江蘇省南京市竹山中學(xué) 夏乾冬 (郵編:211100)

江蘇省無錫市太湖格致中學(xué) 陳 鋒 (郵編:214125)

2023年中考數(shù)學(xué)江蘇南京卷第25題,與其他省市中考試題中二次函數(shù)與幾何圖形的糅合考查不同,它是基于含參二次函數(shù),利用參數(shù)對(duì)二次函數(shù)圖像以及性質(zhì)的影響,考查整式的運(yùn)算、二次函數(shù)、方程、不等式等“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心知識(shí).試題設(shè)置3小問,文字表述簡(jiǎn)約、嚴(yán)謹(jǐn),入口寬,思維拾級(jí)而上,既能體現(xiàn)對(duì)基本知識(shí)、基本技能以及基本思想方法的考查,又能體現(xiàn)對(duì)思維品質(zhì)和綜合能力的考查,彰顯模型思想、凸顯推理能力、盡顯素養(yǎng)立意.

1 試題呈現(xiàn)

(南京中考第25題)已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+3(a為常數(shù),a≠0)

(1)若a<0,求證:該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn);

(2)若a=-1,求證:當(dāng)-10;

(3)若該函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)(x1,0),(x2,0),且-1

2 試題評(píng)價(jià)

2.1 立足核心知識(shí),彰顯模型思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)(2022年版)》)在“函數(shù)教學(xué)”中指出“理解函數(shù)圖像與表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,理解函數(shù)與對(duì)應(yīng)的方程、不等式的關(guān)系”[1].方程、不等式和函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型,本試題的命制與課標(biāo)要求吻合.例如,本題中第(1)問是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問題,可以從函數(shù)角度分析,也可以從方程的角度分析.第(2)問求證-x2+2x+3>0,可以從不等式的角度分析,也可函數(shù)的角度分析.因此,本題通過建立模型,選擇模型,從不同的數(shù)學(xué)模型來分析問題,彰顯模型思想.

2.2 關(guān)注數(shù)學(xué)思維,凸顯推理能力

《課標(biāo)(2022年版)》中指出:“在義務(wù)教育階段,數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力”.代數(shù)推理作為一種手段,其目標(biāo)可以是求得(發(fā)現(xiàn))未知結(jié)果或結(jié)論,也可以是證明(確定)已知結(jié)果或結(jié)論[2].試題的3小問也都可以利用代數(shù)推理解決,然而解決問題的思維水平逐級(jí)提升.第(1)問中,判斷一元二次方程ax2-2ax+3=0(a<0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可,這里可以證b2-4ac>0,也可以解方程,并說明兩根不相等,學(xué)生有一定的知識(shí)和技能儲(chǔ)備.然而第(2)問需要將問題轉(zhuǎn)化成:當(dāng)-10,這里可以利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行整理或分步推理、轉(zhuǎn)化為解不等式組,這里需要涉及對(duì)整式進(jìn)行配方和因式分解,所涉及的方法較第(1)問更多.第(3)小問中,需要在得到方程的兩個(gè)不相等的解(當(dāng)a<0或a>3時(shí))的基礎(chǔ)上建立不等式組,這里,要將無理不等式組轉(zhuǎn)化為分式不等式組,結(jié)合a的范圍,分類討論,再轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組求解,思維層次更高,運(yùn)算、推理、求解難度更大.因此,運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行推理,解法多樣、思維可見,這樣的推理過程,有助于學(xué)生養(yǎng)成合乎邏輯的推理習(xí)慣,感悟數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

2.3 聚焦關(guān)鍵能力,盡顯素養(yǎng)立意

本題中的參數(shù)a,一參二用,a用作二次項(xiàng)系數(shù),-2a用作一次項(xiàng)系數(shù),而不是使用多個(gè)參數(shù)去為難學(xué)生.其中,a既能決定開口方向,又能刻畫開口的大小以及頂點(diǎn)的位置,但不決定對(duì)稱軸,感受“變中有變”和“變中不變”.第(1)、(2)問要求學(xué)生寫出過程,考查學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言進(jìn)行說理,做到“步步有據(jù),句句有理”的規(guī)范表達(dá),突出數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.第(3)問以填空題的形式出現(xiàn),而沒有刻意提示學(xué)生“結(jié)合函數(shù)圖像”,學(xué)生可以從幾何直觀、代數(shù)推理等多個(gè)的角度進(jìn)行思考,然而不同角度帶來的思維難度、運(yùn)算能力的要求都不一樣,有助于對(duì)學(xué)生思維能力的甄別.

本題蘊(yùn)含著從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論以及轉(zhuǎn)化等思想方法的滲透,算式的建立、求解與證明,考查學(xué)生的幾何直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理能力等素養(yǎng),實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合考查.

3 解法賞析

3.1 關(guān)于第(1)問

思路1建立一元二次方程模型求證

法1因?yàn)榱顈=0,即ax2-2ax+3=0,所以b2-4ac=4a2-12a=4a(a-3),因?yàn)閍<0,所以4a<0,a-3<0,所以b2-4ac=4a(a-3)>0.所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

思路2利用二次函數(shù)模型求證

法3因?yàn)閥=ax2-2ax+3=a(x-1)2+3-a,所以該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為(1,3-a).因?yàn)閍<0,所以該函數(shù)圖像的開口向下,且-a>0,所以3-a>0.即該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上方.所以由圖像可知,該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

法4因?yàn)閍<0,所以二次函數(shù)圖像開口向下.因?yàn)閤=0時(shí),y=3,所以與y軸的交點(diǎn)為(0,3).因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像與y軸的交點(diǎn)為(0,3)且開口向下,所以當(dāng)a<0時(shí),該函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn).

3.2 關(guān)于第(2)問

思路1利用二次函數(shù)模型求證

法1當(dāng)a=-1時(shí),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以該函數(shù)圖像對(duì)稱軸為直線x=1.所以當(dāng)-10.

法2因?yàn)楫?dāng)a=-1時(shí),y=-x2+2x+3,所以可畫圖像如圖1所示;所以由圖像可知,當(dāng)-10.

圖1

思路2利用不等式模型求證

法3因?yàn)楫?dāng)a=-1時(shí),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,又因?yàn)?1

所以-20.

法4當(dāng)a=-1時(shí),y=-x2+2x+3=(-x+3)(x+1).而-10,x+1>0.故(-x+3)(x+1)>0,即y>0.

法5當(dāng)a=-1時(shí),y=-x2+2x+3.因?yàn)?10.

法6因?yàn)楫?dāng)a=-1時(shí),所以y=-x2+2x+3.因?yàn)楫?dāng)y>0時(shí),所以-x2+2x+3>0,即(-x+3)(x+1)>0. 解得:-10.

3.3 關(guān)于第(3)問

思路1利用函數(shù)和不等式模型求解

法1畫出滿足條件的圖形,建立不等式組

因?yàn)閥=ax2-2ax+3=a(x-1)2+3-a,所以該函數(shù)圖像對(duì)稱軸為直線x=1,頂點(diǎn)為(1,3-a).因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),y=3;所以二次函數(shù)圖像經(jīng)過定點(diǎn)(0,3).

①當(dāng)a<0時(shí),畫出y=ax2-2ax+3的草圖,如圖2.因?yàn)?1

圖2

解得a<-1.

②當(dāng)a>0時(shí),畫出y=ax2-2ax+3的草圖,如圖3.因?yàn)楫?dāng)頂點(diǎn)在x軸下方時(shí),滿足-1

圖3

思路2利用函數(shù)和方程模型求解

法2畫出臨界情況,建立方程

①當(dāng)a<0時(shí),畫出y=ax2-2ax+3的草圖, 如圖4.尋找臨界情況(虛線),此時(shí),圖像經(jīng)過點(diǎn)(-1,0).當(dāng)x=-1時(shí),y=0,即a+2a+3=0,解得a=-1.在臨界情況的基礎(chǔ)上,當(dāng)圖像的開口變小時(shí),滿足-1

圖4

②當(dāng)a>0時(shí),畫出y=ax2-2ax+3的草圖,如圖5.尋找臨界情況(虛線),此時(shí),圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上),即3-a=0,解得a=3.在臨界情況的基礎(chǔ)上,當(dāng)圖像的開口變小時(shí),滿足-13.所以a的取值范圍是a<-1或a>3.

圖5

思路3利用不等式模型求解

法3當(dāng)y=0時(shí),ax2-2ax+3=0,

4 教學(xué)啟示

4.1 強(qiáng)化知識(shí)關(guān)聯(lián),注重模型思想

模型思想可以在數(shù)學(xué)解題過程中提供一種思維突破口,教師不僅需要引導(dǎo)學(xué)生積極敏銳地去發(fā)現(xiàn)題目條件與所求問題之間的絲縷關(guān)聯(lián),還要鼓勵(lì)學(xué)生在已知的數(shù)學(xué)信息中探討模型的分類,并對(duì)不同解法進(jìn)行探究、歸納總結(jié),最終形成對(duì)應(yīng)的解題方法.例如,本題的第(3)問,如果學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像和性質(zhì)掌握透徹,能夠從“形”入手,再結(jié)合方程和不等式來分析,那么這個(gè)問題的解決方法就很容易能想到,解法顯得簡(jiǎn)便、簡(jiǎn)潔.此時(shí),需要根據(jù)含參函數(shù)中尋找“確定”條件,即圖像經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)(0,3)、(2,3)和對(duì)稱軸直線x=1,雖然,頂點(diǎn)(1,3-a)不完全確定,但也很重要.此時(shí),還要根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)進(jìn)行分類討論,分別畫出開口向上、向下兩種情形,畫出符合條件的草圖.接下來,需要結(jié)合圖像尋找特殊的“點(diǎn)”(頂點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)等)滿足要求的不等式,建立不等式組求解,或者尋找臨界情況后,建立方程求解.利用“a決定形狀、開口大小,a的絕對(duì)值越大(小),開口就越小(大)”確定a的取值范圍.當(dāng)然,也可以只從不等式的角度分析.這也是實(shí)現(xiàn)“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵所在,是教師培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的重要發(fā)力點(diǎn)．因此,教師在解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生分析其中的確定元素,從“形”的特點(diǎn)出發(fā),借助圖形分析和解決問題.

在此情況下,如何尋找有效的解題模型?需要運(yùn)用模型思想進(jìn)行分析,碰到障礙適時(shí)調(diào)整建立模型的方法,并靈活調(diào)整解題模型,最終解決問題．因此,在平時(shí)教學(xué)中,教師要在問題求解的過程中,有意識(shí)地滲透模型思想,經(jīng)歷建立方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型求解問題的過程,不斷提升學(xué)生的解題能力.

4.2 加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo),重視推理能力

在實(shí)際的教學(xué)過程中,教師往往忽視代數(shù)推理,認(rèn)為幾何證明才是發(fā)展學(xué)生推理能力的重要方面．事實(shí)上,推理是邏輯推理的重要組成部分,在培養(yǎng)學(xué)生推理能力方面有著不可替代的作用.本題的諸多解法中,大量使用到推理,說明推理在問題求解中有著非常重要的作用.例如,第(1)、(2)問的代數(shù)推理證明中,要引導(dǎo)學(xué)生知道證明的條件、結(jié)論是什么?如何由“果”索“因”或由“因”導(dǎo)“果”?需要用到哪些代數(shù)中的運(yùn)算公式、法則、性質(zhì)?教師要進(jìn)行解題示范,規(guī)范證明的步驟,明白每一步的依據(jù),即代數(shù)推理證明的“基本套路”.最后,還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思.例如,第(1)、(2)問中為什么這樣證可以?為什么那樣證不行?推理教給學(xué)生的不僅是解決問題的方法,更要培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)、合邏輯的思維習(xí)慣,幫助學(xué)生形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和理性精神.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)重視代數(shù)推理的教學(xué),準(zhǔn)確把握推理教學(xué)的時(shí)機(jī),依托教學(xué)內(nèi)容,適時(shí)、適度、適切地滲透推理的知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力.

在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域,是學(xué)生形成抽象能力、模型思想、幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力、感悟用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的重要載體.教學(xué)中,教師要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)或問題解決的全過程,加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo),培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).