哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院 張椿悅

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出,學(xué)科核心素養(yǎng)是育人的集中體現(xiàn),解題教學(xué)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一.教師要注重對教材內(nèi)容的解讀與分析,夯實學(xué)生基礎(chǔ)知識,提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力;同時,教師不僅要向?qū)W生傳授教材基本知識,還要引導(dǎo)學(xué)生拓展解題技巧,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、邏輯推理能力.在解題教學(xué)過程中,設(shè)置適合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的問題,關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展,重視一題多解,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一般的解題方法并思考可能的特殊方法,有意識地向?qū)W生滲透常用的數(shù)學(xué)思想方法,以此在教師維度關(guān)注學(xué)生思維發(fā)展,提升學(xué)生解題能力.

1 夯實基礎(chǔ)知識,構(gòu)建聯(lián)想基礎(chǔ)

基礎(chǔ)知識的運(yùn)用是解題過程中最為關(guān)鍵的一個環(huán)節(jié),無論對何種水平的學(xué)生來說都是至關(guān)重要的.沒有牢固的基礎(chǔ)知識作支撐,學(xué)生無法在題目中抽象出數(shù)學(xué)概念、建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,也會由于無法調(diào)動舊知而在解題過程中繞圈子.有些優(yōu)等學(xué)生認(rèn)為做基礎(chǔ)題是浪費(fèi)時間,但作為教師要認(rèn)識到并不是只有難題才是“好題”.有時也難免會有一些優(yōu)秀學(xué)生因為過于關(guān)注難題的訓(xùn)練而忽視了基礎(chǔ)的重要性,在面對一些常規(guī)問題時繞不出來“難”的怪圈,把簡單問題復(fù)雜化.

圖1

=8.

本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算(非坐標(biāo))、數(shù)量積定義、三角形的垂心及平面向量共線的知識.應(yīng)用平面向量共線定理,結(jié)合平面向量運(yùn)算的知識可以求得三角形邊AB,AC的關(guān)系.解決本題的先決條件是學(xué)生要對平面向量共線定理及其推論非常熟悉,識別出共線的“爪形”結(jié)構(gòu),從而通過已知條件推出三角形的邊AB,AC的關(guān)系,進(jìn)而解題.本題也反映出扎實掌握基礎(chǔ)知識、理解本質(zhì)、熟悉知識的結(jié)構(gòu)與形式將更有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等能力,所以教師在教學(xué)過程中要充當(dāng)好引導(dǎo)者的角色,重視學(xué)生對基礎(chǔ)知識的內(nèi)化,習(xí)題講解時注重設(shè)置問題情境,啟發(fā)學(xué)生思考.

2 “通法”雪中送炭,“巧解”錦上添花

所謂通法,通常指解決某類問題的常規(guī)方法,這類方法以基礎(chǔ)知識為依據(jù),往往容易理解,對大多數(shù)學(xué)生來說也容易掌握.“巧解”的關(guān)鍵在于“巧”,對于某類習(xí)題也可以打破常規(guī),化繁為簡,避開某些通法所涉及到的冗長計算,這種方法靈活性強(qiáng),有助于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維.教學(xué)過程中教師應(yīng)該重視一題多解,在重基礎(chǔ)、講通法的同時,也要兼顧到“巧解”的引導(dǎo)和介紹.注意“巧解”并非是萬能的,要引導(dǎo)學(xué)生在重視通法的基礎(chǔ)上兼顧巧解,否則可能會導(dǎo)致弄“巧”成拙的局面,即通法一觸即發(fā),而固化思維卻一直在尋求所謂的“巧解”.

圖2

本題解法靈活多樣,教學(xué)過程中要強(qiáng)調(diào)一題多解,引導(dǎo)學(xué)生從多角度分析問題,讓他們在同一數(shù)學(xué)情境中強(qiáng)化對基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用.

例4已知a,b是單位向量,a·b=0,若c滿足|c-a-b|=1,求|c|的取值范圍.

分析：本題設(shè)有單位向量且二者垂直,可聯(lián)想到坐標(biāo)法,設(shè)點C的坐標(biāo),由|c-a-b|=1求出|c|的范圍.由于向量模塊集幾何與代數(shù)于一體,很多問題都可以通過幾何與代數(shù)相結(jié)合的形式來破解,如本題也可通過畫出c,a+b構(gòu)成的向量三角形求解.

解法一：由題意知單位向量a,b垂直,不妨設(shè)a=(0,1),b=(1,0).

該方程表示點C在以(1,1)為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動.

圖3

解法三：從代數(shù)角度分析.

記c-a-b=d,則c=a+b+d.

3 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng),實現(xiàn)知識互聯(lián)

數(shù)學(xué)家泰勒曾說過:“有豐富知識和經(jīng)驗的人,會比只有一種知識和經(jīng)驗的人更能產(chǎn)生新的想法和獨(dú)到的見解.”良好的聯(lián)想能力能夠促進(jìn)學(xué)生對知識、方法、經(jīng)驗的遷移.在教學(xué)中,運(yùn)用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識聯(lián)想解題策略,引導(dǎo)學(xué)生通過在已有的探究活動過程中積累的經(jīng)驗聯(lián)想解題方法和數(shù)學(xué)思想,感受數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用與遷移.在整個教學(xué)環(huán)節(jié)中強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的積累,加強(qiáng)他們在學(xué)習(xí)知識的過程中對活動經(jīng)驗的體驗和感受,培養(yǎng)聯(lián)想意識.