吳汝萍

數(shù)感是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)和起源，也是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中將小學(xué)階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)分為11 個(gè)方面，數(shù)感排在第一位，可見其重要性。數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。建立數(shù)感有助于理解數(shù)的意義和數(shù)量關(guān)系，初步感受數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔與精確，增強(qiáng)好奇心，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

要在認(rèn)數(shù)、計(jì)算等教學(xué)過程中讓學(xué)生形成良好的數(shù)感，這已成為廣大數(shù)學(xué)教師的共識(shí)。但不少教師的切身體會(huì)是：數(shù)感，想說“愛你”不容易！如何改變這一狀況，變“不容易”為“容易”，讓“數(shù)感”豐滿起來呢？下面，筆者以蘇教版一上“認(rèn)識(shí)11～20 各數(shù)”的教學(xué)為例，談一談如何在認(rèn)數(shù)過程中有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

一、智趣比較，“找”出數(shù)感，開啟深入探究之旅

師：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了10 以內(nèi)的數(shù)（課件出示0～10 各數(shù)），在這些數(shù)中，哪個(gè)數(shù)長(zhǎng)得與眾不同？

生：10有兩個(gè)數(shù)字，其他都是一個(gè)數(shù)字。

師：0～9 都只有一個(gè)數(shù)字，大家就稱它們?yōu)橐晃粩?shù)。10 是由兩個(gè)數(shù)字寫成的，猜猜看，大家稱它為幾位數(shù)？

生：兩位數(shù)。

師：對(duì)，10 是由兩個(gè)數(shù)字寫成的，是兩位數(shù)。排在10后面的數(shù)有——

生：11、12、13……20。

師（課件出示11～20 各數(shù)）：它們與10 相比，哪里一樣？

生：都是兩位數(shù)。

師：為什么從10 開始就變成兩位數(shù)了？我們今天就來認(rèn)識(shí)11～20各數(shù)，研究其中的原因。

“認(rèn)識(shí)11～20 各數(shù)”開啟了兩位數(shù)的學(xué)習(xí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)“十進(jìn)制”及“位值制”計(jì)數(shù)法的啟蒙階段，是數(shù)概念形成過程中的一次重要突破，對(duì)整個(gè)認(rèn)數(shù)體系的建構(gòu)起著極為重要的奠基作用。

一年級(jí)學(xué)生雖然在入學(xué)前已基本能數(shù)會(huì)寫20 以內(nèi)的數(shù)，但并不知道為什么要這樣計(jì)數(shù)，更沒有計(jì)數(shù)單位“十”的概念。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生比較10 以內(nèi)的數(shù)，找出“與眾不同”的“10”，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“11～20 各數(shù)”和10 一樣，都是兩位數(shù)。數(shù)感就在這樣“找”的過程中不知不覺萌發(fā)了，成功激發(fā)了學(xué)生探究?jī)晌粩?shù)的欲望，促進(jìn)他們開啟了深入探究之旅。

二、智趣溯源，“溯”出數(shù)感，有效建立“十”的概念

師：我們先數(shù)出10 根小棒。認(rèn)識(shí)10 時(shí)，數(shù)出10根后做了什么事？

生：捆起來。

課件出示1根小棒和1捆小棒。

師：這兩個(gè)都是1，有什么不同？

生：左邊是1根，右邊是1捆。

師：左邊的表示一根，右邊的表示1捆是10根。這個(gè)10 是個(gè)整體，一般用漢字“十”來表示。（板書：十）

師：左邊是1 個(gè)——一，是單根的1。右邊是1 個(gè)——十，是1 捆，是10 根。寫“十”的時(shí)候，要在1的后面添上——0，表示——10。

師：現(xiàn)在，對(duì)照小棒想一想，“10”這個(gè)數(shù)中的1表示什么？0表示什么？

討論得出：1 表示1 個(gè)十，是1 捆；0 表示單根的一根也沒有。

師：1個(gè)一和1個(gè)十之間有什么關(guān)系？

生：1個(gè)十里面有10個(gè)一。

師：為什么大家喜歡將“10 個(gè)一”捆成“1 個(gè)十”呢？這跟我們古人的計(jì)數(shù)習(xí)慣有關(guān)。下面，我們來看看古人是怎么計(jì)數(shù)的。

課件依次出示古人用雙手十指計(jì)數(shù)的方法，引導(dǎo)學(xué)生一起用手指表示1～10。

師：遇到十個(gè)手指不夠數(shù)時(shí)，古人是怎么做的呢？

課件出示11 只兔子圖，引導(dǎo)學(xué)生模仿古人用手指計(jì)數(shù)。

師：數(shù)到10，手指用完了，可兔子還沒有數(shù)完，怎么辦呢？古人低頭一看，看到地上有個(gè)小石頭，靈機(jī)一動(dòng)，就用這個(gè)小石頭表示1 個(gè)十（課件出示相應(yīng)圖片）?，F(xiàn)在雙手騰出來了，又可以用手指繼續(xù)數(shù)了。從此，人們就形成了習(xí)慣，只要滿10，就把它單獨(dú)打包，捆在一起，變成“1個(gè)十”。你在超市里見過“1個(gè)十”嗎？

學(xué)生交流后出示相關(guān)圖片。

師：這些都是把“10個(gè)一”變成了——

生:1個(gè)十！

從古至今，人類在計(jì)數(shù)方面出現(xiàn)了多種不同的進(jìn)位制，但應(yīng)用最廣的當(dāng)屬“十進(jìn)制”無疑。計(jì)數(shù)單位“十”的發(fā)明是一個(gè)創(chuàng)舉。有了它，表示十幾和幾十的數(shù)就變得特別便利。因此，建立計(jì)數(shù)單位“十”的概念是認(rèn)識(shí)“11～20 各數(shù)”的重中之重。如果只是讓學(xué)生將10 根小棒捆成一捆，然后告訴學(xué)生“10 個(gè)一是1 個(gè)十”或“1個(gè)十里有10 個(gè)一”，學(xué)生頭腦中很難形成計(jì)數(shù)單位“十”的概念，自然難以獲得數(shù)感。

上述教學(xué)，首先通過1 根與1 捆的比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“1 個(gè)一”與“1 個(gè)十”，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到“10”中的“1”表示的是1 捆，是“1 個(gè)十”，“0”表示單根的一個(gè)也沒有，滲透了“位值制”。接著讓學(xué)生身臨其境，溯源古人雙手十指計(jì)數(shù)法，從中理解“1 個(gè)十”產(chǎn)生的緣由，感知數(shù)學(xué)文化，體會(huì)古人的智慧。最后讓學(xué)生在生活中感受“1 個(gè)十”的普遍存在。如此，學(xué)生對(duì)“1 個(gè)十”就有了深入的認(rèn)識(shí)，頭腦中就有了“十”的概念，相關(guān)“1個(gè)十”的數(shù)感也就應(yīng)運(yùn)而生了。

三、智趣操作，“擺”出數(shù)感，善用計(jì)數(shù)單位“十”

課件出示1包火腿腸和1根火腿腸圖片。

師：圖中一共有多少根火腿腸？為什么你們沒有數(shù)，一下子就能報(bào)出來？

生：1個(gè)十和1個(gè)一，合起來就是11。

師（板書11）：這兩個(gè)“1”分別表示什么？請(qǐng)?jiān)趦蓚€(gè)1的上面分別擺上小棒……也就是11里面有——1 個(gè)十和1 個(gè)一。你能用小棒擺出12嗎？

課件出示兩種擺法：一種是擺了12 個(gè)一，一種是擺了1個(gè)十和2個(gè)一。

師：這兩種擺法都是12 嗎？哪種擺法更好？為什么？

生：第二種！上面是1 根1 根擺的，很慢！下面擺1個(gè)十和2個(gè)一，很快！

師：真棒！你們擺的都是1 個(gè)十和2 個(gè)一。你最喜歡十幾？用小棒擺出來。擺好后，想辦法讓同學(xué)猜一猜你擺的是哪個(gè)數(shù)。

…………

師：剛剛我們擺了自己喜歡的數(shù)。大家能在1捆的邊上1根1根擺小棒，從11擺到19嗎？

生（邊擺邊說）：11、12、13……19。

師：19再添1是多少？

生：20。

師：我只看到1 個(gè)十和10 個(gè)1，看不出是20 呀！

生：把右邊的10根捆起來。

師：哦，這樣就變成幾個(gè)十了？

生：2個(gè)十，是20。

師：這里的2表示什么？0呢？0能不寫嗎？

生：2 表示2 個(gè)十，0 表示單根的一個(gè)也沒有。0不能不寫，0不寫就變成2了。

師：20 表示正好2 個(gè)十。如果把20 拆開，20里面一共有多少個(gè)一？

生：20個(gè)一。

師：如果要擺20，你喜歡1 根1 根擺，還是1捆1捆擺？為什么？

生：1捆1捆擺，這樣擺，快！

曹培英教授認(rèn)為：“數(shù)感是數(shù)的抽象意義與數(shù)的具體意義的統(tǒng)一，是一種自覺地基于數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實(shí)的問題情境，解釋數(shù)與應(yīng)用數(shù)的意識(shí)和能力。”通過操作，可以將抽象的數(shù)直觀地呈現(xiàn)出來，數(shù)感就在“擺”的過程中變得明朗起來。

首先，通過1 包和1 根，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到1 個(gè)十和1 個(gè)一合起來是11。接著請(qǐng)學(xué)生在11 上面擺上相應(yīng)的小棒，如此形象直觀的板書，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)到不同位置上的數(shù)字雖然一樣，但表示的意思截然不同，有效滲透了“位值制”思想。

其次，讓學(xué)生用小棒擺出12，學(xué)生能擺出1個(gè)十和2 個(gè)一，由此可見，學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成了“十”的概念，認(rèn)識(shí)并理解了12 是由1 個(gè)十和2 個(gè)一組成的。接著讓學(xué)生擺自己喜歡的十幾，并通過“我擺你猜”的游戲方式說出各個(gè)數(shù)的組成，使他們有效認(rèn)識(shí)了十幾。

最后，在1 個(gè)十、9 個(gè)一的基礎(chǔ)上添上1 個(gè)一，讓學(xué)生主動(dòng)遷移前面遇到“10 個(gè)一”的處理辦法：滿“10 個(gè)一”就捆成“1 個(gè)十”，結(jié)果就有了2 個(gè)十，就是20。這里滲透了“滿十進(jìn)一”的原理。接著通過追問“20 的兩個(gè)數(shù)字分別表示什么”，進(jìn)一步滲透“位值制”思想。再通過比較“如果要擺20，你喜歡1 根1 根擺，還是1 捆1 捆擺”，讓學(xué)生體會(huì)到使用計(jì)數(shù)單位“十”的便利性。

上述通過用小棒“擺”數(shù)，使學(xué)生深度理解了“11～20 各數(shù)”的意義，激活了他們的思維，使其有效建構(gòu)起了認(rèn)數(shù)體系，在不知不覺中形成了相應(yīng)的數(shù)感。

四、智趣一瞥，“看”出數(shù)感，加深理解數(shù)的意義

師：現(xiàn)在考考大家的眼力，看大家能否一眼就看出圖中表示的數(shù)是多少。

課件出示表示“1 個(gè)十和幾個(gè)一”的圖片，瞬間消失，讓學(xué)生搶答看到的數(shù)目。

師（課件出示散放的皮球圖）：怎么一眼看不出來了？感覺一下，可能有多少？

生：看不到“十”！我感覺可能有14個(gè)。

…………

師：你們感覺都比15少，到底是多少？先數(shù)出1個(gè)十，把它圈起來?，F(xiàn)在能一眼看出是——13，誰(shuí)幫了我們大忙？

生：1個(gè)十。

師（課件出示草莓圖）：也沒有“十”，先感覺一下，可能有多少個(gè)？

生：我感覺可能有17個(gè)。

…………

師：這次你們感覺都比15 多，是不是呢？我們先圈出十個(gè)，現(xiàn)在能一眼看出是——16。你們的感覺很對(duì)，說明你們的數(shù)感很好！

數(shù)感是在理解數(shù)的意義的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)的知覺、領(lǐng)悟，能體現(xiàn)出對(duì)集合中數(shù)量多少的辨識(shí)能力。多讓學(xué)生看相關(guān)數(shù)的直觀圖片，可以增強(qiáng)他們對(duì)數(shù)的理解與整體感悟，從而有效提升其數(shù)感。

上述教學(xué)中，每出示一張圖片，都是只讓學(xué)生看一眼就取而代之為問號(hào)，讓學(xué)生說出自己瞬間一瞥看到的數(shù)。學(xué)生注意力高度集中，積極搶答，說出自己看到的數(shù)，充滿了成就感。當(dāng)出示皮球圖和草莓圖時(shí)，沒有了“十”，不能一眼看出結(jié)果，讓學(xué)生感悟到計(jì)數(shù)單位“十”的重要性。再讓學(xué)生根據(jù)自己的感覺估一估它們的個(gè)數(shù)，有效培養(yǎng)和檢驗(yàn)了學(xué)生的數(shù)感。大部分學(xué)生能感覺到皮球數(shù)不足15個(gè)，草莓?dāng)?shù)超過了15個(gè)，說明學(xué)生在對(duì)“11～20 各數(shù)”的認(rèn)識(shí)方面已初步具有一定的數(shù)感。

五、智趣數(shù)數(shù)，“數(shù)”出數(shù)感，有效形成數(shù)的概念

師：智慧小仙來給我們送智慧星啦！你能很快數(shù)出一共有多少顆星星嗎?

將智慧星放在2 行20 格中，依次讓學(xué)生數(shù)出15、11、13、18，并想辦法在數(shù)軸（如圖1）上找到此數(shù)所在的準(zhǔn)確位置。

（圖1）

接著引導(dǎo)學(xué)生看數(shù)軸上的數(shù)交流：11 和13中間的數(shù)是多少？18 和20 中間的數(shù)呢？和15相鄰的數(shù)是誰(shuí)？和18相鄰的數(shù)呢？……

再引導(dǎo)學(xué)生按智慧小仙的要求數(shù)智慧星：5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)……

師：我們給20 顆智慧星排一下位置，（如圖2）第1 顆，第2 顆……上下對(duì)著數(shù)一數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

（圖2）

生：上面是幾，下面是十幾，上面是10，下面是20。

…………

師：現(xiàn)在，我們來玩一個(gè)“搶數(shù)游戲”。

課件出示“搶數(shù)游戲”規(guī)則：從1 開始，兩人輪流按順序報(bào)數(shù)，每次可以報(bào)1 個(gè)數(shù)或2 個(gè)數(shù)，誰(shuí)先搶到20誰(shuí)就贏。

學(xué)生相互比試后，選代表與教師比試。

師：為什么都是老師贏？大家課后找找看，看能不能找到其中的秘密。

數(shù)起源于“數(shù)”，數(shù)是“數(shù)”出來的，“數(shù)”岀來的結(jié)果便是數(shù)。上述鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師創(chuàng)設(shè)“智慧小仙在20 個(gè)方格中送智慧星”的情境，讓學(xué)生用不同的方法數(shù)出智慧星的個(gè)數(shù)，進(jìn)而想辦法在數(shù)軸上準(zhǔn)確確定該數(shù)的位置：怎么確定15的位置？怎么確定11的位置？18在哪兩個(gè)數(shù)之間，它距離15近一點(diǎn)，還是距離20近一點(diǎn)？怎么確定它的位置？如此，讓學(xué)生深入理解“11～20各數(shù)”之間數(shù)的關(guān)系和順序。智慧星放在1 行10格的2行格子中，結(jié)構(gòu)感強(qiáng)，計(jì)數(shù)單位“十”和“一”的關(guān)系一目了然。尤其是按星星的順序呈現(xiàn)出20 個(gè)數(shù)后，讓學(xué)生上下對(duì)比著讀，十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的結(jié)構(gòu)躍然其中，有效開啟了十進(jìn)制的認(rèn)知大門。最后的“搶數(shù)游戲”更是充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生數(shù)數(shù)的積極性。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)都是老師贏，更是欲罷不能，非常想知道“贏”的秘密。學(xué)生思考數(shù)學(xué)、探究數(shù)學(xué)的興趣被充分激活了。

數(shù)感強(qiáng)調(diào)的是對(duì)數(shù)的整體感知和把握，既包含感知成分又包括思維成分。通過讓學(xué)生從不同的維度或者用不同的方式去數(shù)數(shù)，推動(dòng)他們將每個(gè)數(shù)和其他數(shù)建立起了聯(lián)系。整個(gè)過程智趣相生，學(xué)生興致勃勃，“11～20 各數(shù)”的組成和關(guān)系也進(jìn)一步變得明晰起來。學(xué)生獲得了相應(yīng)的數(shù)序感和結(jié)構(gòu)感，數(shù)概念和數(shù)感也隨之形成。

六、智趣遷移，“推”出數(shù)感，悟出其中的一致性

師：今天，我們認(rèn)識(shí)了11～20 各數(shù)，你知道了什么？有沒有什么新的想法？

生1：我知道1個(gè)十和幾個(gè)一合起來是十幾。

生2：我知道十幾，左邊的1 表示1 個(gè)十，右邊的幾表示幾個(gè)一。

生3：我知道2個(gè)十就是20。

生4：我想到3個(gè)十是30。

…………

師：如果十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)，又滿十了，怎么辦呢？這個(gè)問題留給大家課后去研究。今天的學(xué)習(xí)，你還知道了什么，想到了什么？

生1：11～20都是兩位數(shù)。

生2：我想到二十幾是兩位數(shù)。

生3：我想到幾十幾都是兩位數(shù)。

師：二十幾、三十幾這樣的幾十幾，是不是都是兩位數(shù)呢？它們表示什么意思呢？這些知識(shí)我們下學(xué)期會(huì)學(xué)到。大家如果感興趣，課后可以先去研究研究。

學(xué)生具有數(shù)感的典型特征，就是面對(duì)數(shù)的模式、結(jié)構(gòu)、數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系時(shí)能自主進(jìn)行歸納，并能有效遷移，把新知識(shí)與已有知識(shí)聯(lián)系起來。認(rèn)識(shí)“11～20 各數(shù)”后，學(xué)生推想到幾個(gè)十就是幾十、幾十幾都是兩位數(shù)，可見，學(xué)生已經(jīng)擁有了相應(yīng)的數(shù)感。

總之，數(shù)感是一種主動(dòng)自覺地或自動(dòng)化地理解和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)。數(shù)感的培養(yǎng)離不開學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的培養(yǎng)，更離不開積極的學(xué)習(xí)態(tài)度與信心的培養(yǎng)。這需要教師在教學(xué)過程中彰顯“智”與“趣”，讓學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)過程，深入探究數(shù)學(xué)知識(shí)，深度理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，樂此不疲地“找”出數(shù)感、“溯”出數(shù)感、“擺”出數(shù)感、“看”出數(shù)感、“數(shù)”出數(shù)感、“推”出數(shù)感……如此，學(xué)生相應(yīng)的數(shù)感就能在彰顯智趣的深度學(xué)習(xí)過程中逐漸豐滿起來。