江蘇省蘇州市張家港市張家港高級中學(xué) 蔡怡歡

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,合理聯(lián)系初中的平面幾何,鏈接高中的三角函數(shù)與平面向量知識,是高中數(shù)學(xué)中比較特殊的一個(gè)知識點(diǎn),也是歷年高考考查的重點(diǎn)之一.解三角形通常出現(xiàn)在高考試卷解答題中,位置偏前,難度中等.其中,三角形邊或角等元素的求值,邊或角關(guān)系式的證明,與其他相關(guān)知識的抽象與交匯以及創(chuàng)新應(yīng)用或?qū)嶋H應(yīng)用等方面,都是很好的考查方向.

1 通過求值,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算

點(diǎn)評：通過三角形的創(chuàng)設(shè),結(jié)合邊或角的相關(guān)代數(shù)式以及關(guān)系,求解具體角的大小、具體邊的長度、三角形的面積或?qū)?yīng)代數(shù)式的值等,一直是高考中最常見的解三角形解答題的設(shè)置方式與考查方式,關(guān)鍵是綜合三角函數(shù)的相關(guān)公式、解三角形的相關(guān)公式及平面幾何知識來化歸轉(zhuǎn)化,進(jìn)而通過數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.

2 通過證明,考查邏輯推理

例2(2022年高考數(shù)學(xué)全國乙卷理科·17)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)證明:2a2=b2+c2;

(1)證明：在△ABC中,由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),得sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),整理有sinA·(sinBcosC+cosBsinC)=2cosAsinBsinC.

所以sinAsin(B+C)=sin2A=2cosAsinBsinC,結(jié)合正弦定理,可得a2=2bccosA.

由余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccosA,所以2a2=b2+c2.

所以△ABC的周長為a+b+c=5+9=14.

點(diǎn)評：解三角形問題中邊或角關(guān)系的轉(zhuǎn)化,涉及三角函數(shù)公式以及解三角形中的正(余)弦定理等,利用條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,合理通過邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.

3 通過轉(zhuǎn)化,考查數(shù)學(xué)抽象

點(diǎn)評：以解三角形為問題背景,交匯解三角形與三角函數(shù)、函數(shù)、不等式等相關(guān)知識,數(shù)學(xué)抽象,合理轉(zhuǎn)化,借助三角函數(shù)關(guān)系式的同構(gòu)與應(yīng)用,合理構(gòu)建角之間的關(guān)系,是破解此類問題的關(guān)鍵所在.等價(jià)轉(zhuǎn)化并加以數(shù)學(xué)抽象,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),是此類考題的亮點(diǎn).

4 通過探究,考查數(shù)學(xué)建模

例4(2022年高考數(shù)學(xué)上海卷·19)如圖1所示,AD=BC=6,AB=20,O為AB中點(diǎn),曲線CMD上任一點(diǎn)到點(diǎn)O的距離相等,∠DAB=∠ABC=120°,MO⊥AB,點(diǎn)P,Q關(guān)于OM對稱.

圖1

(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,求∠POB的大小;

(2)求五邊形CDQMP面積S的最大值.

解析：(1)若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,由題意可得OB=10,BC=6,∠ABC=120°.

范堅(jiān)強(qiáng)停下車，遠(yuǎn)遠(yuǎn)地看著傻姑。她在一個(gè)骯臟的世界里尋找，尋找食物，尋找樂趣，尋找尋找本身。此時(shí)，傻姑在一棵樹下，盯著三毛快餐店熱氣騰騰的包子出神。她呆呆地看著一個(gè)個(gè)顧客走過來，停在店前，三毛抱開蒸屜，熟練地夾起雪白的包子裝進(jìn)塑料袋，一手接錢一手將包子遞給顧客。傻姑咬著手指看著，唾液在嘴角斷斷續(xù)續(xù)地牽出一條細(xì)絲。

(2)如圖2,設(shè)CD與MO相交于點(diǎn)N,由題意知五邊形CDQMP關(guān)于MN對稱.

圖2

所以,可得S五邊形CDQMP=2S四邊形CPMN=2(S四邊形OCPM-S△ONC).

同理,當(dāng)P為劣弧DM中點(diǎn)時(shí),S也取得相同的最大值.

點(diǎn)評：此題借助扇形的性質(zhì)、正弦定理與余弦定理及三角形的面積公式在解三角形問題中的應(yīng)用,合理創(chuàng)設(shè)情境,結(jié)合點(diǎn)的位置的確定以及對應(yīng)的面積的最值來合理綜合應(yīng)用,考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.借助解三角形的創(chuàng)新情境來解決一些相應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用問題,也是解三角形綜合應(yīng)用的途徑.

解三角形解答題的場景離不開平面幾何,借助幾何場景合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,利用三角公式進(jìn)行邏輯推理,結(jié)合三角形知識巧妙代數(shù)運(yùn)算、綜合探究、創(chuàng)新應(yīng)用等,考查考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)等方面的落實(shí)情況,引領(lǐng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí).