安徽省阜陽市阜南縣第一中學(xué) 水 濤 黃 豹 盧瑞雪 (郵編:236300)

1 試題呈現(xiàn)

2023年新高考Ⅱ卷第21題為:

(1)求C的方程;

(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M、N兩點(diǎn),M在第二象限,直線MA1與NA2交于點(diǎn)P．證明:P在定直線上．

從問題的內(nèi)容看,第(1)問主要考查了雙曲線的方程及簡單的幾何性質(zhì);如圖1所示,第(2)問考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系．從問題的表述看,問題情境經(jīng)典,題干簡潔明了．解題入口較多,但計(jì)算繁瑣,對學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)提出較高的要求．

圖1

2 解法探究

思路一直線的方向向量的變化導(dǎo)致了M、N的變化,可以從直線的角度出發(fā)．

評注解法1和2從直線MN出發(fā),通過設(shè)直線→聯(lián)立方程→韋達(dá)定理→解點(diǎn)P坐標(biāo)解決問題.難點(diǎn)集中在兩個(gè)方面,一是通過觀察圖象,確定P點(diǎn)在與x軸垂直的直線上;二是如何解決“非對稱”化簡問題．解法1尋找y1y2、y1+y2之間的線性關(guān)系,解法2利用兩根和消去y2,將分子分母化成m與y1表示的式子,得出最終結(jié)果．對學(xué)生運(yùn)算求解能力要求較高．

思路二從點(diǎn)P的變化出發(fā)．

思路三通過思路一和思路二的探索,發(fā)現(xiàn)第(2)問的本質(zhì)之一是求直線MA1與NA2的斜率比值為定值,進(jìn)而求解交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為定值．又A1、A2為頂點(diǎn),可以利用雙曲線的“第三定義”和雙曲線的方程進(jìn)行化簡．

解法5

①

②

評注解法5先探索發(fā)現(xiàn)過定點(diǎn)的弦的端點(diǎn)與頂點(diǎn)連線斜率積為定值,與雙曲線的“第三定義”結(jié)合,得出直線MA1與NA2的斜率的比值為定值;解法6將斜率比值平方后,利用橢圓的方程消去y1、y2,再利用韋達(dá)定理得出結(jié)果．解法5和6的本質(zhì)是利用橢圓的方程進(jìn)行消元,相對直線消元而言學(xué)生平時(shí)用得較少,比較陌生,對學(xué)生的消元技巧要求較高．

思路三從M、N點(diǎn)的變化出發(fā)．

后同解法1．

解法8由解法7知,x1y2-x2y1=4(y1-y2),又(x1y2-x2y1)(x1y2+x2y1)

所以x1y2+x2y1=-y1-y2,與x1y2-x2y1=4(y1-y2),

評注解法7通過三點(diǎn)共線建立M、N點(diǎn)坐標(biāo)與橫截距之間的關(guān)系,再進(jìn)行整體代換消元;解法8在解法7的基礎(chǔ)上構(gòu)造對偶式,解出x1y2、x2y1,再帶入斜率比值進(jìn)行消元,得出結(jié)論．解法7和8方法巧妙,設(shè)點(diǎn)后利用橢圓的方程進(jìn)行化簡,技巧性較強(qiáng)．

思路四考慮到直線變化時(shí),線段長度的比值也在變化,從線段的長度比值出發(fā)．

評注解法9和解法10用線段的比值表示直線的變化,利用向量表示這個(gè)比值,解法9利用定比點(diǎn)差法,解法10利用“算兩次”的思想解出x1和λx2,代入計(jì)算得到直線MA1與NA2的斜率的比值為定值;本質(zhì)上都是利用線段的比值表示點(diǎn)的坐標(biāo),解決問題的大方向依然是消元．從這個(gè)角度來說,設(shè)直線的參數(shù)方程也是可以嘗試的方法,因?yàn)樾陆滩闹幸褜⑵鋭h去,在此不做討論．

3 命題溯源

在上文中,筆者利用十種方法解題,殊途同歸．那么高考命題人是如何命制本題的呢?王文彬在文[1]中提到,“極點(diǎn)與極線是圓錐曲線的基本特征,因此在高考試題中必然會有所反映,自然也會成為高考試題的命題背景”．本題的命題背景應(yīng)該也是圓錐曲線的極點(diǎn)與極線．如圖2所示,

圖2

與本題命題背景類似的還有2020年高考全國乙卷數(shù)學(xué)理科第20題,2010年全國高考江蘇省理科第18題等等,不一而足．

4 結(jié)語

任子朝、趙軒在文[2]中指出 “高考數(shù)學(xué)科提出5項(xiàng)關(guān)鍵能力:邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力”,本題旨在考查學(xué)生的前4項(xiàng)具有鮮明數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的數(shù)學(xué)能力,具有較好的甄別功能的試題,也是日常教學(xué)中必備的教學(xué)資源．對本題的進(jìn)行解法拓展、命題背景溯源,有利于教師把握高考命題的方向,提升對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》及《中國高考評價(jià)體系》的理解,有助于教師提高解題教學(xué)的效率．