江蘇省南通市海安立發(fā)中學(xué) 蔡宏梅

求拋物線與直線的方程是解析幾何中最基本、最重要的問題之一,是用代數(shù)方法研究幾何問題的基礎(chǔ).這類題目把基本知識(shí)、方法技巧、邏輯思維能力、解題能力融于一體,成為歷年數(shù)學(xué)高考的高頻考點(diǎn)與重點(diǎn)題型之一[1].

由于動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律所給出的已知條件不同,因此求解方法也不相同,雖然解題的方法不固定,但是卻有法可尋.下面結(jié)合高考真題來具體探究這類問題的思路與解法.

1 真題展示

例1(2022年高考全國數(shù)學(xué)甲卷第20題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí),|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線AB的方程.

2 解法探究

2.1 第(1)問的解法

所以拋物線C的方程為y2=4x.

點(diǎn)評(píng)與總結(jié)：定義法是求拋物線方程最常用的一種方法.

2.2 第(2)問的解法

因?yàn)棣?0,且y1y2=-4,所以由斜率公式可得

同理可得y4=2y1.

點(diǎn)評(píng)與總結(jié)：解決第(2)問的關(guān)鍵是利用拋物線方程對(duì)斜率進(jìn)行化簡(jiǎn),最后利用韋達(dá)定理即可得出坐標(biāo)間的關(guān)系.

3 變式演練

(1)求該拋物線的方程;

(Ⅰ)第(1)問的解法

(Ⅱ)第(2)問的解法

由第(1)問可先求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),用λ表示出點(diǎn)C,代入求值即可.

整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.

點(diǎn)評(píng)與總結(jié)：解決此類問題通常采用“設(shè)而不求”的方法,首先設(shè)出直線與拋物線兩交點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng),再利用已知條件求解.

思路分析：先將|MN|轉(zhuǎn)化為焦半徑|AF|,|BF|的關(guān)系式,再變形,應(yīng)用基本不等式即可求最大值.

解析：如圖1,過點(diǎn)A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A1,B1.由題意,可知

圖1

在△AFB中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|·cos 120°=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|,所以

當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時(shí),等號(hào)成立.

綜上所述,求解拋物線與直線的有關(guān)運(yùn)動(dòng)規(guī)律類問題,雖然沒有可套的通用模式,但是有靈活的方法可尋.大多要經(jīng)過審題、尋找并確定求解途徑、逐步轉(zhuǎn)化推演、綜合陳述、完整作答或給出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論等必不可少的環(huán)節(jié)[2].在具體的解題過程中,在積極尋找恰當(dāng)方法的同時(shí),還要注意挖掘一些隱含條件,注明x,y的取值范圍;要針對(duì)軌跡的不同情況,分別討論,確保解題的完整性.