1 福建省莆田第四中學(xué)

祁君華 (郵編:351106)

福建省莆田第五中學(xué)

祁君英 (郵編:351199)

題(2023年新高考Ⅰ卷,17)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.(1)求sinA;(2)設(shè)AB=5,求AB邊上的高.

解答錯(cuò)了!錯(cuò)在哪里?

以上是一節(jié)習(xí)題課上多位學(xué)生的錯(cuò)誤解法,貌似合情合理,簡(jiǎn)便自然,其實(shí)是顧此失彼,一錯(cuò)到底.由于思維定勢(shì),忘記回頭檢驗(yàn)了(大角對(duì)大邊),忽略了第(1)問中求出的角C與tanA的值對(duì)角B范圍的微妙影響,產(chǎn)生了增根.

因此,AB邊上的高為AC·sinA=6.

正解2(1)略;

所以AB邊上的高為

正解3(1)略;

如圖,過點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為H.設(shè)CH=3x,AH=x,則BH=5-x.

所以AB邊上的高CH=6.

2安徽省安慶市第二中學(xué)

王 慶(郵編:246001)

題(2023屆“皖南八校”高三第三次大聯(lián)考8)已知函數(shù)f(x)=mex-x-n-1(m,n∈R),若f(x)≥-1對(duì)任意的x∈R恒成立,則mn的最大值是( )

A.e-2B.-e-2C.e-1D.-e-1

錯(cuò)解f′(x)=mex-1,當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)<0恒成立,則f(x)單調(diào)遞減,f(0)=m-n-1,顯然f(x)≥-1不恒成立;當(dāng)m>0,x∈(-∞,-lnm)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-lnm,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. 所以f(x)min=f(-lnm)=lnm-n,又f(x)≥-1恒成立,所以lnm-n+1≥0,n≤lnm+1,從而mn≤m(lnm+1),令h(m)=m(lnm+1),所以mn≤h(m),mn≤h(m)min. 由h(m)=m(lnm+1)得h′(m)=lnm+2,h(m)在區(qū)間(0,e-2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(e-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以h(m)min=h(e-2)=-e-2,故選B.

解答錯(cuò)了!錯(cuò)在哪里?

錯(cuò)因分析當(dāng)m=n=1時(shí),f(x)=ex-x-2,因?yàn)閑x≥x+1恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,所以ex-x-1≥0,即f(x)=ex-x-2≥-1恒成立,此時(shí)mn=1,所以答案都不對(duì).

為什么出錯(cuò)呢? 當(dāng)m≤f(x)恒成立時(shí),變量m滿足的充要條件為m≤f(x)min.本題中m>0時(shí),mn≤m(lnm+1),令h(m)=m(lnm+1),則mn≤h(m)恒成立與mn≤h(m)min不是充要關(guān)系.因?yàn)椴坏仁阶笥覂蛇叺淖兞慷际莔,而m≤f(x)中左右兩個(gè)變量不相同.本題中mn的最大值即為h(m)的最大值.

正解f′(x)=mex-1,當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)<0恒成立,則f(x)單調(diào)遞減,又f(0)=m-n-1,顯然f(x)≥-1不恒成立;當(dāng)m>0,x∈(-∞,-lnm)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(-lnm,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. 所以f(x)min=f(-lnm)=lnm-n,因?yàn)閒(x)≥-1恒成立,所以lnm-n+1≥0,從而m(lnm+1)≥mn恒成立,令h(m)=m(lnm+1),則mn≤h(x)max.所以h′(m)=lnm+2,h(m)在區(qū)間(0,e-2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(e-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)m→+∞時(shí),h(m)→+∞,所以mn無最大值,故無答案.所以本題是一道無效題.

3福建省莆田第五中學(xué)

葉建英(郵編:351100)

解答錯(cuò)了!錯(cuò)在哪里?

很多同學(xué)都是這么做的,為什么錯(cuò)了?主要是錯(cuò)解中對(duì)cos(α+β)的兩個(gè)值進(jìn)行了分類討論,事實(shí)上,此時(shí)必須對(duì)cos(α+β)的符號(hào)進(jìn)行取舍。

正確解法

注本解法利用y=cosx在(0,π)內(nèi)的單調(diào)性,確定cos(α+β)的符號(hào).

注本解法利用y=cosx以及y=sinx在(0,π)內(nèi)的單調(diào)性,縮小α+β的范圍,從而確定cos(α+β)的符號(hào).