江蘇省蘇州張家港市張家港高級(jí)中學(xué) 黃 軼

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō):“一個(gè)認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生發(fā)展問(wèn)題的各個(gè)方面,使得通過(guò)這道題,就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù),把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”[1]特別地,教材中的一些典型的例題或習(xí)題,其背景深刻,知識(shí)豐富,典型性高,拓展性強(qiáng),蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法,如果有針對(duì)性地加以利用,有思想性地引導(dǎo),有方向性地探究,有思維性地拓展,則可以全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì),提高數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

1 源于教材

例題〔人教版《數(shù)學(xué)》(選擇性必修第一冊(cè))3.3拋物線(xiàn)第138頁(yè)第6題〕如圖1,直線(xiàn)y=x-2與拋物線(xiàn)y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB.

圖1

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-4.

故OA⊥OB.

反思:根據(jù)拋物線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)性,將上述例題中的直線(xiàn)“y=x-2”替換成直線(xiàn)“y=2-x”(兩直線(xiàn)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)),同樣可得結(jié)論OA⊥OB.而直線(xiàn)y=x-2與直線(xiàn)y=2-x有公共點(diǎn)(2,0),結(jié)合拋物線(xiàn)y2=2x可知2p=2,那么直線(xiàn)y=x-2過(guò)點(diǎn)(2,0)與OA⊥OB之間是否存在某種特殊的聯(lián)系呢?

2 類(lèi)比拓展

以上問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是拋物線(xiàn)的弦對(duì)頂點(diǎn)張直角的相關(guān)性質(zhì)(拋物線(xiàn)的弦對(duì)頂點(diǎn)張直角時(shí)恒過(guò)定點(diǎn)).借助邏輯推理、思維拓展、類(lèi)比提升等,可以對(duì)拋物線(xiàn)過(guò)頂點(diǎn)(或其他定點(diǎn))的兩弦斜率之積、斜率之和、斜率倒數(shù)之和等為定值的相關(guān)結(jié)論,進(jìn)一步加以歸納、推廣與總結(jié).

2.1 拋物線(xiàn)過(guò)頂點(diǎn)兩弦斜率之積為定值

結(jié)論1已知A,B為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上兩動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若OA⊥OB,則直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p,0).

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

因此,對(duì)于上述教材中的習(xí)題,因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2=2x中的p=1,并且直線(xiàn)y=x-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),所以有OA⊥OB成立.

結(jié)論1是其推廣的特例,是當(dāng)常數(shù)λ=-1時(shí)的結(jié)果.推廣的證明可參照結(jié)論1的證明加以分析與處理,這里不多贅述.

2.2 拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)兩弦斜率之積為定值

結(jié)論2已知A,B為拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上兩動(dòng)點(diǎn),P(x0,y0)為拋物線(xiàn)上一定點(diǎn),且滿(mǎn)足PA⊥PB,則直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p+x0,-y0).

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

由此可知,直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p+x0,-y0).經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)x1=x2時(shí),也滿(mǎn)足.

因此,直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(2p+x0,-y0).

2.3 拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)兩弦斜率之和為定值

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

由韋達(dá)定理,可得y1+y2=2pm,y1y2=-2pt.

2.4 拋物線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)兩弦斜率倒數(shù)之和為定值

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)AB的方程為x=my+t.

y2-2pmy-2pt=0.

由韋達(dá)定理,可得y1+y2=2pm.

3 教學(xué)啟示

上文中以一道課本習(xí)題為源,得到拋物線(xiàn)中過(guò)定點(diǎn)的兩弦斜率之積、斜率之和、斜率倒數(shù)之和為定值條件下的相應(yīng)的優(yōu)美結(jié)論,合理反思總結(jié),拓展思維,總結(jié)規(guī)律,構(gòu)建全面的邏輯思維體系與應(yīng)用.

事實(shí)上,拋物線(xiàn)中的相關(guān)結(jié)論及其推廣,還可以進(jìn)一步拓展到圓錐曲線(xiàn)中去,有關(guān)圓錐曲線(xiàn)斜率之積(或之和、倒數(shù)之和)為定值的問(wèn)題層出不窮.當(dāng)我們站在系統(tǒng)的高度,合理地整合知識(shí),很多時(shí)候都能有一個(gè)思維方向,避免進(jìn)入無(wú)頭緒的計(jì)算誤區(qū),全面提升能力,養(yǎng)成思維習(xí)慣,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).