李明　劉雅雄　周毅

摘要：針對決策信息為區(qū)間值Picture模糊數(shù)的多屬性群決策問題，在充分考慮屬性間相互關聯(lián)的情況下，將區(qū)間值Picture模糊數(shù)與廣義Heronian均值函數(shù)和Heronian平均算子結合，定義了區(qū)間值Picture模糊參數(shù)廣義加權Heronian平均算子，并研究了其性質。該信息集結算子能夠反映信息的完整性、屬性相關性和決策者的風險偏好。然后，提出了一種基于區(qū)間值Picture模糊參數(shù)廣義加權Heronian平均算子的多屬性群決策模型。最后，運用本文提出的群決策模型對信息系統(tǒng)進行了最優(yōu)選擇，并與其它模型進行比較，說明所提模型的有效性和優(yōu)越性。

關鍵詞：多屬性群決策；模糊性；區(qū)間值Picture模糊數(shù)；集結算子；廣義Heronian均值函數(shù)

中圖分類號：C934文獻標志碼：A文獻標識碼

Interval－valued picture fuzzy parameter aggregation operator and its application

LI? Ming1，LIU? Yaxiong1，ZHOU? Yi2

（1 School of Business， North Minzu University，Yinchuan， Ningxia 750021，China;

2 Tongxin Yuhai Middle School English Teaching and

Research Group，Wuzhong， Ningxia 751300， China）

Abstract：? Aiming at the multi－attribute group decision－making problem in which the decision information is interval－valued picture fuzzy numbers， with full consideration of the correlation between the attributes， the interval－valued picture fuzzy numbers are combined with the generalized Heronian mean function and the Heronian average operator， we define the interval－valued picture fuzzy parameter generalized weighted Heronian average operator， and its properties are studied. The information aggregation operator is able to reflect the completeness of the information， attribute relevance， and the risk preference of decision makers. Then， a multi－attribute group decision－making model based on the interval－valued picture fuzzy parameter generalized weighted Heronian average operator is proposed. Finally， the group decision－making model proposed in this paper is used to select the optimal information system， and compares with another model to illustrate the effectiveness and advantages of the proposed model.

Key words： the multi－attribute group decision making;fuzziness;interval－valued picture fuzzy number;aggregation operator;generalized Heronian mean function

在日常生活中，多屬性群體決策在醫(yī)療［1］、工程［2］、地質（地震保險）［3］、行政和治理［4］、人力資源［5］等方面發(fā)揮著非常重要的作用。而多源信息的集成是多屬性群決策中的一個核心問題，即根據(jù)備選方案的不同屬性值，如何通過信息集結的方法選出最佳方案。在上世紀六十年代以前，決策通常是以清晰的數(shù)據(jù)集為基礎進行建模，其產(chǎn)生的結果往往與實際不確定環(huán)境所面臨的問題相差甚遠，缺乏對實際環(huán)境的適應性。隨著時間的推移和決策系統(tǒng)復雜性的不斷變化，決策者越來難管理自身知識系統(tǒng)中存在的漏洞，導致傳統(tǒng)的多屬性群決策方法無法區(qū)分出不確定環(huán)境中的最佳方案。為此，Zadeh［6］于1965年提出了模糊集的概念，其被廣泛用于描述模糊和不確定環(huán)境中的決策信息。

然而，由于模糊集中只定義了隸屬度，對于一些復雜的決策問題仍然無法描述。隨后，Atanassov［7］將其推廣得到了直覺模糊集，并賦予了每個元素1個隸屬度和1個非隸屬度，可以更詳細地描述和表征模糊決策信息的本質。但在實際決策過程中，決策者通常不僅僅只持有“支持”和“反對”兩種態(tài)度。除了表示“一致性”和“不一致性”之外，傳統(tǒng)的直覺模糊集卻沒有考慮其它可能性，例如拒絕。為了克服這一不足，Cuong［8］于2014年將直覺模糊集推廣，提出了Picture模糊集的概念，其優(yōu)點是使用3個隸屬函數(shù)來描述決策者的行為，包括正隸屬度、中性隸屬度和負隸屬度。例如，在投票活動中，選民可以分為 “支持”、“棄權”、“反對”、“拒絕投票”，這符合實際生活中的情況。因此，Picture模糊集引起了該領域許多研究學者的關注。Xian等［9］考慮到Muirhead均值算子在捕捉輸入?yún)?shù)之間交互關系方面存在的優(yōu)勢，將Muirhead均值算子擴展到Picture模糊語言環(huán)境中，提出了Picture模糊語言加權Muirhead平均算子及其對偶形式；文獻［10］定義了基于Picture立方模糊信息的加權集結算子；Luo等［11］給出了Picture模糊加權幾何集結算子、Picture模糊有序加權幾何集結算子和Picture模糊混合幾何集結算子，并研究了它們的相關性質；文獻［12］將Picture模糊語言信息與廣義加權Heronian平均算子結合，提出了多值Picture模糊語言廣義加權Heronian平均算子和多值Picture模糊語言廣義加權幾何Heronian平均算子；Ates等［13］基于Picture模糊數(shù)和Bonferroni平均算子，定義了新的Picture模糊集結算子，并將其應用在多準則決策中；文獻［14］基于Frank t－范數(shù)提出了幾種Picture 模糊Frank信息集結算子；Li等［15］基于Hamacher運算法則、歸一化Hamming距離和Picture模糊數(shù)的相似性測度，定義了2種新的Picture 模糊信息集結算子；文獻［16］提出一系列Picture模糊交互Heronian平均集結算子。

事實上，在現(xiàn)實生活中，很難用清晰的數(shù)字來描述Picture模糊集的正隸屬度、中性隸屬度和負隸屬度。為此，Cuong［8］通過以單位區(qū)間閉子集的形式表示正隸屬度、中性隸屬度和負隸屬度，將Picture模糊集進行擴展，定義了區(qū)間值Picture模糊集理論，這為決策者提供了更多的決策空間，同時也受到個別學者的重視，并將其應用于不同領域。Mahmood等［17］提出了幾種區(qū)間值Picture模糊Frank平均集結算子；文獻［18］給出了1種具有熵序誘導變量的廣義區(qū)間值Picture模糊語言誘導混合集結算子；Kamaci等［19］定義了區(qū)間值Picture猶豫模糊信息的動態(tài)集結算子和Einstein算子，并將其應用在多階段決策中；文獻［20］提出了區(qū)間值Picture模糊不確定語言平均集結算子和區(qū)間值Picture模糊不確定語言幾何平均集結算子；基于區(qū)間值Picture不確定語言的運算法則，Garg［21］定義了幾種加權和有序加權廣義Hamacher信息集結算子。

上述關于區(qū)間值Picture模糊信息集結算子基本都是假設屬性之間是相互獨立的，而在實際決策中，屬性之間往往是相互關聯(lián)的。另外，據(jù)筆者查閱相關文獻發(fā)現(xiàn)，有關區(qū)間值Picture模糊信息集結算子的研究目前還不是很多。因此，研究基于區(qū)間值Picture模糊環(huán)境中屬性之間相關性的信息集結算子在多屬性群決策中具有重要的理論和現(xiàn)實意義。為此，在本文中，將區(qū)間值Picture模糊集與廣義Heronian均值函數(shù)和Heronian平均算子結合，定義了區(qū)間Picture模糊參數(shù)廣義加權Heronian平均算子，它兼有Heronian均值和廣義平均的優(yōu)點，能夠反映決策支持系統(tǒng)的信息完整性、屬性相關性和決策者的風險偏好。

1 資料與方法

本小節(jié)簡要地回顧與本文研究相關的一些基本概念、基本運算法則、基本性質等。

由以上結果可知，盡管變量ω的取值發(fā)生變化（只考慮0<ω≤14范圍內(nèi)）會影響備選方案的最終排序結果，但最佳方案仍然是Γ3。事實上，當ω的取值越來越小時，信息集結結果能夠反映屬性之間的交互作用會越來越弱，即，ω的變化會導致信息集結結果產(chǎn)生較小的差異，從而使備選方案的排序結果趨于穩(wěn)定；當ω的取值越來越大時，信息集結結果能夠反映屬性之間的交互作用會越來越強，即，ω的變化會導致信息集結結果產(chǎn)生較大的差異，從而使備選方案的排序結果有較大的波動。因此，在實際決策問題中，決策者可以根據(jù)實際問題背景的需要選擇合適的變量ω，但在決策的過程中不建議選擇太大或太小的變量ω。

2.3 對比分析

基于2.1的算例，將本文所提的群決策模型與文獻［17］所提模型進行對比分析，以此來說明本文所提模型的優(yōu)越性。

利用文獻［17］所提的群決策模型和本文所提的群決策模型對算例進行計算后所得的備選方案排序結果如表4所示：

由表4可知，文獻［17］所提的群決策模型和本文提出的群決策模型（ω=1）獲得的備選方案最終排序都是Γ3Γ4Γ2Γ1，這進一步證實了本文所提的群決策模型的有效性。但是，對表4所列的排序結果，作進一步的分析可得，雖然2種模型得到的最佳方案都是Γ3，但是本文所提出群決策模型可以隨著變量ω的變化而使得備選方案的最終排序發(fā)生微小的變化，其主要原因是，本文所提出的群決策模型考慮了屬性之間的相互關系，且包含了Heronian平均的特性，保證了決策信息的基本完整性。為了說明這一特性，以方案Γ1的屬性Α1為例，分別利用本文所提決策模型和文獻［17］所提決策模型中的信息集結算子對決策者給出的信息進行集結，以此來驗證集結結果與原始信息之間的差異性，具體計算結果如表5所示：

區(qū)間值Picture模糊數(shù)之間的差異越小，說明利用信息集結算子所得集結結果與原始信息之間的偏差就越小，信息的完整性就越能得到保證。表5顯示，本文提出信息集結算子得到的集結結果與原始信息之間的差異相比于文獻［17］明顯要小，這說明本文所提的信息集結算子在集結原始偏好信息的過程中，造成信息丟失或缺失較少，盡可能地保證了決策信息的完整性。

另一方面，當屬性之間存在互補、冗余、偏好等關系時，本文提出的區(qū)間值Picture模糊兩參數(shù)廣義加權Heronian平均算子具有更多優(yōu)勢，它可以通過調(diào)整相關關系變量ω來滿足實際決策問題背景的需要，使群決策模型更靈活。同時，當變量ω的值發(fā)生變化時，備選方案的得分函數(shù)值和精度函數(shù)值也相差較大，這可以有效地克服決策者帶來的主觀性，保證了決策結果的穩(wěn)定性。最后，就區(qū)間值Picture模糊兩參數(shù)廣義加權Heronian平均算子的運算而言，它相對簡單且易于操作。

總之，上述分析結果表明了所提出的群決策模型具有靈活性、穩(wěn)定性和合理性，足以處理實際中存在的模糊多屬性群決策問題。然而，這只是1個算例研究，上述結論只能說明本文提出的群決策模型在這種特定情況下是相對靈活的、穩(wěn)定的、合理的，但這并不意味著該模型在其它情況下就優(yōu)于其它模型。事實上，每種模型都有其適用的特定應用環(huán)境。

3 結論

在實際的多屬性群決策問題中，決策信息往往以不確定的區(qū)間數(shù)形式給出，傳統(tǒng)的區(qū)間直覺模糊數(shù)是無法考慮除“一致”和“不一致”之外的其它信息。為此，本文基于區(qū)間值Picture模糊數(shù)的性質和計算規(guī)則，結合廣義Heronian均值函數(shù)和Heronian平均算子，在充分考慮決策屬性相互關聯(lián)的基礎上，提出了模糊決策環(huán)境中的區(qū)間值Picture模糊參數(shù)廣義加權Heronian平均算子，研究了其具備的基本性質，設計了群決策模型的詳細過程和仿真實例。算例的結果表明了該算子的有效性和正確性。與傳統(tǒng)模型相比，一方面，該方法中的區(qū)間值Picture模糊參數(shù)廣義加權Heronian平均算子含有1個靈活變量，決策者可以根據(jù)輸入數(shù)據(jù)和主觀偏好調(diào)整該變量，以獲得實際問題背景需要的備選方案的排序順序，這使得該模型更具有靈活性；另一方面，該模型充分考慮了決策屬性之間的相互關系，使決策分析更接近決策問題的實際情況，決策結果更為合理，這為解決模糊多屬性群決策問題提供了新的思路。

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（責任編輯：編輯郭蕓婕）

收稿日期：2022-10-23

基金項目：寧夏自然科學基金項目（2020AAC03242），寧夏高等學校科學研究項目（NGY2020056）

作者簡介：李明（1981—），男，講師，從事模糊決策理論與方法的研究，e－mail： liming200451@163.com。