姚振暉

(福建省永春美嶺中學(xué),福建 泉州 362619)

直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段[1]. 直觀想象要求考生能夠借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型,探索解決問題的思路[2]. 高考數(shù)學(xué)中直觀想象素養(yǎng)的考查要求為:能根據(jù)條件畫出正確的圖形,根據(jù)圖形想象出直觀形象;能正確分析圖形中的基本元素及其相互關(guān)系;能對圖形進(jìn)行分解、組合;會運用圖形等手段形象地揭示問題的本質(zhì)[3].

1 正方體模型

例1(2023年全國甲卷理科15題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為CD,A1B1的中點,則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為____．

解析不妨設(shè)正方體棱長為2,EF中點為O,取AB,BB1中點G,M,側(cè)面BB1C1C的中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖1所示.

圖1 正方體

同理,根據(jù)正方體的對稱性知,其余各棱和球面也只有1個交點,所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為12.

評析通過直觀想象與簡單的數(shù)學(xué)運算,可以確定以EF為直徑的球的球心O也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心O,所以,點O到各棱的距離均等于OE,因此以EF為直徑的球的球面與正方體的棱共有12個公共點.

2 三棱錐模型

(1)證明:EF∥平面ADO;

(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;

(3)求二面角D-AO-C的正弦值.

圖2 例2示意圖

評析先通過解三角形確定F為AC的中點,利用中位線的性質(zhì)得到EF∥PC∥DO,再根據(jù)線面平行的判定定理可以得出第(1)問的結(jié)論. 第(2)問通過圖形判斷要證明的核心結(jié)論是AO⊥平面BEF,所以要在平面BEF中找到兩條相交直線和AO垂直,結(jié)論的證明為第(3)問建立空間直角坐標(biāo)系做鋪墊.

3 圓錐模型

例3(2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第9題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( )．

A．該圓錐的體積為π

評析本題以多選題的形式全面考查了圓錐的內(nèi)容. 如圖3所示,通過二面角P-AC-O為45°可以確定點C在底面圓周上的位置. 再根據(jù)圓錐的母線長為2,可以得到圓錐的底面圓半徑和高,為后面的計算奠定基礎(chǔ).題目的四個選項設(shè)問逐次遞進(jìn),前面的選項為后面的選項提供條件.

圖3 圓錐

4 三棱柱的外接球模型

例4(2023年乙卷文科第16題)已知點S,A,B,C均在半徑為2的球面上,△ABC是邊長為3的等邊三角形,SA⊥平面ABC,則SA=____．

圖4 三棱柱

評析本題雖然是考查三棱錐的外接球問題,但由于SA⊥平面ABC,所以可把三棱錐S-ABC放到三棱柱SMN-ABC中,這樣,就將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為了三棱柱的外接球. 因為三棱錐的外接球形式多樣,但三棱柱的外接球模型比較簡單,如圖4,易知三棱柱的外接球的球心O就是兩個底面三角形外接圓圓心的中心,而AO1就是△ABC外接圓的半徑,利用正弦定理可輕松得到.

5 正方體的內(nèi)切球模型

例5(2023年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題)下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( ).

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

解析對于選項A,如圖5,因為正方體的內(nèi)切球(與各個面都相切)的直徑為1,且1>0.99,所以A正確.

圖5 正方體內(nèi)切球 圖6 正四面體放入正方體內(nèi)

圖7 正方體內(nèi)放不下圓柱

圖8 正方體的截面 圖9 正六邊形

評析以正方體的內(nèi)接幾何體(包括球、正四面體、圓柱等)為情境,考查正方體的棱長、面對角線的長和體對角線的長的關(guān)系等. 結(jié)合組合體的位置關(guān)系,利用空間問題平面化,通過分析選項中各個幾何體與正方體的棱長、面對角線和體對角線長的數(shù)量關(guān)系迅速找到破解此題的切入點.

縱觀2023年高考全國卷的立體幾何試題,基本上都是以基本圖形為模型,考查線面關(guān)系、外接球、內(nèi)切球以及截面問題. 這些試題在考查數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)和邏輯推理核心素養(yǎng)的同時,更全面考查了考生的直觀想象核心素養(yǎng). 平時要注意積累一些常見幾何體的內(nèi)切和外接模型,以及熟悉空間幾何體的截面問題.