張弛有度，既能順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

眾所周知，好的課堂并不是讓學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)，而是讓學(xué)生主動(dòng)地獲取知識(shí). 為了調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、主動(dòng)探究、主動(dòng)獲取，教師就不能大包大攬，應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨(dú)立思考的空間. 而課堂教學(xué)中的有效“留白”恰好為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了獨(dú)立思考的空間，其既有助于促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，又有助于“和諧、民主、開(kāi)放”的高效課堂建構(gòu). 那么，教師應(yīng)如何設(shè)計(jì)“留白”來(lái)成就精彩的、高效的課堂呢？

導(dǎo)課中“留白”激興趣

引入是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要一環(huán). 在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際精心預(yù)設(shè)課堂導(dǎo)入內(nèi)容，從而在教學(xué)之初就緊緊吸引學(xué)生的注意力，以此促進(jìn)課堂知識(shí)的生成. 值得注意的是，在引入環(huán)節(jié)教師不應(yīng)直接將結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)設(shè)計(jì)一些懸念，誘發(fā)學(xué)生思考，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲.

1. 備課“留白”，預(yù)設(shè)探究空間

教師在備課時(shí)不僅要備教材，還要備學(xué)生，知曉學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，只有這樣才能設(shè)計(jì)有效“留白”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題. 不過(guò)，在教學(xué)中，大多數(shù)教師喜歡包辦代替，這樣學(xué)生的思路被教師牽著走，難以真正地參與課堂. 為了改變這一現(xiàn)象，教師在備課時(shí)不妨嘗試運(yùn)用“留白”，將一些提出問(wèn)題的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并自主探究，尋求解決問(wèn)題的不同方法，讓學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中感知、頓悟. 當(dāng)然，教師要對(duì)學(xué)生可能提出的問(wèn)題進(jìn)行大體預(yù)測(cè)，并設(shè)計(jì)一些應(yīng)對(duì)策略，以確保教學(xué)計(jì)劃順利實(shí)施，教學(xué)目標(biāo)順利實(shí)現(xiàn).

2. 導(dǎo)入“留白”，激發(fā)探究熱情

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師要知道哪些內(nèi)容該講，哪些內(nèi)容可以留著不講. 不講的內(nèi)容不是說(shuō)它不重要，而是該部分內(nèi)容符合學(xué)生的認(rèn)知，可以通過(guò)啟發(fā)和指導(dǎo)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、提出并解決. 因此，在引入新知環(huán)節(jié)，教師應(yīng)該設(shè)計(jì)一些懸念，利用一些既“夠得著”又必須“跳一跳”的問(wèn)題來(lái)激發(fā)學(xué)生的探究欲，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí).

例1? “一元一次不等式”新知引入.

問(wèn)題情境：某市籃球聯(lián)賽的票價(jià)為20元/人，若滿20人以上（含20人）可以購(gòu)買團(tuán)體票，團(tuán)體票享八折優(yōu)惠. 現(xiàn)有18人去觀看比賽，請(qǐng)問(wèn)需要準(zhǔn)備多少錢？

生1：360元. （該生不假思索地回答）

師：很好，生1是如何購(gòu)票的？

生（齊）：按照零售價(jià)購(gòu)票，20×18=360（元）.

師：還有沒(méi)有花費(fèi)更少的購(gòu)票方案呢？

生2：可以按照?qǐng)F(tuán)購(gòu)方案購(gòu)買，購(gòu)買20張門票只需320元，比按照零售價(jià)購(gòu)買更劃算.

師：非常好，真是有“比較”才有最優(yōu)，“比較”就是我們本節(jié)課的核心詞匯.

導(dǎo)入留白 若x名學(xué)生購(gòu)買團(tuán)體票（x<20），當(dāng)x滿足什么條件時(shí)買20張門票反而花更少的錢呢？你能利用不等式求解嗎？

生3：20x>20×20×0.8.

師：如何解呢？

設(shè)計(jì)意圖? 從學(xué)生熟悉的購(gòu)票情境出發(fā)，借助“買更多花更少”引發(fā)認(rèn)知沖突，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思考的空間，引導(dǎo)學(xué)生利用不等式模型解決生活問(wèn)題.

初中生已具有一定的分析和解決問(wèn)題的能力，教師要相信學(xué)生，為學(xué)生提供一定的探究空間，鼓勵(lì)他們主動(dòng)尋找解決問(wèn)題的方案，以此激發(fā)學(xué)生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心. 如在本案例的教學(xué)中，教師先是從學(xué)生認(rèn)知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有時(shí)多買反而更省錢，從而引發(fā)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在解決沖突的過(guò)程中通過(guò)自主探索獲得不等式模型，由此引出本課的主題. 以上教學(xué)過(guò)程既順應(yīng)了學(xué)生思維的發(fā)展，又有效地激發(fā)了學(xué)生的求知欲，有助于教學(xué)效率的提升.

探知中“留白”促生成

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要通過(guò)自主探究經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，從而獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，完善個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu). 不過(guò)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成的過(guò)程是曲折的，此過(guò)程離不開(kāi)教師的啟發(fā)和指導(dǎo). 為了更好地啟發(fā)學(xué)生自主探究，教師可以在問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)處“留白”，這樣不僅可以喚起學(xué)生的探究欲，而且可以直指數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生更加深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，建立正確的認(rèn)知.

1. 問(wèn)題生成處“留白”，激發(fā)探究欲

問(wèn)題在誘發(fā)學(xué)生思考、激發(fā)學(xué)生潛能、提升學(xué)生探究欲、提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力等方面具有重要的價(jià)值. 不過(guò)在實(shí)踐教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)教師覺(jué)得課堂時(shí)間寶貴，為了避免學(xué)生走彎路，或不想讓學(xué)生的突發(fā)奇想打亂教學(xué)預(yù)設(shè)，教師在提出問(wèn)題后并沒(méi)有給足學(xué)生思考的時(shí)間就急著讓學(xué)生回答或自問(wèn)自答，這樣不僅削弱了問(wèn)題的思考價(jià)值，而且影響了學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升. 因此，教師在提問(wèn)后應(yīng)適當(dāng)停頓，為學(xué)生提供一定的思考空間，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)自由展示的舞臺(tái)，以此充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程. 且通過(guò)互動(dòng)交流，學(xué)生既可以更好地認(rèn)識(shí)自己，又可以感知他人的想法，從而提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，并獲得更深層次的頓悟，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì).

例2? 某水果超市以2.5元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批蘋果，并在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提價(jià)20%出售.

（1）該超市蘋果的售價(jià)為_(kāi)____元/千克；

（2）每賣出1千克蘋果可以獲利_____元；

（3）該超市銷售蘋果的利潤(rùn)率是______.

試題給出后教師并沒(méi)有讓學(xué)生急于尋求答案，而是讓學(xué)生思考如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：分別寫出商品的進(jìn)價(jià)、售價(jià)、利潤(rùn)，思考如何計(jì)算商品的利潤(rùn)率.

問(wèn)題2：為了加快銷售速度，防止因蘋果腐爛而造成損失，該超市決定按售價(jià)的八折出售，此時(shí)蘋果的售價(jià)是多少？

問(wèn)題3：超市開(kāi)始在進(jìn)貨價(jià)的基礎(chǔ)上提價(jià)20%出售，后面受季節(jié)等因素的影響按照售價(jià)的八折出售，那么該超市出售該商品是否獲利了？

以上是教師在教學(xué)“一元一次方程應(yīng)用”時(shí)精心設(shè)計(jì)的一道探究題，旨在通過(guò)由易到難、由舊推新、由具體到抽象的問(wèn)題來(lái)引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生始終處于積極的、主動(dòng)的探索氛圍之中，從而提升教學(xué)效率.

2. 重難點(diǎn)處“留白”，展示思維過(guò)程

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多教師經(jīng)常有這樣的困惑：對(duì)于一些重難點(diǎn)知識(shí)，教師反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生反復(fù)練習(xí)，但是學(xué)生在解題時(shí)依然是“一錯(cuò)再錯(cuò)”. 是什么原因造成了這一現(xiàn)象呢？其主要原因是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中缺少獨(dú)立思考的過(guò)程，從而出現(xiàn)了“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象. 其實(shí)，教師在講解重難點(diǎn)內(nèi)容時(shí)，有時(shí)候不需要特意強(qiáng)調(diào)，更不需要越俎代庖，可以故意保留一些內(nèi)容，讓學(xué)生自己去思考、去探索、去感悟，允許學(xué)生犯錯(cuò)，并讓學(xué)生在錯(cuò)中反思、頓悟，深化對(duì)知識(shí)的理解.

例3? 圖1為一個(gè)長(zhǎng)20米、寬12米的草地，草地內(nèi)有一條寬1.5米的小路，你能求出草地的實(shí)際種植面積嗎？說(shuō)一說(shuō)你的理由.

例3主要考查學(xué)生對(duì)平移變換的理解，在之前的教學(xué)中，教師嘗試通過(guò)“反復(fù)講”來(lái)幫助學(xué)生理解，效果一般. 受思維定式的影響，學(xué)生在計(jì)算種植面積時(shí)習(xí)慣用總面積減去陰影面積，但對(duì)于這條曲折的小路，很難直接計(jì)算出其面積，所以很多學(xué)生在解決本題時(shí)束手無(wú)策，可見(jiàn)學(xué)生并沒(méi)有真正理解平移變換的本質(zhì). 為了幫助學(xué)生主動(dòng)探索并突破這一難點(diǎn)，教師借助變式讓學(xué)生頓悟.

變式問(wèn)題：如圖2①所示，將線段AA向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到BB，得到封閉圖形AABB（陰影部分）；如圖2②所示，將折線AAA向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到BBB，得到封閉圖形AAABBB（陰影部分）.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2③中畫一條有2個(gè)折點(diǎn)的折線，將其向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，畫出封閉圖形，并用陰影表示.

（2）設(shè)圖2中4個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)均為a、寬均為b，你能求出各圖形的面積嗎？（陰影部分除外，圖④中小路的寬為1）

借助變式，將問(wèn)題進(jìn)行整合，能讓學(xué)生從整體的角度去思考和解決問(wèn)題，這樣不僅有利于學(xué)生突破教學(xué)重難點(diǎn)，而且能讓學(xué)生通過(guò)自主探究發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的規(guī)律.

在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該創(chuàng)設(shè)一些有思考價(jià)值的問(wèn)題誘發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生站在更高的角度理解問(wèn)題，切勿通過(guò)“填鴨”式教學(xué)剝奪學(xué)生思考的權(quán)利. 教師要善于借助有效“留白”激發(fā)學(xué)生的探究欲，以此突破教學(xué)重難點(diǎn).

3. 思維障礙處“留白”，突破思維局限

因個(gè)人認(rèn)知水平、思維習(xí)慣等方面存在差異，學(xué)生思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法也會(huì)存在差異. 在教學(xué)中教師要合理利用個(gè)體差異，讓不同思維在爭(zhēng)論中碰撞出火花，進(jìn)而豐富學(xué)生的認(rèn)知，彌合個(gè)體思維的缺陷，點(diǎn)燃學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，讓學(xué)生逐漸建構(gòu)個(gè)體完善的認(rèn)知. 為了達(dá)到以上教學(xué)效果，教師可以在某個(gè)問(wèn)題的焦點(diǎn)處“留白”，為學(xué)生提供時(shí)間和空間去爭(zhēng)論，讓學(xué)生在爭(zhēng)論中使思維完整.

例4? 如圖3所示，兩拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱. 若AB∥x軸，AB=4 cm，最低點(diǎn)C在x軸上，高CH=1 cm，BD=2 cm，則拋物線DFE的函數(shù)解析式為（ ? ? ）

從學(xué)生的課堂反饋來(lái)看，該題的正確率不高. 分析原因發(fā)現(xiàn)，有的學(xué)生是想直接根據(jù)已知求拋物線DFE的函數(shù)解析式，但是因?yàn)橐阎獥l件不足而未能順利求解；有的學(xué)生先求拋物線ACB的函數(shù)解析式，然后運(yùn)用軸對(duì)稱解決問(wèn)題，但是因?yàn)闆](méi)有準(zhǔn)確求出拋物線ACB的函數(shù)解析式而造成錯(cuò)誤；有的學(xué)生準(zhǔn)確地求出了拋物線ACB的函數(shù)解析式，但是在求拋物線DFE的函數(shù)解析式時(shí)思維受阻最終沒(méi)有順利求解. 學(xué)生通過(guò)互動(dòng)交流可以解決上述問(wèn)題，為此教師將探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)爭(zhēng)論突破難點(diǎn).

師：與其他同學(xué)交流一下你的解題過(guò)程，思考一下自己的錯(cuò)誤出在哪里，應(yīng)該如何求解.

生1：若想求拋物線DFE的函數(shù)解析式，需要知道D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知無(wú)法直接求出，但拋物線ACB和拋物線DFE關(guān)于y軸對(duì)稱，這樣根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，先求得A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo). 不過(guò)，在解題時(shí)我忽略了拋物線ACB的作用，一味地在拋物線DFE中掙扎，所以沒(méi)有找到解題的突破口，最終“走投無(wú)路”.

生2：還可以先求出拋物線ACB的函數(shù)解析式，然后根據(jù)軸對(duì)稱求拋物線DFE的函數(shù)解析式. 我在解題時(shí)因?yàn)檫\(yùn)算馬虎，得到了錯(cuò)誤的拋物線ACB函數(shù)解析式，從而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.

師：很好，從以上兩種解法可以看出，本題若想求解少不了利用軸對(duì)稱的性質(zhì).

師：求拋物線解析式時(shí)，你用的是什么方法？

生3：三點(diǎn)法，求出D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用解方程組的思路求解.

生4：兩根式，結(jié)合圖象可知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上.

生5：頂點(diǎn)式，根據(jù)選項(xiàng)容易發(fā)現(xiàn)其最終的結(jié)果為頂點(diǎn)式，這樣就不需要后期再進(jìn)行轉(zhuǎn)化了，有助于提高解題效率.

通過(guò)平等的交流、爭(zhēng)論，學(xué)生找到了適合自己的最優(yōu)解決方案，此時(shí)教師已經(jīng)沒(méi)有再進(jìn)行講評(píng)的必要了. 可見(jiàn)，在講評(píng)錯(cuò)題時(shí)，給學(xué)生一定的時(shí)間和空間去回顧、思考、交流，往往可以收獲得更多. 思辨“留白”，能讓不同思維相互碰撞. 學(xué)生通過(guò)相互學(xué)習(xí)，不僅糾正了錯(cuò)誤，而且發(fā)現(xiàn)了解決問(wèn)題的不同策略，他們?cè)跔?zhēng)論和辨析中完善和升華了自身的思維.

總之，教師要認(rèn)真研究教材、研究學(xué)生、研究教學(xué)，巧妙地應(yīng)用“留白”讓學(xué)生有所思、有所悟、有所獲，以此讓學(xué)生的思維向著更廣闊、更靈活、更深刻的層次發(fā)展，從而有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，打造精彩的數(shù)學(xué)課堂.