安徽省和縣第一中學(xué) 馬鞍山市和縣徐祝云名師工作室 徐祝云 (郵編:238200)

下面是安徽省2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題:

在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,3),對稱軸為直線x=2．

(1)求a,b的值;

(2)已知點(diǎn)B,C在拋物線上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t+1．過點(diǎn)B作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)E．

(ⅰ)當(dāng)0

此題的第(2)小題是圍繞拋物線與直線相交所得的“拋物線弓形”內(nèi)部有關(guān)多邊形的面積設(shè)問的,下面談?wù)剬@類問題的一些思考．

1．第(ⅰ)問中,求出的結(jié)果為定值,這是巧合,還是必然,有沒有一般性的結(jié)論?

2．當(dāng)點(diǎn)B和C都在線段OA上時(shí),四邊形BCED的面積何時(shí)取得最大值,結(jié)論是否可以推廣為一般情形?

這類最值問題,在各地的模考試題中經(jīng)常見到,容易求得在t=1時(shí),四邊形BCED的面積最大,此時(shí),點(diǎn)B和C顯然是線段OA的三等分點(diǎn)．將其作一般化的推廣如下:

推廣1C和B的橫坐標(biāo)之差△t為定值,四邊形BCED的面積何時(shí)最大?

結(jié)論2一條拋物線與一條直線交于點(diǎn)O和A,點(diǎn)B和C在線段OA上(點(diǎn)B靠近點(diǎn)O),過B和C分別與拋物線對稱軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)D和E,若BC長度為定值,則當(dāng)且僅當(dāng)BC的中點(diǎn)與OA的中點(diǎn)重合時(shí),四邊形BCED的面積最大．

推廣2C和B為線段OA上任意兩個(gè)點(diǎn)時(shí),四邊形ODEA的面積何時(shí)最大?

如果設(shè)點(diǎn)B和C的橫坐標(biāo)分別為m和n,然后將四邊形ODEA的面積表示為m和n的二元函數(shù),再用主元法,這樣雖然可以求解,但計(jì)算較為繁瑣．為此,我們先考慮一種簡單的情形:

結(jié)論3一條拋物線與一條直線交于點(diǎn)O和A,點(diǎn)B在線段OA上,過B與拋物線對稱軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)B′,則當(dāng)且僅當(dāng)B為OA的中點(diǎn)時(shí),△OB′A的面積最大．

結(jié)論4一條拋物線與一條直線交于點(diǎn)O和A,點(diǎn)B和C在線段OA上(點(diǎn)B靠近點(diǎn)O),過B和C分別與拋物線對稱軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)B′和C′,則當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B和C為線段OA的三等分點(diǎn)時(shí),四邊形OB′C′A的面積最大．

證明(反證法)假設(shè)四邊形OB′C′A的面積最大時(shí),點(diǎn)B和C至少有一個(gè)不是線段OA的三等分點(diǎn),則OB=BC與BC=CA至少有一個(gè)不成立．不妨先假設(shè)OB≠BC,取P為線段OC的中點(diǎn),即OP=PC．過點(diǎn)P作與拋物線對稱軸平行的直線交拋物線于點(diǎn)P′,則由結(jié)論3可知S△OP′C>S△OB′C,從而S△OP′C+S△OCA>S△OB′C+S△OCA,即S四邊形OP′C′A>S四邊形OB′C′A,這與四邊形OB′C′A的面積最大矛盾,所以假設(shè)不成立,故OB=BC．同理可證BC=CA．所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B和C為線段OA的三等分點(diǎn)時(shí),四邊形OB′C′A的面積最大．

在此基礎(chǔ)上,同樣用反證法,還可以證明出更為一般性的結(jié)論:

上述思考是對一般拋物線都成立的一些性質(zhì),采取適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系的方法,將其中的拋物線轉(zhuǎn)化為開口向下的情形．為簡化計(jì)算,將坐標(biāo)系原點(diǎn)取在拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)處(即點(diǎn)O),這是運(yùn)算素養(yǎng)的一種體現(xiàn)．因?yàn)樵谧鴺?biāo)系中開口向上或向下的一般拋物線y=ax2+bx+c,由三個(gè)系數(shù)a,b,c決定,直線y=kx+m由兩個(gè)系數(shù)k,m決定.如果坐標(biāo)系建立不當(dāng),參數(shù)較多,計(jì)算就會(huì)變得復(fù)雜．從命題的角度來說,命題者應(yīng)該是關(guān)注到了這些一般性質(zhì),并對參數(shù)進(jìn)行了合理控制,使得試題不超出初中課程標(biāo)準(zhǔn)的要求．

第(2)小題的第(ii)問規(guī)避了對四邊形面積最值的考查,而是針對四邊形的頂點(diǎn)順序可能發(fā)生變化進(jìn)行分類討論．一方面,第(i)中給出t的范圍,實(shí)際上是對第(ii)問的一種提示,告訴考生要將題中給的位置表示轉(zhuǎn)化為用數(shù)值變量表示;另一方面,對于各種情況中四邊形面積的計(jì)算,只要搞清楚其中一種情形,其余的都是在該情形下適當(dāng)修改,這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的體現(xiàn)．另外,本題的分類討論以及其中對各種情況的檢驗(yàn)、取舍,體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)形結(jié)合思想等都進(jìn)行了較好的考查．

本文中各結(jié)論的證明過程中用到的知識(shí),都是不超過初中范圍的(要求顯然是高于初中課程標(biāo)準(zhǔn)要求的),對水平較好的初中生來說,是可以看懂的．還可以再進(jìn)一步思考,比如,在結(jié)論2中,當(dāng)B和C是線段OA上任意兩點(diǎn)時(shí),四邊形BCED的面積何時(shí)最大?這樣的問題的解決,僅用初中知識(shí)就不夠了,留給讀者自行思考．