段國元，杜厚羿，黃華，饒俊森，王勇敢，張兵

(1.鎮(zhèn)江市流體傳動(dòng)與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇鎮(zhèn)江 212013；2.丹佛斯動(dòng)力系統(tǒng)(江蘇)有限公司，江蘇鎮(zhèn)江 212013；3.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013)

0 前言

電液多缸同步系統(tǒng)具有功重比高、響應(yīng)快、控制精度高等顯著優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于國防科技[1]、礦山機(jī)械[2]和工程機(jī)械[3]等領(lǐng)域。國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)多缸同步控制策略進(jìn)行了大量研究。周強(qiáng)等人[4]基于交叉耦合的思想提出了一種雙模糊PID跟蹤控制器，相比普通模糊PID控制，該控制策略能夠明顯減小偏載情況下雙缸同步系統(tǒng)的同步誤差。YANG等[5]提出一種交叉耦合預(yù)補(bǔ)償解耦控制器，以削弱并聯(lián)液壓機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)耦合效應(yīng)。然而，傳統(tǒng)交叉耦合控制僅適用于雙軸同步控制系統(tǒng)[6-7]。因此，葛育曉、趙榮珍[8]在偏差耦合控制的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了積分滑模跟蹤控制器，與傳統(tǒng)并行同步控制對(duì)比，該控制策略有更好的抗擾動(dòng)能力。LI等[9]采用基于平均偏差耦合的二階自適應(yīng)滑?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)對(duì)多電機(jī)的同步控制，相較于傳統(tǒng)偏差耦合控制，該控制策略結(jié)構(gòu)上更加簡單，魯棒性更強(qiáng)。吳翠紅、郝芯[10]針對(duì)多激振器的同步控制問題，采用了自適應(yīng)滑模和相鄰交叉耦合相結(jié)合的控制策略，仿真結(jié)果表明：該策略能有效提高激振器同步系統(tǒng)的精度。PI等[11]為實(shí)現(xiàn)對(duì)六自由度液壓并聯(lián)機(jī)器人的同步跟蹤控制，采用具有內(nèi)/外環(huán)控制結(jié)構(gòu)的串級(jí)控制方法，并將相鄰交叉耦合思想引入同步控制中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該控制策略能使并聯(lián)機(jī)器人中各關(guān)節(jié)同步運(yùn)動(dòng)。

本文作者針對(duì)四缸位置伺服系統(tǒng)，提出一種相鄰交叉耦合方法和自適應(yīng)魯棒控制相結(jié)合的控制策略。為減小時(shí)變參數(shù)和不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響，單缸控制器采用自適應(yīng)魯棒控制器，然后基于相鄰交叉耦合思想設(shè)計(jì)PID耦合控制器，以減小同步誤差。

1 單缸軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

將活塞初始工作位置選在中位，選取狀態(tài)變量為

x=[x1，x2，x3]T=[y，y，A1p1-A2p2]T

(1)

則系統(tǒng)模型狀態(tài)空間方程為

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：θmin=[θ1min,θ2min,θ3min,θ4min]T、θmax=[θ1max,θ2min,θ3max,θ4max]T分別為系統(tǒng)未知參數(shù)的上下界。式(2)可以改寫為

x1=x2

mx2=x3-θ1x2-θ2Sf(x2)-θ3-mg-

x3=g1u-fb-θ4fp

(6)

式中：

(7)

定義系統(tǒng)的誤差變量為

e1=x1-x1d

(8)

e2=x2-α1

(9)

e3=x3-α2

(10)

定義系統(tǒng)變量和不確定參數(shù)的估計(jì)誤差為

(11)

1.1 求解虛擬控制量α1

定義李雅普諾夫函數(shù)V1為

(12)

對(duì)V1進(jìn)行求導(dǎo)：

(13)

由于式(6)中第一個(gè)狀態(tài)方程里不含有時(shí)變參數(shù)和不確定性，可以設(shè)計(jì)：

(14)

式中：k1為正的反饋增益，將式(14)代入式(13)，得：

(15)

將式(14)代入式(9)，有：

(16)

對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯變換：

(17)

由經(jīng)典控制理論可知，該傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，當(dāng)e2→0時(shí)，必能得到e1→0。此外，由式(16)中可以看出，e2中不僅包含位置跟蹤誤差，同時(shí)還包含了速度跟蹤誤差，當(dāng)e2趨于零時(shí)，系統(tǒng)的速度誤差也是收斂的，因此，接下來以e2收斂于零為設(shè)計(jì)目標(biāo)。

1.2 求解虛擬控制量α2

定義李雅普諾夫函數(shù)V2為

(18)

對(duì)V2進(jìn)行求導(dǎo)：

(19)

將式(2)、(15)代入式(19)可得：

(20)

所設(shè)計(jì)的虛擬控制量α2具有如下的結(jié)構(gòu)形式：

α2=α2a+α2s1+α2s2

α2s1=-k2s1e2

(21)

將式(21)代入式(20)

(22)

式中：φ2為不確定參數(shù)估計(jì)誤差的系數(shù)矩陣，φ2=[-x2,-Sf(x2),-1,0]T;k2s1為正的控制器設(shè)計(jì)參數(shù)；α2a為模型補(bǔ)償項(xiàng)；α2s1和α2s2為系統(tǒng)的魯棒反饋項(xiàng)，其形式均為誤差e2的比例反饋。α2s2還需滿足如下的正定條件：

(23)

ε2為正的任意小的正數(shù)，設(shè)計(jì)α2s2為

(24)

其中：k2s2>0為控制器設(shè)計(jì)參數(shù)；θM=θmax-θmin。將式(23)、(24)代入式(22)可得：

(25)

1.3 求解控制器u

定義李雅普諾夫函數(shù)V3為

(26)

對(duì)V2進(jìn)行求導(dǎo)：

(27)

將式(6)中第3個(gè)方程代入

(28)

式中：

(29)

u=ua+us1+us2

us1=-k3s1e3/g1

(30)

將式(29)(30)代入式(28)，可得：

(31)

(32)

ε3為任意小的正數(shù)，可以設(shè)計(jì)us2為

(33)

k3s2為正的控制器參數(shù)，將式(32)(33)代入式(31)得：

(34)

1.4 自適應(yīng)率設(shè)計(jì)

與基于反步法的自適應(yīng)率相比，文中采用的自適應(yīng)率基于不連續(xù)映射，該方法能夠?qū)⒆赃m應(yīng)控制器和魯棒控制器分離開來，減少二者之間的耦合，使控制器結(jié)構(gòu)簡潔，減小了控制器的計(jì)算量。

(35)

參數(shù)自適應(yīng)律設(shè)計(jì)為

(36)

(37)

1.5 系統(tǒng)穩(wěn)定性分性

假設(shè)系統(tǒng)只存在參數(shù)不確定性，系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)定義為

(38)

(39)

式中：λmin(Λ2)為正定矩陣Λ2的最小特征值。W∈L2，W∈L∞，根據(jù)Barbalat引理可知，當(dāng)t→∞，W→0，系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，結(jié)合式(17)的分析可知，誤差e1、e2、e3以及參數(shù)估計(jì)誤差均漸進(jìn)收斂于零。

2 同步控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于四缸同步控制系統(tǒng)，定義第i個(gè)缸的軌跡跟蹤誤差為

ei=xi-xd(i=1，2，3，4)

(40)

式中：xi為第i個(gè)液壓缸的實(shí)際位移；xd為同步系統(tǒng)中各缸的參考位移。在四缸同步系統(tǒng)中，除了要保證各液壓缸軌跡跟蹤精度，即ei→0，當(dāng)四缸完全同步時(shí)，各液壓缸的軌跡跟蹤誤差還需要滿足：

e1=e2=e3=e4

(41)

在實(shí)際工作過程中，如干擾、偏載等眾多因素會(huì)影響系統(tǒng)的同步精度，因此不僅要考慮各通道跟蹤誤差，還需要考慮各通道之間的同步誤差。根據(jù)相鄰交叉耦合的原理，每個(gè)液壓缸除了需要考慮自身的跟蹤誤差外，還需考慮相鄰的2個(gè)液壓缸的跟蹤誤差，因此可以定義四缸同步系統(tǒng)的同步誤差為

(42)

分析上式可以得知，若能夠保證εi→0，則可以滿足式(41)，從而實(shí)現(xiàn)四缸的同步控制。四缸同步控制框圖見圖1。

圖1 四缸同步控制框圖

3 仿真分析

利用MATLAB/Simulink對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真分析，其中相關(guān)仿真參數(shù)見表1，PID耦合控制器的參數(shù)設(shè)置為Kp=1 500，Ki=0.2，Kd=0.1。

表1 仿真參數(shù)

3.1 正弦響應(yīng)分析

圖2、圖3和圖4分別為跟蹤給定幅值為80 mm、頻率為0.25 Hz時(shí)四缸的位移響應(yīng)曲線、跟蹤誤差曲線和同步誤差曲線。圖中，穩(wěn)態(tài)時(shí)單缸的最大軌跡跟蹤誤差為0.3 mm，穩(wěn)態(tài)跟蹤精度為0.38%。從圖中可得，四缸最大同步誤差為0.33 mm，最大穩(wěn)態(tài)同步誤差為0.05 mm，同步精度可達(dá)0.06%。

圖2 跟蹤yd=80 sin(0.5πt)mm四缸位移曲線

圖3 跟蹤yd=80 sin(0.5πt)mm四缸誤差曲線

圖4 跟蹤yd=80 sin(0.5πt)mm四缸同步誤差曲線

3.2 有偏載時(shí)同步性能分析

為分析偏載工況下系統(tǒng)的同步性能，為每個(gè)液壓缸設(shè)置200～300 N隨機(jī)變化的負(fù)載力，仿真結(jié)果如圖5—7所示。從圖6和圖7中可以看出：系統(tǒng)存在偏載時(shí)，單軸的最大穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差為-0.72 mm，較沒有偏載時(shí)增加了0.42 mm，穩(wěn)態(tài)跟蹤精度為0.9%，較無偏載時(shí)下降了0.52%。穩(wěn)態(tài)時(shí)四缸的最大同步誤差為-0.1 mm，比沒有偏載時(shí)增加了0.05 mm，同步精度下降了0.04%。由此可見，當(dāng)系統(tǒng)存在偏載現(xiàn)象時(shí)，雖然系統(tǒng)的單軸位置跟蹤精度和同步精度均有不同程度的下降，但所設(shè)計(jì)的控制策略仍然保證了較高的同步精度，驗(yàn)證了所提出的控制策略的有效性。

圖5 有偏載時(shí)的四缸位移響應(yīng)曲線

圖6 有偏載時(shí)的四缸誤差曲線

圖7 有偏載時(shí)的四缸同步誤差曲線

4 結(jié)論

文中針對(duì)四缸同步系統(tǒng)，提出了一種基于相鄰交叉耦合的自適應(yīng)魯棒同步控制策略。在單缸采用自適應(yīng)魯棒控制策略的基礎(chǔ)上，通過PID耦合控制器對(duì)相鄰兩缸的同步誤差進(jìn)行補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明：所設(shè)計(jì)的控制策略在有偏載和無偏載2種工況下均能夠獲得較高的同步精度。