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        一道2023年新高考解析幾何試題的探究

        2023-11-01 12:46:44羅文軍
        關(guān)鍵詞:解法拓展源頭

        【摘 要】通過對(duì)2023年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題進(jìn)行解法探究、拓展探究和源頭探究,聚焦于運(yùn)用解析幾何中的主干知識(shí)和主要方法,對(duì)借助幾何圖形進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算進(jìn)行了優(yōu)化,以期達(dá)到對(duì)高三解析幾何備考復(fù)習(xí)有一定的啟發(fā).

        【關(guān)鍵詞】新高考;解法;拓展;源頭;探究;反思

        1 試題呈現(xiàn)題目 (2023年新高考Ⅰ卷第22題)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0,1/2的距離,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.

        (1)求W的方程;(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上,證明:矩形ABCD的周長(zhǎng)大于33.

        2 試題評(píng)析

        本題第(1)問考查求曲線的軌跡方程,考生在新教材的解析幾何章節(jié)已經(jīng)探究過橢圓、雙曲線和拋物線的軌跡方程,因軌跡方程屬于高中數(shù)學(xué)解析幾何版塊的基本知識(shí),故只需要將求曲線軌跡方程的方法遷移過來就可以順利解答本題.第(2)問是圓錐曲線最值問題,綜合考查了直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、分段函數(shù)和利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了高考試題注重在知識(shí)交匯處命題的特點(diǎn).從后文解法探究中計(jì)算的結(jié)果來看,本題打破常規(guī)的地方在于第(1)問求出的拋物線方程不是形如x2=2py(p>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程.本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想等基本思想方法,考查了考生的運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力,考查了考生的思維的靈活性和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.本題很好的落實(shí)了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》中高考考查的“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性”等“四翼”要求.以下對(duì)這道試題進(jìn)行解法探究、拓展探究和源頭探究.

        3 解法探究

        6 總結(jié)反思

        在新課標(biāo)、新教材和新高考這個(gè)“三新”背景下,圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容,其出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)解答題位置,第(2)問往往具有很強(qiáng)的綜合性,對(duì)考生的綜合思維能力和運(yùn)算能力有著較高的要求,是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)的重要載體.是否能夠破解圓錐曲線綜合問題的關(guān)鍵在于學(xué)生是否具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力,2023年新高考Ⅰ卷第22題第(2)問正因?yàn)閷?duì)運(yùn)算能力和核心素養(yǎng)有較高的要求,使得許多學(xué)生在解答該題時(shí)望而生畏.上述從不同的視角出發(fā)對(duì)真題進(jìn)行多解探究,探究過程中用到的弦長(zhǎng)公式、參數(shù)方程、不等式和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)都是高中數(shù)學(xué)必備知識(shí),用到的數(shù)形結(jié)合等思想都是高中數(shù)學(xué)基本方法,通過比較不同解法,可以引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解題思維和克服思維定勢(shì),優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算路徑,達(dá)到運(yùn)算量簡(jiǎn)化的目的.對(duì)高考真題進(jìn)行拓展探究,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到隱藏在試題背后的題根背景,強(qiáng)化了這類問題的通法,以期達(dá)到解一題而破萬題的效果.通過對(duì)真題探源,發(fā)現(xiàn)該真題改編自競(jìng)賽陳題,這啟示我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)中,也要引導(dǎo)學(xué)生涉獵一些經(jīng)典競(jìng)賽數(shù)學(xué)試題,通過探究賽題為依托,開拓學(xué)生的學(xué)習(xí)視野,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng).

        參考文獻(xiàn)

        [1]楊洪香.為什么橢圓內(nèi)接矩形的邊平行于橢圓的長(zhǎng)短軸?[J].數(shù)學(xué)通訊,2005(24):18.

        作者簡(jiǎn)介 羅文軍(1986 —),男,甘肅秦安人,中學(xué)二級(jí)教師;首批華中師范大學(xué)考試研究院特聘研究員,《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》 特約編輯,《中學(xué)數(shù)學(xué)》特約編委;主要研究高中數(shù)學(xué)一題多解和高中數(shù)學(xué)文化;發(fā)表論文 170 余篇,其中1篇論文被中國(guó)人民大學(xué)報(bào)刊復(fù)印資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

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