安徽省宿州市第二中學(xué) 杜文偉 (郵編:234000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂版)》明確指出數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué),數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象,基于抽象結(jié)構(gòu),通過(guò)符號(hào)運(yùn)算,形成推理和模型建構(gòu)等,明確高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),培養(yǎng)科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),要優(yōu)化課程結(jié)構(gòu),突出主線(xiàn),精選內(nèi)容．在教學(xué)中,要把握數(shù)學(xué)本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué),要聚焦數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六大核心素養(yǎng),提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．不斷引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值．

1 基于核心素養(yǎng)的教材分析

本節(jié)教材從空間中三個(gè)兩兩垂直的不共面的向量這一特殊情況出發(fā),類(lèi)比平面向量基本定理,給出空間向量基本定理．“空間向量基本定理”揭示出空間任一向量都可以用三個(gè)不共面的向量表示,因此空間中三個(gè)不共面的向量就構(gòu)成了三維空間的一個(gè)“基底”,是立體幾何問(wèn)題代數(shù)化的基礎(chǔ),教科書(shū)將這一內(nèi)容單列一節(jié),正是因?yàn)椤翱臻g向量基本定理”的重要作用,不僅讓學(xué)生掌握空間向量基本定理,還應(yīng)用向量方法解決立體幾何的一些問(wèn)題．突出了空間向量基本定理在本章內(nèi)容中承上啟下的作用,而且可以使學(xué)生更好地掌握用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的基本方法,也為后續(xù)學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

2 基于核心素養(yǎng)的教學(xué)分析

2.1 數(shù)學(xué)抽象的分析

數(shù)學(xué)抽象是通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象,得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想,是從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征,它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)．本節(jié)課,從學(xué)生已學(xué)的向量共線(xiàn)定理、平面向量基本定理出發(fā),從一維角度、二維角度,上升到三維角度,通過(guò)對(duì)問(wèn)題的猜想、探究,在具體情景中抽象出命題即得到“空間向量基本定理”,以簡(jiǎn)馭繁,運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問(wèn)題．

2.2 直觀想象的分析

直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)．直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段,是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)．本節(jié)課,在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上,利用類(lèi)比的方法探究理解空間向量基本定理,經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過(guò)程體驗(yàn),體會(huì)平面向量和空間向量的共性和差異,感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具．由于恰當(dāng)選擇基底依賴(lài)于對(duì)立體圖形基本元素及其基本關(guān)系的把握,需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力,這對(duì)學(xué)生而言存在一定的困難,教學(xué)時(shí)需注意引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形的組成元素及其基本關(guān)系上加強(qiáng)分析．

本節(jié)課還涉及到數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng),在此不作贅述．

3 教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

3.1 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解空間向量基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解;

(2)掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算,會(huì)選用空間三個(gè)不共面的向量為基底表示其它的向量;

(3)空間向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用．

3.2 重難點(diǎn)

重點(diǎn):空間向量基本定理;

難點(diǎn):基底的恰當(dāng)選擇．

4 教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1 設(shè)置情景,探索本質(zhì)

問(wèn)題1平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可以用兩個(gè)不共線(xiàn)的向量來(lái)表示,這是平面向量基本定理.那么在空間中,如何選擇向量,可以表示空間中的任意一個(gè)向量呢?

請(qǐng)同學(xué)們思考:

圖1

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生從已學(xué)習(xí)過(guò)的向量共線(xiàn)定理、平面向量基本定理出發(fā),運(yùn)用類(lèi)比思想,探索空間中的任意一個(gè)向量如何用已知向量表示,并且已知向量須滿(mǎn)足哪些條件,探索空間向量基本定理,為空間向量的正交分解埋下伏筆．

4.2 層次遞進(jìn),形成概念

問(wèn)題2如圖2,設(shè)i,j,k是空間中三個(gè)兩兩垂直的向量,且表示它們的有向線(xiàn)段有公共起點(diǎn)O,對(duì)于任意一個(gè)空間向量p,如何用i,j,k表示?

圖2

追問(wèn)1在空間中,如果用任意三個(gè)不共面的向量a,b,c代替兩兩垂直的向量i,j,k,你能得出類(lèi)似的結(jié)論嗎?

學(xué)生:由向量共線(xiàn)定理和平面向量基本定理,類(lèi)比是可以得到類(lèi)似結(jié)論的.

追問(wèn)2類(lèi)比平面向量基本定理,你能總結(jié)空間向量基本定理的內(nèi)容嗎?

學(xué)生:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.

我們稱(chēng){a,b,c}為空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量．

追問(wèn)3類(lèi)比向量共線(xiàn)定理和平面向量基本定理,如何證明空間向量基本定理?(學(xué)生小組合作探究)

教師總結(jié)要證明空間向量基本定理,既要證明唯一性,也要證明存在性．

(1)唯一性的證明(反證法)

假設(shè)除(x,y,z)外,還存在另一有序?qū)崝?shù)組(x′,y′,z′),使得p=x′a+y′b+z′c,則x′a+y′b+z′c=xa+yb+zc．

①若x′=x,則y′b+z′c=yb+zc,即(y′-y)b=(z-z′)c,由向量共線(xiàn)定理知b//c,這與已知三個(gè)向量a,b,c不共面矛盾;

②若x′≠x,則(x′-x)a=(y-y′)b+(z-z′)c,兩邊同除以x′-x,得

(2)存在性的證明

圖3

綜上(1)(2)即得出空間向量基本定理的證明．

追問(wèn)4通過(guò)空間向量基本定理及其證明過(guò)程,你能提煉出空間向量基本定理的核心內(nèi)容嗎?

學(xué)生:(1)任意性:用空間三個(gè)不共面的向量可以線(xiàn)性表示出空間中任意一個(gè)向量.(2)唯一性:基底確定后,空間向量基本定理中的實(shí)數(shù)組(x,y,z)是唯一的.

追問(wèn)5關(guān)于空間向量基本定理中的基底和基向量,你有哪些認(rèn)識(shí)?(學(xué)生小組合作探究,小組代表總結(jié))

學(xué)生代表總結(jié)(1)一個(gè)基底是由三個(gè)不共面的向量組成的一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.(2)基底的選擇一般有兩個(gè)條件:①基底必須是不共面的非零向量;②在進(jìn)行基底選擇時(shí)要盡量選擇已知角度和長(zhǎng)度的向量,這樣在進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算時(shí)會(huì)更方便.(3)因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個(gè)向量共線(xiàn),與任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量共面,所以如果三個(gè)向量不共面,則它們均不是零向量.(4)單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?且長(zhǎng)度都為1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.(5)正交分解:把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

思考(1)已知{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,從a,b,c選哪一個(gè)向量,一定能與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成空間的另一個(gè)基底?(答案:c)

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)課堂及時(shí)反饋,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定理的理解,提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力．空間向量正交分解與平面向量的正交分解類(lèi)似,區(qū)別僅在于基底中多了一個(gè)向量,從而分解結(jié)果中也多了一“項(xiàng)”,教學(xué)中,不僅要引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量的正交分解得到空間向量的正交分解,還要引導(dǎo)學(xué)生注意這種差異,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生比較兩者的差異,從而得到定理證明思路的啟發(fā),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

4.3 典例解析,拓展延伸

圖4

設(shè)計(jì)意圖基底選定后,空間任意一向量由基底唯一表示,但基底不是唯一的,選擇不同的基底,同一向量的表示則不同,本例是用不同的三個(gè)不共面的向量作為基底表示一個(gè)具體空間向量,目的是加深學(xué)生對(duì)空間向量基本定理的理解.

例2如圖5,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60o,∠BAA1=60o,∠DAA1=60o,M,N分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),求證:MN⊥AC1.

圖5

設(shè)計(jì)意圖本例是利用空間向量基本定理證明兩條線(xiàn)段互相垂直,即只需證明兩直線(xiàn)的方向向量的數(shù)量積為0即可,在平行六面體中,通常用同一頂點(diǎn)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量作為一個(gè)空間基底,將相關(guān)向量用該基底表示,進(jìn)而求解證明,培養(yǎng)了學(xué)生在空間圖形中如何選擇恰當(dāng)?shù)娜齻€(gè)不共面的向量作為基底,從而方便進(jìn)一步求解論證.

例3如圖6,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別為C′D′,A′D′,DD′的中點(diǎn).

圖6

(1)求證:EF//AC;

(2)求CE與AG所成角的余弦值.

設(shè)計(jì)意圖本例是利用空間向量基本定理證明兩條直線(xiàn)互相平行和計(jì)算兩條直線(xiàn)所成角的余弦值,指導(dǎo)學(xué)生在證明平行的問(wèn)題上一般轉(zhuǎn)化為兩向量共線(xiàn)的問(wèn)題,在問(wèn)題(1)中,主要是引導(dǎo)學(xué)生利用正方體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造正交基底,并用基向量表示相關(guān)的向量,在問(wèn)題(2)的求解上,主要是引導(dǎo)學(xué)生用基向量表示向量數(shù)量積運(yùn)算中所涉及的向量,培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

5 教學(xué)反思,提高認(rèn)識(shí)

(1)課堂教學(xué)要注重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本節(jié)的主要內(nèi)容是空間向量基本定理,空間向量基本定理是立體幾何問(wèn)題代數(shù)化的基礎(chǔ),有了這個(gè)定理,整個(gè)向量空間可以用三個(gè)不共面的基向量確定,空間結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單明了．在教學(xué)中,應(yīng)使學(xué)生能借助平行六面體理解空間向量的求和與分解,培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),能基于基底進(jìn)行空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng),能類(lèi)比平面向量基本定理并從具體特殊情形抽象概括,獲得空間向量基本定理,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

(2)課堂教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法

本節(jié)課在教學(xué)活動(dòng)上,注重了學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),借助空間向量基本定理,將空間直線(xiàn)與直線(xiàn),直線(xiàn)與平面等位置關(guān)系證明及角度、距離計(jì)算等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法;能理解從平面向量基本定理上升到空間向量基本定理,能借助已知幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立向量基底,從而表示空間中的任意一個(gè)向量,培養(yǎng)學(xué)生的特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想方法．

(3)課堂教學(xué)要注重突出學(xué)生的主體地位

本節(jié)課,在教學(xué)方法上,采用問(wèn)題驅(qū)動(dòng),以學(xué)生為主體進(jìn)行合作交流和探究,將課堂的主動(dòng)權(quán)真正交給學(xué)生,使學(xué)生思維高度運(yùn)轉(zhuǎn),真正讓學(xué)生成為課堂的主人,教師只是輔助引導(dǎo),通過(guò)一些問(wèn)題的設(shè)計(jì)及學(xué)生的交流探究,最終達(dá)成共識(shí),從而使學(xué)生能深刻理解并掌握本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容．